МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ

Кафедра высшей математики

Дисциплина «Математический анализ»

ОТЧЕТ

по курсовой работе

Тема: «Решение военно-логистических задач по выбору оптимального маршрута для военно-транспортных средств»

г.Москва 2009г.

Общая постановка задачи

Транспортное средство или колонна транспортных средств следует из пункта А в пункт Б. Существует несколько возможных маршрутов движения колонны, каждый из которых характеризуется n линейными участкам, протяженностью L и скоростью движения по ним V. Требуется обосновать выбор оптимального маршрута по критерию минимума времени на его прохождение.

В качестве целевой функции здесь принимается аддитивная функция суммарного времени:

а в качестве ограничения функция вида ,где L- расстояние от А до Б в направлении которого выбраны линейные участки L.

I Этап: Словесная и математическая постановка задачи.

1). Словесная постановка задачи.

2). Математическая постановка задачи.

II. Этап:

Математическая постановка задачи дана на карте.

III.Этап: Проведение расчетов и анализ полученных результатов.

Словесная постановка маршрутной задачи

В Московской области проводятся учения 12-армии,16-армии. Первый передовой отряд танкового соединения и второй механизированный отряд 12-армии, действует в оперативной глубине противника(16-армии) и имеют поставленную задачу захватить город Королев. Первый отряд танкового соединения вышел колонной в 9.30 с города Дубна к 10.00 колонна была уже в городе Конаково Тверской области. Второй механизированный отряд вышел с города Алексин и в 10.00 колонна прибыла в город Калуга.

У противника (16-армии)выдвигаются к городу Королев две мотострелковые бригады :

1-ая мотострелковая бригада 9.50 находится в городе, Рязановский Рязанской области.

2-ая мотострелковая бригада в 9.50 находится в городе Кольчугино, Владимирской области.

Характер местности и положение сил армий показаны на карте. Скорость движения колонн: V=20 км.ч – вне дороги, V=40км.ч – по дороги.

Необходимо выдать рекомендации командиру батальона танкового соединения и механизированного отряда для выбора оптимального маршрута с городов Конаково, Калуга до пункта назначения города Королев. Оценить возможности батальона по упреждению противника в выходе к городу Королев. Сделать выводы.

Итак, согласно нашего разбиения переходим к пункту 1 первого этапа:

Исходя из словесной постановки задачи, для определенности были взяты реальные расстояния от городов до пункта назначения. По исходным данным определим тип задач, которые нам придется решать.

Задача выбора оптимального маршрута относится к классу задач нелинейного программировния, они имеют место в трех основных случаях:

- целевая функция и ограничения являются нелинейными формами искомых переменных;

- целевая функция линейна, ограничения - нелинейные формы искомых переменных;

- целевая функция не линейна, ограничения – линейные формы искомых переменных.

Маршрутные задачи относятся к третьему классу задач нелинейной оптимизации.

Наиболее же эффективным и доступным является классический метод условного экстремума.

Сущность метода. Условным экстремумом функции z=f(x1,x2,x3……xn) называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x1,x2,x3…..xn связаны уравнением связи H= (x1,x2,x3…..xn). Отыскание условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа:

U=f(x1,x2,x3…..xn).+ [H- (x1,x2,x3…..xn)]

Где - неопределенный постоянный множитель Лагранжа.

Необходимые условия экстремума определяется следующей системой уравнений:

(x1,x2,x3,……xn)=0

Если оптимизируема функция является функцией двух переменных f(x,y),то необходимые условия экстремума запишутся в виде

Решение этих систем уравнений дает искомый результат в виде переменных Xi (i=1,n) или переменных X,Y.

Математическая постановка задачи

Для решения данную задачу разобьем на 4 математических подзадачи:

Оптимизация маршрута с города Конакова до города Королева.

1. Оптимизация маршрута с города Калуга до города Королева.

2. Оптимизация маршрута с города Кольчугина до Королева.

3. Оптимизация маршрута с города Рязановский до города Королева.

Скорость колонны вне дороги V1= 20 км/ч, по дороге V2=40 км/ч, все расстояния показаны на карте.

I.Оптимизация маршрута с города Конаково до города Королева. Оптимизация маршрута стороны А означает выбор такого направления движения φ из т очки ο в точку b (или что тоже самое, выбор координаты Х), при котором общее время, потребное для совершения маршрута до переправы, было бы минимальным. Из рисунка видно, что маршрут включает два линейных пути, а следовательно, и два интервала времени: время t₁ движения вне дороги на расстояние l = ob и время t₂ движения по дороги на расстояние y. Таким образом, Т= t₁+ t₂.

Но t₁ = = , а t₂ = =

И поэтому целевая функция является нелинейной функцией двух переменных, связанных между собой соотношением вида L=x+y, выступающим в качестве линейного ограничения на переменные х и у. В соответствии с содержанием методом условного экстремума запишем функцию Лагранжа.

Т^*( х, у, λ) = ++ λ (L-x-y)

Беря частные производные от Т по х, у и λ и приравнивая их нулю, получим следующую систему алгебраических уравнений:

,

,

,

Решая эту систему относительно х и у, найдем искомые участки оптимального маршрута

Х₀ =, y₀=L-,

Отметим три возможных варианта маршрута движения от точки О до Е. I_A( o, a, E), II_A (o, b, E) для оптимального φ₀ и III_A (oE). С учетом заданных числовых параметров задачи времена движения по этим маршрутам будут равны

t_A1= 3.25 ч , t_A2= 3.14 ч , t_A3= 5.05 ч

II.Оптимизация маршрута с города Калуга до города Королева. Оптимизация маршрута стороны С означает выбор такого направления движения φ из т очки U в точку P (или что тоже самое, выбор координаты Х), при котором общее время, потребное для совершения маршрута до переправы, было бы минимальным. Из рисунка видно, что маршрут включает два линейных пути, а следовательно, и два интервала времени: время t₁ движения вне дороги на расстояние l = up и время t₂ движения по дороги на расстояние y. Таким образом, Т= t₁+ t₂.

Но t₁ = = , а t₂ = =

И поэтому Т== +

Целевая функция является нелинейной функцией двух переменных, связанных между собой соотношением вида L1=x1+y1, выступающим в качестве линейного ограничения на переменные х1 и у1. В соответствии с содержанием методом условного экстремума запишем функцию Лагранжа.

Т^*( X1, Y1, λ1) = ++ λ1(L1-X1-Y1)

Беря частные производные от Т по х1, у1 и λ1 и приравнивая их нулю, получим следующую систему алгебраических уравнений:

,

,

.

Решая эту систему относительно х1 и у1, найдем искомые участки оптимального маршрута

Х1 =, y₁=L1-,

Отметим три возможных варианта маршрута движения от точки U до P. I_A( U, C,P ), II_A (U, T, P) для оптимального φ₁ и III_A (UP). С учетом заданных числовых параметров задачи времена движения по этим маршрутам будут равны

t_A4=3.5ч , t_A5= 3.42 , t_A6= 6.02 .

Оптимизация маршрута с города Рязановский до города Королева

Оптимальный маршрут для с города Рязановский до города Королева следует искать на смешанных прямолинейных участках движения. Составляющие маршрута обозначим прямыми N, e, d, D. Оптимизация маршрута означает определение координат z₁ , z , и z₂ , или то же самое, углов φ и η.

По аналогии с предыдущим случаем здесь оптимизируемой функцией является функция вида

а ограничением – линейная функция L= z₁+z+z_2.

C учетом их выражений Лангража запишем в следующей форме:

Т^*=

Исследуя эту функцию в том же порядке, что и функцию, окончательно получим:

z₁=,

z₂ = ,

z= L₁-

Отметим на карте пять возможных маршрутов выдвижения колонны из точки N в точку D I_в (N,f,e,d,D); II_в ( N,e, d, D); III_в (N, f, c, d); IV_в ( N,e, c, d); V_в (N, D) и для записанных исходных данных вычислим их временные продолжительности. Результаты вычислений представлены следующими значениями t_в1=5,8 ч, t_в2 = 4,9 ч, t_в3 = 4,95 ч, t_в4 = 4,7 ч, t_в5 =5,97 ч.

Оптимизация маршрута с города Кольчугино до города Королева

Оптимизация маршрута стороны 16 армии означает выбор такого направления движения φ из точки R в точку E (или что тоже самое, выбор координаты Х2), при котором общее время, потребное для совершения маршрута до переправы, было бы минимальным. Из рисунка видно, что маршрут включает два линейных пути, а следовательно, и два интервала времени: время t₁ движения вне дороги на расстояние l = rg и время t₂ движения по дороги на расстояние Y2. Таким образом, Т= t₁+ t₂.

Но t₁ = = , а t₂ = =

И по этому Т== +

Целевая функция является нелинейной функцией двух переменных, связанных между собой соотношением вида L2=x2+y2, выступающим в качестве линейного ограничения на переменные х и у. В соответствии с содержанием методом условного экстремума запишем функцию Лагранжа.

Т^*( х2, у2, λ2) = ++ λ2(L2-x2-y2)

Беря частные производные от Т по х, у и λ и приравнивая их нулю, получим следующую систему алгебраических уравнений:

Решая эту систему относительно х2 и у2, найдем искомые участки оптимального маршрута

Х₂ =, y₂=L-,

Отметим три возможных варианта маршрута движения от точки R до Е. I_A( r, g, E), II_A (r,o , E) для оптимального φ₂ и III_A (rE). С учетом заданных числовых параметров задачи времена движения по этим маршрутам будут равны

T_B6= 3,62 ч, t_B7= 3,48 ч, t_B8= 5,34 ч .

Обозначим возможные маршруты 12 армии i =1,2,3, а возможные маршруты 16 армии j = 1,2,3,4,5 и определим упреждение в выходе 12 армии к городу Королев.Δt_{j I} = t_BJ – t_AI – 0,17,т.к. колонны 16 армии начали выдвижение раньше, чем колонны 12 армии, на 10 минут. Результаты расчетов для наглядности сведем в таблицу.

Продолжит.маршрутов 12 армии tAI	Продолжительность маршрутов 16 армии tBJ
	tB1	tB2	tB3	tB4	tB5	tB6	tB7	tB8
tAI	2,38	1,59	1,53	1,28	2,55	0,2	0,06	1,92
tA2	2,49	1,59	1,64	1,39	2,66	0,31	0,17	2,03
tA3	0,58	-0,32	-0,27	-0,52	0,75	-1,6	-1,74	0,12
tA4	2,13	1,23	1,28	1,03	2,3	-0,05	-0,19	1,67
tA5	2,15	1,25	1,3	1,05	2,32	-0,03	-0,17	1,69
tA6	-0,22	-1,29	-1,24	-1,49	-0,22	-2,57	-2,71	-0,85

Вывод

Из анализа данных этой таблицы следует, что выбор командиром батальона 12 армии любого из двух первых маршрутов гарантирует ему упреждающий выход к переправе. Наибольшее время упреждения имеет место для второго маршрута движения, т.е. самого оптимального. Выбор командиром батальона четвертого маршрута практически исключает возможность упреждающего выхода на переправу и решения задачи по ее удержанию. Выбор остальных маршрутов полностью исключает возможность выхода на переправу. Рассмотренная модель маршрутной задачи может лечь в основу постановки и решения аналогичных задач военного содержания, с которыми приходиться сталкиваться командиру и штабу при планировании боевых действий или боевой учебы.

Литература

1) Малявко К.Ф. «Применение математических методов в военном деле».

2) Журко М.Д. «Математические методы и основы их применения в управлении войсками».

3) Иванов П.И. «Применение методов прикладной математики в военном деле».