МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
БИЕКТОРЫ В КОНЕЧНЫХ ГРУППАХ
Исполнитель:
студент группы H.01.01.01 М-43
Векшин П.А.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор Скиба С.В.
Гомель 2003

Содержание
  Введение
1. Основные обозначения
2. Используемые результаты
3. Основные свойства проекторов и инъекторов
4. Биекторы и их свойства
Заключение
Список использованных источников

Введение
В настоящей курсовой работе излагается материал на тему: "Биекторы конечных групп". Цель моей работы состоит в том, чтобы исследовать свойства конечной разрешимой группы с заданными инвариантами подгруппы Шмидта.
Моя курсовая работа состоит из четырех пунктов. В первом пункте изложены основные обозначения, которые используются в данной работе.
Во втором пункте были введены используемые результаты для дальнейшего изучения биекторов и их свойств. Здесь излагаются шесть теорем, три следствия и шесть лемм.
В третьем пункте изложены основные свойства проекторов и инъекторов, даны определения подгруппы группы, максимальной подгруппы группы, инъектора и биектора. Так же рассмотрены два примера -биекторов, -биекторов, а так же пример, когда группа не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой.
В четвертом пункте изучена и рассмотрена сама тема моей курсовой работы, которая и является названием данного пункта. Здесь показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда  совпадает с классом  всех разрешимых -групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биекторов, превращает его в -холловскую подгруппу.
Также в этом пункте изучены и доказаны следующие основные теоремы, (1),(2).
При доказательстве некоторых теорем и лемм использовались ссылки на теоремы, следствия и леммы, формулировки которых можно найти в используемых результатах.
Завершает мою курсовую работу список используемой литературы, который состоит из пяти источников.

1. Основные обозначения

2. Используемые результаты
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC Если  --- класс Шунка, то .
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- класс Шунка и  --- конечная нильпотентная группа. Если  --- подгруппа из , то  является -проектором в  тогда и только тогда, когда  --- -холловская подгруппа.
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- радикальный класс и  --- конечная нильпотентная группа. Если  --- подгруппа из , то  является -инъектором в  тогда и только тогда, когда  --- -холловская подгруппа.
Теорема  SEQ Theorem \* ARABIC Если  --- класс Фиттинга и  --- гомоморф, то .
Следствие  SEQ Theorem \* ARABIC Если  и  --- радикальные формации, то .
Теорема  SEQ Theorem \* ARABIC Если  --- разрешимый класс Шунка, а  --- разрешимая насыщенная формация, то  --- разрешимый класс Шунка.
Следствие  SEQ Theorem \* ARABIC Если  и  --- разрешимые насыщенные формации, то  --- разрешимая насыщенная формация.
Теорема  SEQ Theorem \* ARABIC Если  и  --- классы Фиттинга, то  --- класс Фиттинга и .
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- разрешимая группа, тогда
1) если , то ;
2) если , то ;
3) если , то .
В частности, если  и  --- разрешимые группы ;
4) .
Теорема  SEQ Theorem \* ARABIC  Для любого класса Шунка  в каждой разрешимой группе  любой -проектор является -покрывающей подгруппой и любые две -покрывающие подгруппы группы  сопряжены между собой.
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- разрешимая группа. Тогда:
1) ;
2) .
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC Для любого гомоморфа  и любой группы  справедливы следующие утверждения:
1) если  - -проектор группы  и  максимальна в , то  - -покрывающая подгруппа группы ;
2) если  - -покрывающая подгруппа в группе  и , то  - -покрывающая подгруппа в ;
3) если  - -покрывающая подгруппа группы  и , то  - -покрывающая подгруппа фактор-группы ;
4) если  и  --- -покрывающая подгруппа фактор-группы , то каждая -покрывающая подгруппа из  является -покрывающей подгруппой из .
Теорема  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- класс Фиттинга и  --- разрешимая группа. Тогда  является -инъектором группы  тогда и только тогда, когда  будет -максимальной в  и  --- -инъектор коммутанта .
Следствие  SEQ Theorem \* ARABIC  Пусть  --- класс Фиттинга и  --- разрешимая группа. Если  --- -инъектор группы  и , то  --- -инъектор в .
Теорема  SEQ Theorem \* ARABIC Если  --- максимальная подгруппа разрешимой группы , то ,где .
3. Основные свойства проекторов и инъекторов
Определение. Пусть  --- группа и  --- класс групп. Если  и , то  --- -подгруппа группы .
Определение. -максимальной подгруппой группы  называется такая -подгруппа  группы , которая не содержится ни в какой большей -подгруппе.
Определение. -проектором группы  называется такая подгруппа  группы , что ,  является максимальной в .
Определение. Пусть  --- класс групп. Подгруппа  группы  называется -инъектором, если для каждой субнормальной подгруппы  группы  пересечение  является -максимальной подгруппой в .
Определение. Пусть  --- класс групп. Подгруппа  группы  называется -биектором, если  является -максимальной подгруппой в , а  является -максимальной в  для каждой нормальной подгруппы .
Ясно, что -биектор одновременно является -проектором и -инъектором группы .
Пример  SEQ Theorem \* ARABIC Примерами -биекторов служат силовские -подгруппы групп для класса  всех -групп.
Пример  SEQ Theorem \* ARABIC В группе  силовская 2-подгруппа является -биектором.
Пример  SEQ Theorem \* ARABIC Группа  не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловыми подгруппами порядка 24.

4. Биекторы и их свойства

Для локальной формации  каждая конечная разрешимая группа  обладает единственным классом мопряженных -проекторов. Если  --- радикальный класс, т. e. класс Фиттинга, то каждая конечная разрешимая группа содержит единственный класс сопряженных -инъекторов. Но наиболее употребительными в современной алгебре классы конечных групп являются одновременно и локальными формациями, и радикальными классами. Поэтому вполне естественно встает вопрос о существовании -биекторов в конечных разрешимых группах для локальной радикальной формации .
В настоящей работе показывается, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в том случае, когда  совпадает с классам  всех разрешимых -групп. Кроме того устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биектора превращает его в -холловскую подгруппу, и приведен пример, показывающий, что в разрешимых группах ступени нильпотентности  это свойство нарушается.
Пусть  --- класс групп. Через  обозначается совокупность всех простых чисел , для которых в  существует неединичная -подгруппа, т. е. . Множество  называется характеристикой класса .
Для любого множества простых чисел  через  обозначается класс всех нильпотентных -групп.
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC  Если  --- класс Шунка, то .
 Доказательство. Пусть . Ясно, что примитивная нилпотентная группа имеет простой порядок. Если  --- произвольная примитивная факторгруппа группы , то  имеет простой порядок . Так как , то . Из определения класса Шунка получаем, что . Таким образом, . Обратно, если , то для любого простого делителя порядка  существует подгруппа индекса . Так как , то  и . Лемма доказана.
Следствие  SEQ Theorem \* ARABIC  Если  --- локальная формация, то .
Доказательство. Достаточно вспомнить, что локальная формация является насыщенной, а значит и классом Шунка.
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- класс Шунка и  --- конечная нильпотентная группа. Если  --- подгруппа из , то  является -проектором в  тогда и только тогда, когда  --- -холловская подгруппа.
Доказательство. Пусть  --- -проtктор в группе . Так как , то по лемме  GOTOBUTTON GEQ135  REF GEQ135  \* MERGEFORMAT (??) подгруппа  является -подгруппой. Пусть  --- -холловская в  подгруппа. Ясно, что . Nак как , то  --- -подгруппа и .
Обратно, пусть  --- -холловская подгруппа и пусть  --- -проектор в . Так как , то  --- -подгруппа и .
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC Если  --- радикальныи класс, то .
Доказательство. Если , то в  существует субнормальная подгруппа  простого порядка , для любого . Поэтому , , и .
Обратно, пусть , тогда для каждого  в  существует подгруппа . Значит все -подгруппы содержатся в . Так как  замкнут относительно прямых произведений, то . Лемма доказана.
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- радикальный класс и  --- конечная нильпотентная группа. Если  --- подгруппа из , то  является -инъектором в  тогда и только тогда, когда  --- -холловская подгруппа.
Доказательство. Пусть  --- -инъектор в . Так как , то  будет -подгруппой в . Если  --- -холловская в  подгруппа, то  и  --- -подгруппа. Поэтому .
Обратно, если  --- -холловская подгруппа в , то . Если  --- -инъектор, то  и  ---  подгруппа, поэтому . Лемма доказана.
Пусть , где  --- пробегает все группы из . Если  --- разрешимый радикальный класс, то .
Следствие  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- радикальный класс Шунка. Тогда в каждой конечной нильпотентной группе  существует -биектор  и подгруппа  является -холловской подгруппой группы .
Доказательство получаем из лемм  GOTOBUTTON GEQ142  REF GEQ142  \* MERGEFORMAT (??) и  GOTOBUTTON GEQ138  REF GEQ138  \* MERGEFORMAT (??).
Следствие  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- радикальная локальная формация. Тогда в каждой нильпотентной группе  существует -биектор  и подгруппа  является -холловской подгруппой группы .
Обозначим через  совокупность всех -проекторов группы , а через  совокупность всех -инъекторов.
Теорема  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе  существует -биектор , то  является -холловской подгруппой группы .
Доказательство. Пусть . Так как в разрешимой группе все -проекторы и все -инъекторы сопряжены между собой, то .
Пусть  --- подгруппа Фиттинга. Так как  --- -инъектор в , то по лемме  GOTOBUTTON GEQ142  REF GEQ142  \* MERGEFORMAT (??) подгруппа  является -холловской подгруппой в .
Так как  нильпотентна и  является -проектором в , то  будет -холловской подгруппой в  по лемме  GOTOBUTTON GEQ142  REF GEQ142  \* MERGEFORMAT (??). Поскольку , то  - -подгруппа. Кроме того,  и  есть -число. Значит,  --- -холловская подгруппа.
Следствие  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- радикальная локальная формация. Если в конечной метанильпотентной группе  существует -биектор , то  является -холловской подгруппой группы .
Замечание. Группа  не является метанильпотентной, но -проекторы и -инъекторы совпадают между собой и являются нехолловскими подгруппами порядка .
Теорема  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- радикальный класс Шунка и  --- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе  существует -биектор, то .
Доказательство. Предположим, что  не содержится в , и пусть  --- группа наименьшего порядка из разности . Если  имеет простой порядок , то  и , противоречие. Значит,  --- группа непростого порядка и можно выбрать нетривиальную нормальную в  подгруппу . Так как  и  --- -подгруппа в , то  и .
Пусть  --- -биектор в . Тогда  --- -инъектор в  и . Поскольку  является -проектором в , то   -максимальна в . Так как  --- гомоморф, то , а по выбору группы  получаем, что , т. е.  и , противоречие. Значит, допущение не верно и .
Следствие  SEQ Theorem \* ARABIC Если  --- радикальный класс Шунка, для которого в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .
Следствие  SEQ Theorem \* ARABIC  Если  --- радикальная локальная формация, для которой в каждой конечной разрешимой группе существует -биектор, то .

Для натурального числа  через  обозначим класс всех разрешимых грeпп нильпотентной длины не более . При  имеем класс всех нильпотентных групп, а при  --- класс всех метанильпотентных групп.
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC Для любого натурального числа , класс  является радикальной насыщенной наследственной формацией.
Доказательство. Применим индукцию по . При  имеем класс  всех нипьпотентных групп, он являетсяся насыщенной наследственной формацией и классом Фиттинга. Пусть утверждение справедливо для . По следствию (3)
                                      
Но класс  состоит из всех разрешимых групп нильпотентной длины, меньшей либо равной , т. е. , поэтому
                                        
Согласно следствию (2) класс  насыщенная формация, а по теореме (1) и радикальныи. В силу леммы(1), он наследственныи класс. Следовательно, класс  является радикальной насыщенной наследственной формацией. Лемма доказана.
Лемма  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- разрешимая группа и . Если  --- -проектор группы , то .
Доказательство. Поскольку  --- насыщенная формация, то -проектор в группе  существует согласно следствию  GOTOBUTTON GEQ130  REF GEQ130  \* MERGEFORMAT (??). Поскольку , то . Если , то  и утверждение доказано. Пусть  и . По лемме(2), , а поскольку  --- -проектор группы , то . Тогда , следовательно, , и . Теорема доказана.
Теорема  SEQ Theorem \* ARABIC Если в разрешимой группе  существует -биектор и , то .
Применим индукцию по порядку группы. Пусть  --- -биектор группы . Нам надо доказать, что . Предположим, что  и . Тогда  является -биектором подгруппы  по лемме  GOTOBUTTON GEQ126  REF GEQ126  \* MERGEFORMAT (??) и следствию  GOTOBUTTON GEQ130  REF GEQ130  \* MERGEFORMAT (??). По индукции ,следовательно,  --- максимальная подгруппа группы .
Так как  -- -инъектор группы , то -радикал  и . По теореме  GOTOBUTTON GEQ132  REF GEQ132  \* MERGEFORMAT (??),
                                      (2)
Поскольку  - -проектор группы , то  и  согласно лемме  GOTOBUTTON GEQ148  REF GEQ148  \* MERGEFORMAT (??). Следовательно,
                                  (3)
Согласно лемме (2) , а из равенств (2) и (3) находим, что .Получили противоречие. Теорема доказана.
Заметим что в условии этой теоремы требование  не является лишним. Для  в симметрической группе  силовская -подгруппа является -биектором.
Заключение
В данной курсовой работе было показано, что -биекторы во всех разрешимых группах существуют только в случае, когда  совпадает с классом  всех разрешимых -групп. Кроме того, устанавливается, что в метанильпотентных группах существование -биекторов, превращает его в -холловскую подгруппу.Также изучены и доказаны следующие основные теоремы:
Теорема1  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- радикальный класс Шунка. Если в конечной метанильпотентной группе  существует -биектор , то  является -холловской подгруппой группы .
Теорема2  SEQ Theorem \* ARABIC Пусть  --- радикальный класс Шунка и  --- нормально наследственный гомоморф. Если в каждой группе  существует -биектор, то .
Теорема 3 SEQ Theorem \* ARABIC  Если в разрешимой группе  существует -биектор и , то .

Список использованных источников
 MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields  SEQ GrindEQbib \h [ SEQ GrindEQbib \c 1] Монахов В.С., О биекторах в конечных разрешимых группах// Сб. Вопросы алгебры. Вып. 9 -- Гомель: издательство Гомельского университета, 1996, с. 152-156
 MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields  SEQ GrindEQbib \h [ SEQ GrindEQbib \c 2] Монахов В.С., Введение в теорию конечных групп и их классов: учебное пособие, Мн.: Высшая школа, 2006
 MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields  SEQ GrindEQbib \h [ SEQ GrindEQbib \c 3] Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формации алгебраических систем. -- М.: Наука. -1989. --- 256с.
 MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields  SEQ GrindEQbib \h [ SEQ GrindEQbib \c 4] Шеметков Л.А., Формации конечных групп. -- М.: Наука. -- 1978. --- 272с.
 MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields  SEQ GrindEQbib \h [ SEQ GrindEQbib \c 5] W. Gaschuts., Lectures on subgroups of Sylow type in finite soluble groups. -- Canberra: Austral. Nat. Univ. --- 1979. -- Vol. 11. --- 100p.