БЛАГОВЕЩЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
Курсовая
на тему
Эффект Холла
                                                                            
Выполнила:
                                                                            
                                                                            
Проверил:
2005
Содержание
1.    Общие сведения__________________________3
2.    Объяснение эффекта Холла с помощью электронной теории_______________________6
3.    Эффект Холла в ферромагнетиках___________9
4.    Эффект Холла в полупроводниках__________10
5.    Эффект Холла на энерционных электронах в полупроводниках_________________________11
6.    Датчик ЭДС Холла_______________________15
7.    Угол Холла_____________________________18
8.    Постоянная Холла_______________________19
9.    Измерение эффекта Холла________________20
10.    Эффект Холла при примесной проводимости_____________________________22
11.    Эффект Холла при собственной проводимости_____________________________25
12.    Список используемой литературы_________27
1.Общие сведения.
Эффектом Холла называется появление в провод­нике с током плотностью j, помещён­ном в магнитное поле Н, электрического поля Е_х, перпендикулярного Н и j. При этом на­пряжённость электрического поля, называемого ещё полем Холла, равна:

Рис 1.1

E_x = RHj sin a, (1)
 где a угол между векторами Н и J (a<180°). Когда  H^j, то величина поля Холла Е_х максимальна: E_x = RHj. Ве­личина R, называемая коэффициентом Холла, является основной характеристикой  эффекта Холла. Эффект открыт Эдвином  Гербертом Холлом в 1879 в тонких пла­стинках золота. Для наблюдения Холла эффекта вдоль прямоугольных пластин из иссле­дуемых веществ, длина которых l значитель­но больше ширины b и толщины d, про­пускается ток:
I = jbd (см. рис.);
здесь маг­нитное поле перпендикулярно плоскос­ти пластинки. На середине боковых граней, перпендикулярно току, распо­ложены электроды, между которыми из­меряется ЭДС Холла V_x:
V_x = Е_хb = RHj/d. (2)
Так как ЭДС Холла меняет знак на обратный при изменении направления магнитного поля на обратное, то Холла эффект относится к не­чётным гальваномагнитным явлениям.
Простейшая теория Холла эффекта объясняет появление ЭДС Холла взаимодействием носителей тока (электронов проводимости и дырок) с магнитным полем. Под дейст­вием электрического поля носители заряда приобретают направленное движе­ние   (дрейф),   средняя   скорость которого (дрейфовая скорость) v_др¹0. Плотность тока в проводнике j = n*ev_др, где n — концентрация чи­сла носителей, е — их заряд. При наложе­нии магнитного поля на носители действу­ет Лоренца сила: F = e[Hv_дp], под действием которой частицы отклоняются в направлении, перпендикулярном v_др и Н. В результате в обеих гранях провод­ника конечных размеров происходит на­копление заряда и возникает электростатическое поле — поле Холла. В свою очередь поле Холла действует на заряды и урав­новешивает силу Лоренца. В условиях равновесия eE_x = еНv_др, E_x =1/ne Hj, отсюда R = 1/ne (cм^з/кулон). Знак R сов­падает со знаком носителей тока. Для металлов, у которых концентрация носи­телей (электронов проводимости) близка к плотности атомов (n»10²²См^-3), R~10^-3(см³/кулон), у полупроводников кон­центрация носителей значительно меньше и R~10⁵ (см³/кулон). Коэффициент Холла R мо­жет быть выражен через подвижность носителей заряда m = еt/m* и удельную электропроводность s = j/E = еnv_лр/Е:
R=m/s (3)
Здесь m*— эффективная масса носи­телей, t — среднее время между двумя последовательными соударениями с рассеивающи­ми центрами.
Иногда при описании Холла эффекта вводят угол Холла j между током j и направлением суммарного поля Е: tgj= E_x/E=Wt, где W — циклотронная частота носи­телей заряда. В слабых полях (Wt<<1) угол Холла j»Wt, можно рассматривать как угол, на который отклоняется движу­щийся заряд за время t. Приведённая те­ория справедлива для изотропного про­водника (в частности, для поликристал­ла), у которого m* и t их— постоянные вели­чины. Коэффициент Холла (для изотроп­ных полупроводников) выражается через парциальные проводимости s_э и s_д и концентрации электронов n_э и дырок n_д:
 (a) для слабых полей
                                                                       (4)
   (б) для сильных полей.
При n_э = n_д, = n для всей области магнитных полей :
,
а знак R указывает на преобладающий тип про­водимости.
Для металлов величина R зависит от зонной структуры и формы Ферми поверхности. В случае замкнутых по­верхностей Ферми и в сильных магнит­ных полях (Wt»1) коэффициент Холла изо­тропен, а выражения для R совпадают с формулой 4,б. Для открытых поверхно­стей Ферми коэффициент R анизотропен. Одна­ко, если направление Н относительно кристаллографических осей выбрано так, что не возникает открытых сечений поверхности Ферми, то выражение для R аналогич­но 4,б.
2. Объяснение эффекта Холла с помощью электронной теории.
Если металлическую пластинку, вдоль которой течет постоянный электрический ток, поместить в перпендикулярное к ней магнитное поле, то между гранями, параллельными направлениям тока и поля возникает разность потенциалов U=j₁-j₂ (смотри рис 2.1). Она называется Холловской разностью потенциалов (в предыдущем пункте – ЭДС Холла) и определяется выражением:
u_h =RbjB (2.1)
Здесь  b — ширина пластинки, j — плотность тока, B — магнитная индукция поля, R — коэффициент пропорциональности, получивший название постоянной Холла. Эффект Холла очень просто объясняется электронной теорией, отсутствие магнитного поля ток в пластинке обусловливается электрическим полем Е_о (смотри рис 2.2). Эквипотенциальные поверхности этого поля образуют систему перпендикулярных к вектору Е_о скоростей. Две из них изображены на рисунке сплошными прямыми линиями. Потенциал во всех точках каждой поверхности, а следовательно, и в точках 1 и 2 одинаков. Носители тока — электроны — имеют отрицательный заряд, поэтому скорость их упорядоченного движения и направлена противоположно вектору плотности тока j.
При включении магнитного поля каждый носитель оказывается под действием магнитной силы F, направленной вдоль стороны b пластинки и равной по модулю
F=euB (2.2)
В результате у электронов появляется составляющая скорости, направленная к верхней (на рисунке) грани пластинки. У этой грани образуется избыток отрицательных, соответственно у нижней грани — избыток положительных зарядов. Следовательно, возникает дополнительное поперечное электрическое поле Е_B. Тогда напряженность этого поля достигает такого значения, что его действие на заряды будет уравновешивать силу (2.2), установится стационарное распределение зарядов в поперечном направлении. Соответствующее значение E_B определяется условием: eE_B=euB. Отсюда:
Е_B=uВ.
Поле Е_B складывается с полем Е_о в результирующее поле E. Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны к вектору напряженности поля. Следовательно, они повернутся и займут положение, изображенное на рис. 2.2 пунктиром. Точки 1 и 2, которые прежде лежали на одной и той же эквипотенциальной поверхности, теперь имеют разные потенциалы. Чтобы найти напряжение воз­никающее между этими точками, нужно умножить расстояние между ними b на напряженность Е_B:
UH=bE_B=buB
Выразим u через j, n и e в соответствии с формулой j=neu. В результате получим:
U_H=(1/ne)bjB (2.3)
Последнее выражение совпадает с (2.1), если положить
R=1/ne (2.4)
Из (2.4) следует, что, измерив постоянную Холла, можно найти концентрацию носителей тока в данном металле (т. е. число носи­телей в единице объема).
Важной характеристикой вещества является подвижность в нем носителей тока. Подвижностью носителей тока называется средняя скорость, приобретаемая носителями при напряженности электри­ческого поля, равной единице. Если в поле напряженности Е носи­тели приобретают скорость u то подвижность их u₀ равна:
U₀=u/E (2.5)
Подвижность можно связать с проводимостью s и концентрацией носителей n. Для этого разделим соотношение j=neu на напряжённость поля Е. Приняв во внимание, что отношение j к Е дает s, а отношение u к Е - подвижность, получим:
s=neu₀ (2.6)
Измерив постоянную Холла R и проводимость s, можно по формулам (2.4) и (2.6) найти концентрацию и подвижность носи­ли тока в соответствующем образце.

b

B

j1

j2

			j

 

– – – – – – – – – – 1– – – – – – – – – –  –

Рис 2.1

F

EB

E

 

–

				E0
	u

B

	+++++++++++++2+++++++++++++

 

Рис 2.2

3. Эффект Холла в ферромагнетиках.
В ферромагнетиках на электроны про­водимости действует не только внешнее, но и внутреннее магнитное поле:

В = Н + 4pМ

Это приводит к особому ферромагнит­ному эффекту Холла. Экспериментально обнаруже­но, E_x= (RB + R_аM)j, где R — обык­новенный, a R_a — необыкновенный (ано­мальный) коэффициент Холла. Между R_a и удельным электросопротивлением ферромагнетиков установлена корреляция.
4. Эффект Холла в полупроводниках.
Эффект Холла наблюдается не только в металлах, но и в полупроводниках, причем по знаку эффекта можно судить о принадлеж­ности полупроводника к n- или p-типу, так как в полупроводниках n-типа знак носителей тока отрицательный, полупроводниках p-типа – положительный. На рис. 4.1 сопоставлен эффект Холла для образцов с положительными и отрицательными носителями. Направление магнитной силы изменяется на противоположное как при изменении направления движения заряда, так и при изменении его знака. Следовательно, при одинаковом направлении тока и поля магнитная сила, действующая на положительные и отрицательные носители, имеет одинаковое направление. Поэтому в случае положительных носителей потенциал верхней (на рисунке) грани выше, чем нижней, а в случае отрицательных носителей — ниже. Таким образом, определив знак холловской разности потенциалов, можно установить знак носителей тока. Любопытно, что у некоторых металлов знак U_н соответствует положительным носителям тока. Объяснение этой аномалии дает квантовая теория.

j

u

F

u

F

	– – – – – – – – – – –

+++++++++++++++

B

j

							B
	– – – – – – – – – – –			+++++++++++++++

 

Рис 4.1

5. Эффект Холла на инерционных электронах в полупроводниках.
Предсказан новый физический эффект, обусловленный действием силы Лоренца на электроны полупроводника, движущегося ускоренно. Получено выражение для поля Холла и выполнены оценки холловского напряжения для реальной двумерной гетероструктуры. Выполнен анализ возможной схемы усиления холловского поля на примере двух холловских элементов, один из которых — генератор напряжения, а второй — нагрузка.
Известен опыт Толмена и Стюарта, в котором наблюдался импульс тока j, связанный с инерцией свободных электронов. При инерционном разделении зарядов в проводнике возникает электрическое поле напряженностью E. Если такой проводник поместить в магнитное поле B, то следует ожидать появления эдс, аналогичной эффекту Холла, обусловленной действием силы Лоренца на инерционные электроны.
В проводнике, движущемся с ускорением dv_x/dt, возникает ток j_x и поле E_x
,                     (1)
,                       (2)
где s = enm — проводимость, m — подвижность. В магнитном поле B(0; 0; B_z) возбуждается поле E_y = (1/ne) j_xB_z или
                         (3)
Последнее выражение эквивалентно E_y = E_xmB_z.
Наиболее подходящий объект для экспериментального наблюдения эффекта — двумерные электроны в гетеросистеме n-Al_xGa_1-xAs/GaAs. В единичном образце (1x1 см²) в поле 1 Тл и m@ 10⁴ см² (В * с) для dv_x/dt @ 10 м/с² следует ожидать сигнал V_y@ 6*10^-11B, что вполне доступно для современной техники измерений.
Рассмотрим одну из возможностей усиления эффекта на примере двух холловских элементов, один из которых (I) является генератором поля Холла, а второй (II) —нагрузкой. Схема соединений холловских элементов I и II показана на рисунке.
Итак, в магнитном поле B_z (направление которого на рисунке обозначено знаком Å) в первом холловском элементе (I) возбуждается ток j⁽¹⁾_x , поле E⁽¹⁾_x и холловское поле E⁽¹⁾_y, даваемые выражениями (1)–(3). Замкнув потенциальные (холловские) контакты X₁-X₁ на токовые контакты T₂-T₂ холловского элемента II, в последнем дополнительно к первичному полю E⁽²⁾_x = E⁽¹⁾_x, определяемому выражением (2), имеем и поле E⁽¹⁾_y. Так что результирующее поле имеет два компонента — E⁽²⁾_x = E⁽¹⁾_x+ E⁽¹⁾_y. Это возможно, если холловский элемент I рассматривать как генератор напряжения, нагруженный на холловский элемент II. В этом случае должен выполняться режим ”холостого хода”, для чего необходимо выполнить условие R(X₁-X₁)<<R(T₂-T₂), где R — сопротивление между соответствующими контактами. В таком случае в холловском элементе II возбуждается поле
E⁽²⁾_y=(E⁽¹⁾_y+ E⁽¹⁾_y)mB_z                         (4)
Учитывая соотношение E⁽¹⁾_y=E⁽¹⁾_xmB_z, получаем
E⁽²⁾_y=(1+mB_z)mB_zE⁽¹⁾_x                                  (5)
Непосредственное наблюдение эффекта, видимо, затруднено. Более реально осуществить опыты с вибрацией образца в магнитном поле. Полезный сигнал e_y при этом может быть отделен от наводки e^*_y по квадратичной зависимости от частоты колебаний w (наводка пропорциональна 1-й степени частоты колебаний).
В самом деле, для данной геометрии опыта (см рисунок) в магнитном поле B(0; 0; B_z) при изменении координаты x со временем по закону x = x₀ cos wt, где w — частота задающего генератора, нагруженного на пьезоэлемент, и x₀ — амплитуда колебаний последнего, имеем из соотношения (3)
               (6)
где l_y — расстояние между холловскими контактами образца (X₁-X₁) т. е. E_y = E_yl_y. Паразитная наводка e^*_y, возникающая в соединительных проводах в соответствии с законом электромагнитной индукции Фарадея, определяется выражением
                (7)
где l^*_y — эффективная длина соединительных проводников, включающих образец в схему измерений. Таким образом, полезный сигнал e_y имеет отличительные особенности по отношению к наводке e^*_y. Первая особенность это пропорциональность величине w², тогда как e^*_y»w. Одновременно e_y во времени изменяется синфазно, а e^*_y — противофазно напряжению задающего генератора. Существенно отметить, что масса, входящая в выражения (1)-(3), это масса свободного электрона; величина же подвижности m определяется эффективной массой.

Рис 5.1
Схема усиления холловского поля из двух элементов I и II.
Указаны направления: знаком Å — магнитного поля B_z; стрелками — ускорения dV_x/dt; полей Холла E⁽¹⁾_y , E⁽²⁾_y ; плотностей тока j⁽¹⁾_x , j⁽²⁾_x .
6. Датчик ЭДС Холла.
Датчик ЭДС Холла – это элемент автоматики, радиоэлектроники и измерительной техники, используемый в качестве измерительного  преобразователя, действие которого основано на эффекте Холла. Представляет собой тонкую прямоугольную пластину (площадь – несколько мм²), или пленку, изготовленную из полупроводника (Si, Ge, InSb, InAs), имеет четыре электрода для подвода тока и съёма ЭДС Холла. Чтобы избежать механических повреждений, пластинки Холла ЭДС датчика монтируют (а пленку напыляют в вакууме) на прочной подложке из диэлектрика (слюды, керамики). Для получения наибольшего эффекта толщина пластины (плёнки) делается возможно меньшей. Датчики ЭДС Холла применяют для бесконтактного измерения магнитных полей (от 10^-6 до 10⁵ Э). При измерении слабых магнитных полей пользуются Холла ЭДС датчиками, вмонтированными в зазоре ферро– или ферримагнитного стержня (концентратора), что позволяет значительно повысить чувствительность датчика. Так как в полупроводниках концентрация носителей зарядов (а следовательно, и коэффициент Холла) может зависеть от температуры, то в случае точных измерений необходимо либо термостатировать Холла ЭДС датчик, либо применять сильнолегированные полупроводники (последнее снижает чувствительность датчика).
При помощи Холла ЭДС датчика можно измерять любую физическую величину, которая однозначно связана с магнитным полем; в частности можно изменять силу тока, так как вокруг проводника с током образуется магнитное поле, которое можно измерить. На основе Холла ЭДС датчика созданы амперметры на токи до 100 кА. Кроме того Холла ЭДС датчики применяются в измерителях линейных и угловых перемещений, а также в измерителях градиента магнитного поля, магнитного потока и мощности электрических машин, в бесконтактных преобразователях постоянного тока в переменный, и, наконец, в воспроизводящих головках систем звукозаписи.
7. Угол Холла
Влияние магнитного поля мы оцениваем, сравнения поле Холла с тянущим полем. Определим угол Холла

где      
Эффект Холла определяется свойствами «среднего» электрона, он не зависит от концентрации.

Рис.7.1 Определение угла Холла ф_Н.
Макроскопически угол Холла описывает искривление силовых линий электрического поля (или эквипотенциальных поверхностей) под действием магнитного поля, микроскопически - часть орбиты Ландау, которую в среднем проходит электрон между двумя столкновениями.
Знак определяется знаком носителей заряда и позволяет таким образом различить электронную  дырочную проводимости.
Количественная оценка угла Холла: если В=1Т, , то  При 300 К имеем
Полупроводник          Металл
                                            
                                            
При очень малых углах Холла, например в полупроводниках и металлах с низкой подвижностью, наблюдение малых отклонений эквипотенциалей очень затруднено.
8. Постоянная Холла
После Холла E_н возникает в магнитном поле из-за наличия у электронов дрейфовой скорости V_d. Макроскопически, однако, измеряют ток, соответствующий плотности тока j=qnv_d=qnuE_y. Поэтому E_н определяют через j и вводят постоянную Холла.

Вследствие нормировки на плотность тока постоянная Холла зависит от концентрации, но не зависит от подвижности носителей!
Измеряя напряженность поля Е_Н, плотность тока j и магнитное поле B, мы можем определить из эффекта Холла знак и концентрацию носителей

9. Измерение эффекта Холла
Мы здесь не можем подробно обсуждать технику измерений эффекта Холла. Трудности заключаются в получении однородного тока, измерении малых напряжений, получении низкоомных контактов, устранении термонапряжений и т.д. На эту тему имеется обширная литература

Рис. 9.1 Геометрия при изменениях проводимости и эффекта Холла.
Ниже мы только приведем формулы, связывающие измеряемые величины (I, U_D, U_H, B, l, d, h) со свойствами материала . При этом будем предполагать, что ток однородный (рис. 3)
I = j dh;                
     
    
         и 
10. Эффект Холла при примесной проводимости
Если в образце имеются носители заряда разного знака или с разной подвижностью, то условие  уже нельзя выразить через макроскопическое поле Холла Е_х, поскольку для каждого типа носителей j условие Е_х/Е_у=-  следует рассматривать отдельно. В предельном случае бесконечно длинного проводника можно рассмотреть более слабое условие j=(0, j_y, 0). Это означает отсутствие тока поперек проводника. Если, например, имеются электроны и дырки, то из соотношения

поскольку q _p = - q _n = e ₀, сразу получаем

Таким образом, вдоль направления х имеется амбиполярный ток. Для проводников с одним типом носителей мы показали, что монополярный ток течет только при включении магнитного поля, чтобы за счет пространственного заряда возникло поле Холла, что, с другой стороны, обеспечивает выполнение условия j _x = 0. Для проводника с двумя типами носителей электрический ток обращается в нуль, хотя ток отдельных частиц существует. Корректное описание эффекта Холла в этом случае должно учитывать процессы рекомбинации, приводящие к исчезновению постоянно образующихся носителей обоих типов. Кроме того, концентрации носителей создают пространственные заряды, что приводит к появлению поля Холла и возникновению диффузионных токов, дающих вклад в j _x. Это более строгое условие, конечно, было бы необходимо и в случае носителей одного типа!
Здесь мы рассмотрим предельный случай только поверхностной рекомбинации, так что концентрацию носителей в объеме можно считать постоянной. Если это условие не выполнено, то полученные результаты могут оказаться полностью неправильными.
Для расчета угла Холла имеются два стационарных уравнения Друде – Лоренца

В нашей геометрии E=(E_x, E_y, 0), B=(0, 0, B) с учетом  получаем
   
   
Учитывая условие Холла j _x = 0, здесь можно заменить скорости. Тогда для угла Холла имеем

Плотность тока j = (0, j _y, 0) определим с помощью

и получим

Для двух типов носителей магнетосопротивление возникает уже в модели Друде – Лоренца, поскольку направление дрейфа частиц не совпадает с направлением плотности тока.
Уравнения можно упростить для часто встречающегося экспериментально случая «слабых полей»  т.е.

и

Для постоянной Холла в пределе слабых полей из E_x=-R_HB_jy  и j_y= E_y  с учетом q_p=-q_n=e₀ имеем

Мы получили, что  или R_H<0, если  и наоборот, т.е. знак определяется основными, следовательно, более быстрыми носителями. Изменение знака имеет место при выполнении условия

11. Эффект Холла при собственной проводимости
Для полупроводников ,описываемых простой двухзонной моделью (одна зона проводимости и одна валентная зона),

Рис.11.1.  Проводимость и константа Холла для различных легированных образцов теллура.
За счет анизатропной кристаллической структуры в различных направлениях поля и тока имеется различная проводимость.
для  случая собственной проводимости выполняется соотношение n = p . Тогда в слабых магнитных полях имеем
                                  tg ф_{Н = -} B(µ_{n +}µ_p)
и
                                  R_H= (1/n_ie₀)/((µ_p + µ_n)(µ_p - µ_n))
Из R_H и ơ сразу же получаем разность подвижностей
  
                                  R_Hơ = µ_p + µ_n = |µ_p |- |µ_n |
Если подвижности одинаковы , то эффект Холла исчезает.
На рис.11.1 показаны результаты измерений проводимости и постоянной Холла для кристаллов с различной степенью легирования , так что в данном интервале температур имелись образцы с собственной (n = p) , смешанной (n  < p) и примесной (n << p) проводимостью. Для образцов со смешанной проводимостью при нагревании меняется знак основных носителей, что объясняется ростом вклада электронов. Изменение знака при  ~500К , наблюдаемое для образцов с собственной проводимостью, можно объяснить, по-видимому, различной температурной зависимостью при высоких температурах преобладает дырочный вклад. Изменение знака не наблюдается.
12. Список используемой литературы.
1)      Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика, т. VIII. Электродинамика сплошных сред (М., Наука, 1982)
с. 309.
2)      И.М. Цидильковский УФН, 115, 321 (1975).
Редактор Т.А. Полянская
3)      Физика и техника полупроводников, 1997, том 31, № 4

4)      И.В. Савельев Курс общей физики, т. II. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика: Учебное пособие. – 2-е издание, переработанное (М., Наука, главная редакция физико-математической литературы,1982) с.233 – 235.

5)      Большая советская энциклопедия, том 28, третье издание (М., издательство «Советская энциклопедия», 1978) с.338-339.