Академия России
Кафедра Физики
ПЕРЕХОДНЫЕ И СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЦЕПЯХ С ОДНИМ РЕАКТИВНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ ПРИ СТУПЕНЧАТОМ ВОЗДЕЙСТВИИ

 

 

 

 

 

 

Орел 2009

Содержание
Вступление
Переходные колебания в цепи с емкостью
Переходные колебания в цепи с индуктивностью
Методика нахождения реакций
Свободные колебания в электрической цепи

Библиографический список

ВСТУПЛЕНИЕ
В данной лекции будет показан принцип применения операторного метода для анализа переходных колебаний в электрических цепях, содержащих один реактивный элемент и резисторы.
Будем считать, что на электрическую цепь, содержащую один реактивный элемент и резисторы, в момент  действует ступенчатое воздействие в виде перепада постоянного тока или постоянного напряжения, условное обозначение которых показано на рисунке 1. Цепь находится при нулевых начальных условиях (НУ).

Рис. 1
В результате изучения материала курсанты должны уметь находить математическое выражение и строить график любой реакции на ступенчатое воздействие в цепях, содержащих один реактивный элемент и один или несколько резисторов.
 Переходные колебания в цепи с емкостью
Рассмотрим воздействие перепада напряжения на последовательную RC-цепь. Пусть на последовательную RC-цепь, находящуюся при нулевых НУ в момент  воздействует перепад напряжения  (рис. 2).

Рис. 2
Найдем законы изменения тока в цепи  и напряжений на ее элементах  и .
На основании 2 закона коммутации: .
Для анализа переходного процесса используем операторный метод, для чего перейдем к операторной схеме замещения RC-цепи (рис. 3)

Рис. 3
Изображение тока в цепи определяется по закону Ома в операторной форме:
.
По таблице соответствий найдем оригинал:
,
где  есть постоянная времени цепи.
Постоянная времени τ - промежуток времени, в течение которого напряжение (ток), убывая по экспоненциальному закону, уменьшается в е раз по отношению к значению напряжения (тока) в начале анализируемого промежутка времени. Она зависит от параметров цепи и влияет на крутизну экспоненты.
Напряжение на резисторе определяется по закону Ома для оригинала:
.
Закон изменения напряжения на емкости проще всего найти по 2‑ому закону Кирхгофа для оригиналов:
.
Отметим, что при , , т. е. в момент перепада напряжения конденсатор представляет собой КЗ.
Графики данных функций описываются экспоненциальным законом и отличаются лишь начальным значением реакций. Их можно построить, составив таблицу значений  для  и  для :

	0
	1	0,368	0,135	0,05	0,01	<0,01
	0	0,632	0,865	0,95	0,99	>0,99

 На рисунке 4 показаны графики  и  и их деформация при изменении  цепи.

Рис. 4
Постоянную времени цепи τ можно определить по следующему отношению величин, взятых из графика (рис. 4).
.
Постоянная времени τ зависит от параметров цепи (R и С) и влияет на крутизну экспоненты (рис. 4):
-         при уменьшении τ экспонента проходит круче и процесс переходных колебаний ускоряется;
-         при увеличении τ, наоборот, экспонента проходит положе и процесс переходных колебаний замедляется.
Из графика видно, что теоретически переходные колебания в RC-цепи продолжаются бесконечно долго: f(t) → 0 (Е) при t → ∞.
Если рассмотреть промежуток времени t = 3τ, то окажется, что значение исходной функции уменьшается до 0,05 (увеличивается до 0,95) от начального значения, а при t = 4,6τ значение функции будет составлять всего 0,01 (0,99) от первоначального. Принято считать промежуток времени от t = 0 до t = (3 4,6)τ длительностью процесса переходных колебаний или временем установления.
Таким образом, t_УСТ = (3 4,6)τ.
Примечание: постоянная времени сложной цепи определяется по той же формуле τ = RC, где R = R_ЭКВ – эквивалентное сопротивление, подключенное к элементу емкости после совершения коммутации, т. е. при t = +0. Это сопротивление находится, как в обычной резистивной цепи.
Соответствующая операторная схема показана на рисунке 6.

Рис. 6
Воспользуемся методом контурных токов:
;
;
.
Далее находим остальные реакции по первому закону Кирхгофа:
.
Графики этих реакций, при , будут иметь вид (рис. 7):

Рис. 7
Напряжения на резисторах легко определяются путем умножения токов  и  на соответствующие сопротивления, а напряжение на емкости можно найти по второму закону Кирхгофа:
.
График данной функции имеет такой же вид, как и на рисунке 4.
Выводы:
1. Временные зависимости всех реакций определяются экспоненциальной функцией.
2. Переходные процессы теоретически длятся бесконечно долго, однако на практике их считают законченными за время , которое называют временем установления. Изменяя постоянную времени цепи  можно менять длительность переходного процесса.
3. С физической точки зрения все графики объясняются процессом заряда емкости при ступенчатом воздействии.
Переходные колебания в цепи с индуктивностью
Анализ переходных колебаний в цепи с индуктивностью при воздействии перепада напряжений выполняется аналогично рассмотренному выше. Найдем реакции в последовательной цепи , показанной на рисунке 8.

Рис. 8

,
где  — постоянная времени цепи  .
Отметим, что при  – , а , т. е. при перепаде напряжения индуктивность эквивалентна обрыву цепи, а при  эквивалентна КЗ.
Графики временной зависимости напряжений приведены на рисунке 9.

Рис. 9
Изменяя величину , можно регулировать длительность переходного процесса.
Аналогично можно рассмотреть переходные процессы в параллельной -цепи при воздействии на нее перепада тока и изобразить графики временной зависимости токов в ветвях ,  и напряжения .

Методика нахождения реакций на ступенчатое воздействие в цепях с одним реактивным элементом и несколькими резисторами
Если цепь содержит несколько резисторов, то их по отношению к реактивному элементу известными способами можно свести к одному эквивалентному резистивному сопротивлению. Поэтому ранее полученные выводы справедливы и для этих цепей. В таких случаях для нахождения реакций можно не составлять уравнения в операторной форме, а сразу записать решение в виде:
,
где  и  – значения искомой функции соответственно в момент коммутации и в установившемся режиме.
При нахождении величин в приведенной формуле следует пользоваться следующими соображениями:
1. Постоянная времени  находится для -цепи  для -цепи – , где  — эквивалентное резистивное сопротивление со стороны зажимов реактивного элемента при погашенном источнике.
2. При отыскании  незаряженный конденсатор заменить КЗ, а индуктивность – разрывом.
3. При определении  конденсатор следует заменить разрывом, а индуктивность – КЗ.

Свободные колебания в электрической цепи с одним реактивным элементом
4.1. Свободные переходные процессы в цепи с емкостью
Пусть заряженная до напряжения E емкость C в момент времени t = 0 подключается к резистору R (рисунок 10).

Рис. 10
За счет энергии, запасенной в емкости C, в цепи будут происходить свободные колебания. Найдем временные зависимости тока в цепи и напряжений на элементах R и C, которые, как видно из рисунка 10, одинаковы.
Начальные значения тока и напряжения на элементах можно определить на основании законов коммутации. Так как напряжение на емкости не может измениться скачком, то u_C(-0) = u_C(+0) = E, т. е. начальные условия ненулевые. Рассматриваемая схема для момента времени t = +0 (сразу же после коммутации) имеет вид, показанный на рисунке 11, при этом емкость можно рассматривать как источник заданного напряжения.

Рис. 11
Применим операторный метод, для чего заряженную емкость заменим одной из эквивалентных схем замещения (иначе нельзя применять закон Ома в операторной форме). В данном случае удобнее использовать последовательную схему замещения. При этом ЭДС операторного источника напряжения соответствует начальному напряжению на емкости. На рисунке 12 схема замещения заряженной емкости выделена пунктиром.

Рис. 12
По закону Ома в операторной форме:
; .
Задача в операторной форме решена – получено выражение для преобразованного тока в цепи.
Перейдем от изображения к оригиналу. Согласно таблице соответствий
. Следовательно: .
Произведение RC обозначается τ, измеряется в секундах и называется постоянной времени RC-цепи.
Так как u_C = u_R , то их временные зависимости также одинаковы. Поэтому, зная выражение для тока в цепи, можно получить и выражение для напряжений на элементах:
.
Графики полученных выражений целесообразно построить в виде отношения
,
где f(t) = i(t) или f(t) = u_C(t) = u_R(t) ,
 – максимальное значение определяемой величины, полученное на основании законов коммутации и физического смысла:
 (нет скачка),
 (скачок напряжения),
 (скачок тока).
Заметим, что все эти отношения одинаковы, поэтому достаточно построить один график зависимости . В таблице приведены результаты расчета .
На рисунке 13 показаны графики функций  для разных значений τ:

Рис. 13
Данный график представляет собой экспоненту, убывающую с ростом времени t. Важно заметить, что за промежуток времени τ значения экспоненты уменьшаются в е = 2,718… раз, причем такое убывание характерно для любого участка экспоненты.
4.2. Свободные переходные процессы в цепи с индуктивностью
Пусть через индуктивность L протекает ток I₀, т. е. при , . В момент времени  происходит коммутация – гасится источник (рис. 14).

Рис. 14
За счет энергии, запасенной индуктивностью, происходит процесс свободных колебаний, пока вся энергия не израсходуется на нагрев резистора R. Найдем временные зависимости тока в цепи и напряжений на элементах R и L, которые, как видно из рисунка 14, одинаковы.
На основании 1-го закона коммутации ток через индуктивность не может измениться скачком, т. е. , и в момент времени , , то есть начальные условия ненулевые.
Рассматриваемая схема для момента времени , т. е. сразу же после коммутации, имеет вид, показанный на рисунке 15, при этом индуктивность можно рассматривать как источник задающего тока.

Рис. 15
Для нахождения закона изменения тока в цепи и напряжений на элементах R и L воспользуемся операторным методом, для чего индуктивность с током заменим одной из эквивалентных схем замещения. Здесь удобнее использовать параллельную схему замещения, при этом ток операторного источника тока соответствует начальному току через индуктивность. На рисунке 16 схема замещения индуктивности с током выделена пунктиром.

Рис. 16
На основании правила деления токов:
.
Задача в операторной форме решена – получено выражение для преобразованного тока в цепи. На основании таблицы соответствий получим оригинал – временную зависимость тока в режиме свободных колебаний:
,
где τ =  – постоянная времени цепи, имеющая размерность [с].
Так как u_L = u_R, то их временные зависимости также одинаковы. По закону Ома для оригиналов:
.
Таким образом, в цепи с индуктивностью в режиме свободных колебаний ток и напряжение на элементах R и L будут изменяться (как и в цепи с емкостью) по экспоненциальному закону с постоянной времени τ = . Физический смысл τ такой же, как и в цепи с емкостью. Постоянная времени зависит от параметров цепи R и L и влияет на крутизну экспоненты:
-         при увеличении τ, что достигается уменьшением величины R или увеличением величины L, экспонента проходит положе – процесс затухания свободных колебаний замедляется;
-         при уменьшении τ, что достигается увеличением величины R или уменьшением L, экспонента проходит круче, и процесс затухания свободных колебаний ускоряется.
При этом , то есть скачок тока невозможен, а , то есть наблюдается скачок напряжения.
Тогда .
Этот график представляет собой убывающую экспоненту. Крутизна убывания определяется величиной постоянной времени τ. Вид графика не отличается от ранее рассмотренного для цепи с емкостью.
Время окончания свободных колебаний зависит от постоянной времени цепи и определяется так же, как и для цепи с емкостью:
t_УСТ = (3 4,6)τ.
Примечание: Постоянная времени сложной цепи определяется по формуле, τ = , где R = R_Э – эквивалентное сопротивление, подключенное к элементу индуктивности после совершения коммутации, то есть при . Это сопротивление находится как в обычной резистивной цепи.
В результате анализа свободных колебаний в цепи с одним реактивным элементом можно сделать общие выводы.
1.       Реакция (ток, напряжение) цепи на ступенчатое воздействие, формируется путем отключения от цепи источника энергии, представляет собой экспоненциальную убывающую функцию вида:
.
Это соответствует физическому смыслу: при отключении источника накопленная энергия убывает, она расходуется на нагрев активного сопротивления.
При анализе свободных колебаний необходимо определить начальное значение реакции, используя законы коммутации, начальные условия, постоянную времени цепи.
2.       Закон изменения реакций справедлив и для сложных цепей, содержащих один реактивный элемент и несколько резисторов.

Библиографический список

1. Белецкий А. Ф. ТЛЭЦ: учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1986.
2. Шалашов Г. В. Переходные процессы в электрических цепях.
3. Бакалов В. П. ТЭЦ: учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1998