Реферат на тему Интегральные преобразования
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-06-29Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Операционное исчисление и некоторые его приложенияПусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям : Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода). Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me S0t Рассмотрим функцию f(t)×e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b). (1) Применим к этому соотношению формулу Эйлера : Проинтегрировав это равенство получим : (2) Оценим левую часть равенства (2) : А согласно свойству (3) |f(t)| < Me S0t В случае если a>S0 имеем : Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2). Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р : (3) Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом. f(t) Ü F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу. - это оператор Лапласа. Смысл введения интегральных преобразований. Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений. Теорема единственности: если две функции j( t) и Y(t) имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны. Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным. Изображение функций s0(t), sin (t), cos (t). Определение: называется единичной функцией. Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение : Изображение единичной функции Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) : интегрируя по частям получим : т.е. Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию в области преобразований. Откуда : Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного. где а – константа. Таким образом : и Свойства линейности изображения. Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные. Если , то , где Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(a+p) является изображением функции e-at f(t) (4) Доказательство : Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4) Что и требовалось доказать. Таблица основных изображений:
Изображение производных. Теорема. Если , то справедливо выражение : (1) Доказательство : (2) (3) Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем : Что и требовалось доказать. Пример: Решить дифференциальное уравнение : Если x(0)=0 и x’(0)=0 Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и , где - решение в области изображений.
Изображающее уравнение : Теорема о интегрировании оригинала. Пусть находится в области оригиналов, , тогда также оригинал, а его изображение . Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений. Теорема о интегрировании изображений : Пусть – функция оригинал, которая имеет изображение и также оригинал, а - является сходящимся интегралом, тогда . Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до ¥ в области изображений. Понятие о свертке функций. Теорема о свертке. Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция : (1) Свертка обозначается следующим образом : (1’) Равенства (1) и (1’) идентичны. Свертка функции подчиняется переместительному закону. Доказательство: Теорема о умножении изображений. Пусть и , тогда произведение изображений представляется сверткой оригиналов . Доказательство : Пусть изображение свертки (1) Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и t . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно. Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p). Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса. Теорема Эфроса. Пусть функция находится в области оригиналов, , а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что , тогда . В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда (2) Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений. Обратное преобразование Лапласа. - Это прямое преобразование Лапласа. Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение : , где s – некоторая константа. Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению. Теоремы разложения. Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения. Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде , k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, , то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : . Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией . Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни a1, a2, …, a n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле : (3) Например : Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа. Преобразование Лапласа имеет вид : (1) На f(t) наложены условия : f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-¥ ; ¥ ) f(t) º 0 , t Î (- ¥ ;0) При M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me S0t Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл : (2) Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа. Пусть в (1) и (2) p =a + in, где a и n – действительные числа. Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е. (4) (5) и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье. Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям : Должна быть определена на промежутке (-¥ ; ¥ ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода. Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная. Функция абсолютно интегрируема : , это условие выполняется, если |f(t)|<Me S0t Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций : т.к. Если f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси. Если f(t) ¹ 0, t<0 (6) Обозначим Очевидно, что (6’) Функция (6) называется спектральной плотностью В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности : Вычисление интеграла (5) Использование преобразования Лапласа или Фурье. Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции. Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной (7) |F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол. В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u) (8) (9) Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)| и фазовый угол y (u). Пример. Найти спектральную плотность импульса : откуда , далее Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций. Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа. Прямое преобразование Фурье необходимо : Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений. Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси. Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций: Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu. Спектральной плотностью F1(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iua) абсолютно интегрируемой функции. |