Реферат

Реферат на тему Интегральные преобразования

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-06-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 23.11.2024


Операционное исчисление и некоторые его приложения

Пусть задана функция действительного переменного t, которая удовлетворяет условиям :

Интегральные преобразования

Функция f(t) кусочно-непрерывная (имеет конечное число точек разрыва первого рода).

Для любого значения параметра t>0 существует M>0 и S0³0 такие, что выполняется условие : |f(t)|<Me S0t

Рассмотрим функцию f(t)×e-pt , где р – комплексное число р = ( а + i b).

Интегральные преобразования                                  (1)

Применим к этому соотношению формулу Эйлера :

Интегральные преобразования

Проинтегрировав это равенство получим :

Интегральные преобразования                (2)

Оценим левую часть равенства (2) :

Интегральные преобразования

А согласно свойству (3)  |f(t)| < Me S0t

Интегральные преобразования

В случае если a>S0 имеем :

Интегральные преобразования

Аналогично можно доказать, что существует и сходится второй интеграл в равенстве (2).

Таким образом при a>S0 интеграл, стоящий в левой части равенства (2) также существует и сходится. Этот интеграл определяет собой функцию от комплексного параметра р :

Интегральные преобразования             (3)

Функция F(p) называется изображением функции f(t) по Лапласу, а функция f(t) по отношению к F(p) называется оригиналом.

f(t) Ü F(p), где F(p) – изображение функции f(t) по Лапласу.

Интегральные преобразования - это оператор Лапласа.

Смысл введения интегральных преобразований.

Этот смысл состоит в следующем : с помощью перехода в область изображения удается упростить решение многих задач, в частности свести задачу решения многих задач дифференциального, интегрального и интегро-дифференциального уравнения к решению алгебраических уравнений.

Теорема единственности: если две функции j( t)  и Y(t) имеют одно и то же изображение F(p), то эти функции тождественно равны.

Смысл теоремы : если при решении задачи мы определим изображение искомой функции, а затем по изображению нашли оригинал, то на основании теоремы единственности можно утверждать, что найденная функция является решением в области оригинала и причем единственным.

Изображение функций s0(t), sin (t), cos (t).

Определение: Интегральные преобразования называется единичной функцией.

Единичная функция удовлетворяет требованиям, которые должны быть наложены на функцию для существования изображения по Лапласу. Найдем это изображение :

Интегральные преобразования

Изображение единичной функции Интегральные преобразования

Рассуждая аналогичным образом получим изображение для функции sin(t) :

Интегральные преобразования

интегрируя по частям получим :

Интегральные преобразования  т.е. Интегральные преобразования

Аналогично можно доказать, что cos (t) переходит в функцию Интегральные преобразованияв области преобразований. Откуда : Интегральные преобразования

Изображение функции с измененным масштабом независимого переменного.

Интегральные преобразованиягде а – константа.

Таким образом : Интегральные преобразования

Интегральные преобразования  и Интегральные преобразования

Свойства линейности изображения.

Теорема : изображение суммы нескольких функций умноженное на постоянные равны сумме изображений этих функций умноженных на те же постоянные.

Интегральные преобразования

Если Интегральные преобразования, то Интегральные преобразования, где Интегральные преобразования

Теорема смещения : если функция F(p) это изображение f(t), то F(a+p) является изображением функции e-at f(t)                                 (4)

Доказательство :

Применим оператор Лапласа к левой части равенства (4)

Интегральные преобразования

Что и требовалось доказать.

Таблица основных изображений:

F(p) f(t) F(p) f(p)

Интегральные преобразования

1

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Изображение производных.

Теорема. Если Интегральные преобразования, то справедливо выражение :

Интегральные преобразования                                             (1)

Доказательство :

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования                           (2)

Интегральные преобразования    (3)

Подставляя (3) в (2) и учитывая третье условие существования функции Лапласа имеем :

Интегральные преобразования

Что и требовалось доказать.

Пример: Решить дифференциальное уравнение :

Интегральные преобразования  Если x(0)=0   и x’(0)=0

Предположим, что x(t) – решение в области оригиналов и Интегральные преобразования, где Интегральные преобразования- решение в области изображений.

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

        Интегральные преобразования

Изображающее уравнение :

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Теорема о интегрировании оригинала. Пусть Интегральные преобразования находится в области оригиналов, Интегральные преобразования, тогда Интегральные преобразованиятакже оригинал, а его изображение Интегральные преобразования.

Таким образом операции интегрирования в области оригиналов соответствует операция деления в области изображений.

Теорема о интегрировании изображений : Пусть Интегральные преобразования – функция оригинал, которая имеет изображение Интегральные преобразованияи Интегральные преобразования также оригинал, а Интегральные преобразования- является сходящимся интегралом, тогда Интегральные преобразования.

Толкование теоремы : операция деления на аргумент в области оригиналов соответствует операции интегрирования в пределах от р до ¥ в области изображений.

Понятие о свертке функций. Теорема о свертке.

Пусть заданы две функции a(t) и b(t), удовлетворяющие условиям существования изображения по Лапласу, тогда сверткой таких функций называется следующая функция :

Интегральные преобразования            (1)

Свертка обозначается следующим образом :

Интегральные преобразования                         (1’)

Равенства (1) и (1’) идентичны.

Свертка функции подчиняется переместительному закону.

Доказательство:

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

 Теорема о умножении изображений. Пусть Интегральные преобразованияи Интегральные преобразования, тогда произведение изображений Интегральные преобразования представляется сверткой оригиналов Интегральные преобразования.

Доказательство :

Пусть изображение свертки Интегральные преобразования

Интегральные преобразования                      (1)

Интеграл (1) представляет собой повторный интеграл относительно переменных t и t . Изменим порядок интегрирования. Переменные t и t входят в выражение симметрично. Замена переменной производится эквивалентно.

Интегральные преобразования

Если в последнем интеграле сделать замену переменной, то после преобразований последний интеграл преобразуется в функцию F2(p).

Операция умножения двух функций в пространстве изображений соответствует операции свертки их оригиналов в области оригиналов. Обобщением теоремы о свертке есть теорема Эфроса.

Теорема Эфроса. Пусть функция Интегральные преобразования находится в области оригиналов, Интегральные преобразования, а Ф(р) и q(р) – аналитические функции в области изображений, такие, что Интегральные преобразования, тогда  Интегральные преобразования.

В практических вычислениях важную роль играет следствие из теоремы о свертке, наз. интеграл  Дюамеля. Пусть все условия теоремы выполняются, тогда

Интегральные преобразования  (2)

Соотношение (2) применяется при решении дифференциальных уравнений.

Обратное преобразование Лапласа.

Интегральные преобразования - Это прямое преобразование Лапласа.

Обратное преобразование есть возможность получить функцию-оригинал через известную функцию-изображение :

Интегральные преобразования, где s – некоторая константа.

Пользоваться формулой для обратного преобразования можно при определенном виде функции F(p), либо для численного нахождения функции-оригинала по известному изображению.

Теоремы разложения.

Известная методика разложения дробно-рациональных функций на сумму элементарных дробей (1)-(4) может быть представлена в виде двух теорем разложения.

Первая теорема разложения. Пусть F(p) – изображение некоторой функции, тогда эта функция представляется в виде Интегральные преобразования,  k – постоянная, может быть сколь угодно большим числом, Интегральные преобразования, то возможен почленный переход в пространство оригиналов с помощью формулы : Интегральные преобразования.

Вторая теорема разложения. Если изображение представляется дробно-рациональной функцией Интегральные преобразования. Степень числа s меньше степени знаменателя n, знаменатель имеет корни a1, a2, …, a n соответствующий кратности k1, k2, …, kn , при этом k1+ k2 +…+ kn = n. В этом случае оригинал функции определяется по формуле :

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования                                       (3)

Например :

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Связь между преобразованиями Фурье и Лапласа.

Преобразование Лапласа имеет вид :

Интегральные преобразования                            (1)

На  f(t) наложены условия :

f(t) определена и непрерывна на всем интервале: (-¥ ; ¥ )

f(t) º 0 , t Î (- ¥ ;0)

При  M, S0 >0 , для всех t > 0 выполняется условие |f(t)|<Me S0t

Если отказаться от условий 2 и 3, и считать, что f(t) принимает произвольное значение при t < 0, то вместо (1) можно рассмотреть следующий интеграл :

Интегральные преобразования                            (2)

Формула (2) – двустороннее преобразование Лапласа.

Пусть в (1) и (2)  p =a + in, где a и n – действительные числа.

Предположим, что Re(p) = a = 0, т.е.

Интегральные преобразования                           (4)

Интегральные преобразования                           (5)

и (5) соответственно односторонние и двусторонние преобразования Фурье.

Для существования преобразования Фурье, функция должна удовлетворять условиям :

Должна быть определена на промежутке (-¥ ; ¥ ) , непрерывна всюду, за исключением конечного числа точек разрыва первого рода.

Любой конечный промежуток оси t можно разделить на конечное число промежутков, в каждом из которых функция либо кусочно-гладкая, либо кусочно-монотонная.

Функция абсолютно интегрируема : Интегральные преобразования, это условие выполняется, если |f(t)|<Me S0t

Из существования преобразования Лапласа не следует преобразование Фурье. Преобразования Фурье существуют для более узкого класса функций. Преобразования Фурье не существуют для постоянной и ограниченной функции : f(t) = C

Интегральные преобразования

Аналогично преобразования Фурье не существуют и для гармоничных функций :

Интегральные преобразования   т.к. Интегральные преобразования

Если  f(t) = 0 при t>0 и преобразование для этой функции существует, то оно может быть получено из таблицы оригиналов и изображений для преобразования Лапласа путем замены параметра t на iu, но при этом необходимо убедиться, что F(p) не обращается в число справа от мнимой оси.

Если  f(t) ¹ 0, t<0

Интегральные преобразования     (6)

Интегральные преобразования

Обозначим Интегральные преобразования

Очевидно, что Интегральные преобразования                           (6’)

Функция (6) называется спектральной плотностью

Интегральные преобразования

В связи с изложенным можно указать два пути отыскания спектральной плотности :

Вычисление интеграла (5)

Использование преобразования Лапласа или Фурье.

Непосредственное вычисление спектральной плотности для абсолютно интегрируемой функции.

Функция F(iu) может быть представлена, как комплексная функция действительной переменной

Интегральные преобразования                                                (7)

|F(iu)| - амплитудное значение спектральной плотности, y (u) – фазовый угол.

В алгебраической форме : F(iu) = a(u) +ib(u)

Интегральные преобразования                                           (8)

Интегральные преобразования                                                      (9)

Для непосредственного вычисления спектральной плотности вычисляется интеграл (6), а затем по формулам (8) и (9) определяется амплитудное значение |F(iu)|  и фазовый угол y (u).

Пример.

Найти спектральную плотность импульса :Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

откуда Интегральные преобразования, далее

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования

Отыскание спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций.

Прямое преобразование Фурье для таких функций не существует, существует преобразование Лагранжа.

Прямое преобразование Фурье необходимо :

Для облегчения процесса решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Для исследования амплитудной и частотной характеристик спектральной плотности, определенной всюду на числовой оси.

Введем следующее определение спектральной плотности для неабсолютно интегрируемых функций:

Если для заданной функции y=f(t) существует непрерывное изображение по Лапласу F(p), то спектральной плотностью функции называется изображение функции по Лапласу при p = iu.

Спектральной плотностью  F1(iu) неабсолютно интегрируемой функции называется предел от спектральной плотности F2(iua) абсолютно интегрируемой функции.

Интегральные преобразования

Интегральные преобразования


1. Реферат на тему Ethan Frome Vs Fate Essay Research Paper
2. Реферат Эффективность менеджмента качества
3. Контрольная работа на тему Ускорение оборачиваемости денежных средств
4. Реферат Расчёт баланса
5. Реферат на тему Satire2 Essay Research Paper Murderer apologizes walks
6. Реферат Характеристика основних напрямків змісту виховання
7. Реферат Усна народна творчість
8. Реферат на тему My Attempt To Define Poetry Essay Research
9. Реферат на тему The Three Main Themes Of John Steinbeck
10. Реферат Иммануил Кант 1724-1804