ОСНОВНІ ФІЗИЧНІ ПРОЦЕСИ В ОПТИЧНИХ ЛІНІЯХ ЗВ’ЯЗКУ

1. Розповсюдження електромагнітних хвиль в оптичних волокнах

Модель розповсюдження світла крізь обмежену структуру подібну до оптичного волокна в термінах геометричних променів представляє тільки приблизний опис ефектів розповсюдження в них. Цей підхід добре діє поки характерний розмір поперечного перетину волокна як діаметр серцевини (2а, де а-радіус серцевини) великий у порівнянні з довжиною хвилі (l), що розповсюджується в волокні, і відносна різниця індексів серцевини і оболонки не надто мала. Фактично, як а, так і D можуть бути з'єднані разом з l, щоб створити комплексний параметр, що називається нормалiзованою частотою (V-числом) волокна, що визначається, як

. (1)

Якщо число V-волокна більше 10, результати геометричної оптики, основаної на променевих траєкторіях, приводять до точних рішень для багатьох ефектів розповсюдження в оптичних волокнах. Для V£10, геометрична оптика не в змозі пояснити ефекти розповсюдження в волокнах, що й вимагає здійснити електромагнiтний аналіз, оснований на хвильовій оптиці, щоб дослідити ефекти розповсюдження. Для одержання загальної основи, що могла б бути застосована для будь-якого волоконного хвильоводу з довільним числом V, починають з рівняння Максвела і відтворюють так звані векторні хвильові рівняння [5, 6], що задовольняють електричному () та магнiтному () полю векторів світлової хвилі:

, (2)

, (3)

де e=e₀n², e₀ є значенням e для вільного простору, n - показник заломлення, ε - діелектрична проникність волокна і m₀ - магнитна проникність для вільного простору, що по значенню така як і в волокні, при припущенні, що волокно не є немагнетиком. Перша форма розподілу індексу заломлення, запропонована для оптичного волокна, являє собою профiль, в якому поза серцевиною з показником заломлення n₁ (діаметр 2а) знаходиться однорідна оболонка з показником заломлення n₂; так, що можна алгебраїчно представити профіль показника заломлення (ППЗ) як:

. (4)

Волокна з профілем, аналогічним (4) відомі як волокна зі східчастим ППЗ. Для такого однорідного середовища член V_e дорівнюватиметься 0 як в серцевині, так і в оболонці, і в кожній з цих областей кожна декартовська компонента електричного та магнiтного поля буде задовольняти рівнянню

. (5)

Воно відоме як скалярне хвильове рівняння, де Y представляє будь-яку з декартовських компонент полів та . Оскільки n є незалежним від z, рішення рівняння може, взагалі, бути записано так:

Y(r,j,z,t)=y(r,j)exp( i [wt-bz]), (6)

де напрямок розповсюдження - уздовж z, і b - поширена стала розповсюдження. Рівняння (6) допускає два вигляду рішень в (5) - перше, в якому поле експоненціальне зменшується з r, при якому r>а і осцилює всередині серцевини (r<a): друге рішення допускає осцилюючі хвилі при всіх величинах r. Ми незабаром побачимо, що перший тип рішення допускає дискретні значення b, відомий як направлені моди волокна, другий – відомий як радіаційні моди, що характеризуються континуумом b. Формально, направлена мода визначається як певний розподіл поля, що поширюється в хвильоводі з певним станом поляризації і групової швидкості v_г=1/(db/dw) без яких-небудь змін в періоді цього розподілення. Будучи залежним від своєї геометрії і фізичних властивостей, волокно може підтримувати цілий ряд мод або тільки одну моду - в першому випадку його можна назвати багатомодовим волокном, в другому - одномодовим або мономодовим волокном. Фактично, довільно падаюче поле на вхідному кінці волокна може бути завжди записано як

. (7)

В (7) – представляє суму дискретних направлених мод, тоді як інтеграл - безрозмірна сукупність радіаційних мод. Реальні значення b_P будуть визначатися граничними умовами.

Ми можемо згадати, що в якісних волокнах телекомунікації відносна різниця показника заломлення оболонка-серцевина звичайно ніколи не перевищує 1-2%. Такі волокна що мають D<<1 відомі як напрямні волокна. Побічним продуктом цієї умови (яка має практичний зміст) - те, що моди в таких волокнах є (що можна продемонструвати) майже лінійно поляризованими і мають поперечну компоненту поля Y, що лежить майже повністю вздовж y або x, з порівняно дуже малою поздовжньою компонентою. Далі, так як різниця індексу заломлення є малою, можна припустити, що Y і ¶Y/¶r є безперервними поперечно r=a.

Так як для східчастого волокна, і залежить від r і лише від нього, тобто є цилiндрично симетричним, (5) записують в цилiндричнiй системі координат

, (8)

де – хвильове число вільного простору.

Застосовуючи засіб розділення перемінних, тобто записуючи

, (9)

Рівняння (9) може бути вирішене окремо для своєї радіальної та азимутальної компонент. Азимутальна компонента може бути представлена

F(j)~exp(± i l j ), (10)

де l=0, 1, 2, 3... Радіальна частина Y задовольнить таким рівнянням

, r<a, (11)

, r³a. (12)

Рівняння (11), (12) - стандартна форма рівнянь Бесселя, які допускають чотири різноманітних типи циліндричних функцій: J₁(x), Y₁(x),та K₁(x), I₁(x) відповідно. Проте для полів мод кінцевих та обмежувальних серцевин і експоненціальне загасаючих в оболонці, можна обрати функцію Бесселя J₁(x), як поширення (11) всередині серцевини і модифіковану функцію Бесселя K₁(x), як рішення (12) всередині оболонки. Відповідно, рішення (11) і (12) можуть бути записані як:

, (13)

де і такі, що

(див. (2.1)). (14)

В записі (13) була використана безперервність Y, та E_Y була обрана як домінантна поперечна компонента електричного поля, тоді як при D<<1 моди поляризовані майже лінійно. Для великих реальних значень аргументу, J₁(w_r/a) зменшується монотонно. Тобто ці функції точно відповідають вимогам (13) для подання направлених мод волокна. Тобто, як U, так і W повинні бути матеріальними і позитивними для напрямних мод, визначаючи, що для напрямної моди її власне b повинно задовольняти умові

. (15)

Тепер, як уже встановлено D<<1, поперечна компонента поля Y буде лежати майже повністю вздовж Y або X, так що єдиними ненульовими компонентами поля для модального рішення (13) будуть E_Y, E_Z, H_X, H_Z з яких, як можна показати, граничні компоненти E_Z та H_Z багато менше, ніж поперечні компоненти E_Y та H_X при малому D. Якщо E_X обрана як домінантна поперечна компонента поля, тоді ненульовими компонентами поля, що будуть формувати поле моди, будуть: E_X, E_Z, H_Z, H_Y. Відповідно, моди в слабко направлених структурах, як відомо, є лінійно поляризованими і позначаються як LP_lm-моди. З безперервності dE_Y/dr при r=a, витікає:

, (16)

де (') - позначає диференціювання циліндричних функцій по їх аргументу. Використовуючи рекурентні рівняння, регулюючі функції Бесселя, і модифіковані функції Бесселя, як можна показати, зводиться до:

. (17)

Рівняння (17) - трансцендентальне рівняння, рішення якого в межах діапазону зазначеного (15) будуть визначати дискретні постійні поширення для різноманітних направлених мод.

Тут треба визначити, що при більш точному наближенні слідувало б вирішити (5) в циліндричних полярних координатах для y (=E_Z) і одержати E_r (та H_r) і E_j (також і H_j) через E_Z і H_Z із замкнутих рівнянь Максвела шляхом переписання їх компонентів в циліндричних координатах. Після цього, вважаючи безперервність E_Z(H_Z) та E_j (H_j), які є тангенціальними компонентами, при заміні (16), результат в наступному трансцендентальному рівнянні для b був би:

, (18)

де (') - диференціювання по аргументу функцій. Такий висновок (18) не включає будь-яких наближень в собі. Проте, якщо застосовуються слабко направлені умови, а саме D<<1 та n₁~n₂, тоді (17) спрощується, (після застосування рекурентних рівнянь як в рівнянні (17)), таким чином підтверджуючи наші більш ранні припущення про те, що в слабко направлених волокнах моди практично лінійно поляризовані з електричним полем вздовж осей X та Y. Рівняння (17) - апроксимована форма точного рівняння (18) для певних постійних поширення різноманітних мод за умови D<<1, як було показано, є в межах 1% для D<0.01 і в межах 10% для 0.01<D<0.25.

2 Режими роботи оптичних волокон

Графік 1 показує залежність нормалізованих постійних поширення b від V, b визначається як:

, (19)

так що для спрямованих мод, умова (15) може бути переписана:

1³ b³ 0. (20)

На нижній межі b=0: b=k_on₂ є тільки постійною поширення плоскої хвилі в невизначеному однорідному середовищі з індексом n₂ (нескінченно однорідному середовищі). За визначенням мода, як кажуть має відсічку, тобто припиняє поширюватися як направлена мода, якщо її b=k_on₂. При b=k_on₂, W стає рівним 0, також при b<k_on₂ W стає уявним позначаючи те, що поле в оболонці замість зменшення до нескінченно малого значення (тобто експоненціального зменшення при великих r) буде переходити в коливальне поле при всіх величинах r, таким чином перетворюючись в радіаційну моду. Гранична умова:

b=k₀n₂ÞW=0. (21)

Рисунок 1 – Залежність відносної постійної розповсюдження b од V для різних LP_lm мод: b=(b² / k₀² - n₂²) / (n₁² - n₂²) і V=ak₀ (n₁²- n₂²)^0,5

Таким чином стає відомою умова відсічки моди. В межах W®0 для моди нижчого порядку (відповідає l=0), (17) показує, що частота відсічки (V_c) цієї моди дає перший корінь рівняння:

, (22)

в той час як для наступної моди, частота відсічки дала б перший корінь:

, (23)

де Vc представляє величину V при відсіканні моди (W=0 для відсічки моди, його параметри: U=V=V_C). Так як нулі I₁(x) та I₀(x), відповідно, мають місце при V_С=0; 3.8317; 7.0456; і при V_C=2.4048; 5.5201; 8.6537;…, моди, які мають V_C=0; 2.4048; 3.8317;… відповідно позначаються як LP₀₁, LP₁₁; LP₀₂…моди. Позначення LP _lm витікає з факту, що ці моди лінійно поляризовані. Індекс l позначає l-й порядок функції Бесселя, який визначає умову відсічки для відповідного порядку моди,що пов'язаний із азимутальною періодичністю, тоді як m (яке - також ціле число) визначає послідовні корені відповідної функції Бесселя. Фізично 1 представляє номер пучності або півцикла, в той час як m є числом радіальних пучностей в структурі поля моди. У прикладі були зображені модові структури двох LP_lm мод порівняно високого порядку (рисунок 2) - у їх вигляді на фотографії. Тут можна визначити, що, на практиці, вкрай важко одержати експериментально моду відносно високого порядку, зокрема в багатомодовому волокні, і забезпечити її поширення вздовж волокна великої довжини. Все тому, що будь-яка мала неоднорідність вздовж довжини волокна (геометрична недосконалість, неоднорідність і т. п.) викликають перекачку енергії від однієї моди до інших при поширенні.

Рисунок 2 – Схематичне представлення структури напруженості поля моди для мод: a – LP₄₁ та (б) LP₈₂._.

Внаслідок цього, коли багатомодове волокно збуджується, наприклад, He-Ne лазером, все, що спостерігається на вихідному кінці, представляє, по суті, суперпозицію різноманітних модових структур. Тільки в разі, якщо волокно настільки визначено, що його постійна V лежить в межах 0<V<2,4048, тільки тоді буде можливо підтримати розповсюдження однієї фундаментальної моди, а саме LP₀₁ моди, в волокні. Це так, бо при V<2,4048 жодна інша мода, крім LP₀₁, не може бути підтримана волокном. Фактично LP₀₁ ніколи не має відсічку! Вона може поширюватися, навіть якщо діаметр серцевини чи різниця показників заломлення D зроблені довільно малими (тобто V - довільно низький), хоч ми незабаром побачимо, що при дуже низьких величинах V потужність, обмежена в межах серцевини LP₀₁ моди, дуже мала і більшість її поширюється в оболонці. Волокна, що підтримують тільки LP₀₁ моду, відомі як одномодові. Таким чином для чисто одномодових операцій, V - параметр волокна - повинен лежати в межах:

0 <V< 2,4048. (24)

Ця умова може бути використана для одержання проектних настанов, наприклад, вибору а та D для одержання одномодового стану при конкретному l. Тоді, щоб стримати втрати розсіяння на добавках в волокні у прийнятно низьких величинах, D звичайно не повинно перевищувати 0.003%, щоб задовольняти умові (24) для одномодового ефекту; діаметр серцевини (2а) треба зробити 4-6 мкм в першому поколінні довжин хвиль ~0.8 мкм, 8-10 мкм в 2-му і 3-му поколінні довжин хвиль ~1.3 мкм. Умова (24) також часто навпаки виражається через довжину хвилі відсічки, що визначається як:

. (25)

При будь-який l>>l_C для конкретного волокна, може підтримуватися тільки LP₁₁ мода, бо другий, більш високий порядок моди, а саме, LP₁₁ мода і всі наступні моди більш високого порядку будуть мати відсічку, тобто будуть відсутні в волокні. В цьому розумінні концепція l_C дуже важлива, бо вибір l_C, що реально диктується такими передумовами, як низькі втрати при передачі, якість ширини смуги пропускання в вікні довжин хвиль, довжина хвилі, на якій піки ефективності джерела та детектору співпадають і т. д. - максимально визначить а та D.

Для того, щоб одержати точне значення потужності, що переноситься різноманітними модами, треба, по суті, розрахувати z-компоненти вектору Пойнтінгу, зв'язані з кожною модою і проiнтегрувати їх по поперечному перетину волокна. Шляхом простої алгебри можливо показати, що в слабко направляючому волокні частини енергії (потужності), що переносяться спрямованою модою в серцевині та оболонці, будуть, відповідно:

h_сердц=P_сердц / P_total =1-(U² / V²)(1-k), (26)

h_clad=P_clad / P_total = U² (1-k) / V², (27)

де .

Ці рівняння ясно показують, що далеко від відсічки поки W буде відносно великою величиною, більшість з спрямованої потужності буде розташовуватися в серцевині. З іншого боку біля відсічки, W<<1 і, отже:

h_core@1-(1+l²)^-0,5, (28)

h_clad@(1+l²)^-0,5. (29)

Таким чином, для мод з l=0 більшість потужності буде витікати через оболонку, що невірно для мод з l>>1.