ДИФРАКЦІЯ СВІТЛА

1. Принцип Гюйгенса-Френеля

Під дифракцією світла розуміють будь-яке відхилення світлових променів від прямих ліній, що виникають у результаті обмеження чи перекручування хвильового фронту. Найпростішим дифракційним прикладом є відсутність чітких границь світла і тіні при висвітленні отвору в непрозорому екрані (рис. 1). Якби світло поширювалося строго прямолінійно, то тінь за екраном мала б чітку межу. Однак на практиці перехід від світла до тіні в площині спостереження відбувається поступово, а при використанні квазімонохроматичних джерел можливе спостереження біля геометричної границі світла і тіні, що чергуються, світлих і темних смуг. Дифракція є прямим наслідком хвильової природи світла і має місце для будь-яких інших хвиль, наприклад акустичних. Основна задача, що виникає при розгляді дифракційних явищ, складається в обчисленні розподілу інтенсивності світла в області дифракції. Ця задача в багатьох практично важливих випадках може бути розв’язана на базі принципу Гюйгенса-Френеля. Пояснимо цей принцип на прикладі обчислення світлового збурювання в деякій точці М, вилученої від точкового джерела монохроматичного випромінювання (рис. 2). Оточимо джерело уявлюваною замкнутою поверхнею s, за яку можна взяти будь-яку хвильову поверхню. Кут y між нормаллю до хвильової поверхні сг і напрямком на точку спостереження (точку М) називають кутом дифракції. Принцип Гюйгенса-Френеля зводиться до наступного: 1. Кожна точка уявлюваної замкнутої поверхні є джерелом вторинної хвилі, амплітуда і фаза якої задаються реальним джерелом. 2. Усі вторинні хвилі когерентні і їхні комплексні амплітуди в будь-якій точці спостереження М можна складати (інтерференція вторинних хвиль). 3. Амплітуда вторинних хвиль убуває при збільшенні кута дифракції y і максимальна при y = 0.

Рисунок 1- Дифракція світла на отворі в непрозорому екрані: 1- джерело світла; 2- непрозорий екран з отвором; 3- площина спостереження

Рис. 2- До пояснення принципу Гюйгенса-Френеля

Запишемо названі положення, математично охарактеризувавши залежність амплітуди вторинних хвиль від кута коефіцієнтом нахилу К(y).

Комплексна амплітуда світлового коливання dU, створюваного в точці М одним довільним елементом ds, виразиться співвідношенням:

dU = K(y),(1)

де А- амплітуда хвилі, створюваної реальним точковим джерелом на одиничній відстані від нього; r- відстань від точкового джерела до обраної точки на поверхні; k = 2p/l; s- відстань від точки на поверхні s до точки спостереження М.

Другий співмножник виразу (1) описує сферичну хвилю від реального джерела на відстані м від нього, а третій співмножник - вторинну хвилю від ділянки поверхні ds на відстані s від цієї ділянки. Результуюче світлове збурювання в точці М визначається підсумовуванням усіх вторинних хвиль, що йдуть від різних точок поверхні s. Математично підсумовування вторинних хвиль означає інтегрування виразу (1). У результаті маємо

U(M) = A,(2)

де s- площа поверхні, що оточує джерело.

Якщо на шляху поширення світла є непрозорі екрани з отворами, то інтегрування у формулі (2) виконують по площі отворів. У кожну точку спостереження (точку М) від кожної точки отворів направляється своя вторинна хвиля. Ці хвилі часто називають дифрагованими, а відповідні їм хвильові нормалі- дифрагованими променями. Спочатку принцип Гюйгенса-Френеля був сформульований як гіпотеза, причому точний вираз для коефіцієнта КР, був невідомим. Більш пізній, наприкінці XIX в., він був доведений Кірхгофом шляхом рішення хвильового розв’язання (1.4) при задачі значень комплексної, амплітуди і її першої похідної у всіх точках замкнутої поверхні, що оточує досліджувану точку. Це розв’язання може бути записане у видгляі (2), причому для К(y) справедливий такий вираз:

K(y) = (-i/2l)(1 + cos y).(3)

Наявність у формулі (3) комплексної одиниці i показує, що вторинні хвилі мають фазу, відмінну на 90° від фази падаючої хвилі. Це говорить про те, що вторинні хвилі не мають прямого фізичного змісту, і їхній необхідно розглядати лише як зручну модель для чисельного розв’язання дифракційних задач.

2. Дифракція Фраунгофера

Застосування формули (2) для розв’язання обчислювальних дифракційних задач досить трудомістке. Спростимо цю формулу щодо практично важливого випадку нормального висвітлення отвору маленьких розмірів плоскою хвилею і спостереженням дифракційного ефекту при великому відлучені від отвору (рис. 3). Початок координат помістимо усередині отвору, оси Х і У розташуємо в площині отвору, а вісь Z, направимо у сторону поширення пучка, що висвітлює. Обчислимо світлове збурювання в точці М, розташованої на невеликій відстані від осі Z. При зазначених умовах К(y) » const, l/s = const і формулу (2) можна записати у такому вигляді:

U(M) = C₁,(4)

де C₁- постійна комплексна величина; s = - відстань від довільної точки отвору (x, y, O) до точки спостереження (x_m, y_m, z) .

Якщо ds проходить весь отвір О, відстань s у загальному випадку змінюється на велике число довжин хвиль l, -тому множник ехр (ikr) буде багаторазово осцилирований. Розкладемо змінну величину s у статечний ряд щодо координат точки отвору (точки N) і запишемо результат у такому вигляді:

(5)

де - відстань від початку координат О до точки спостереження М.

Рисунок 3- До виведення дифракційного інтеграла Фраунгофера

Якщо площина спостереження дифракційної картини досить вилучена від отвору, то в розкладанні (5) можна обмежитися тільки двома першими доданками. У цьому випадку говорять про дифракцію в далекій зоні, чи дифракції Фраунгофера. Підставивши перші два розкладання, що складаються, (5) у формулу (4), одержимо, що

.

Вхідні в круглі дужки відношення x_M/s^¢ = соs α = р і y_M/s^¢ = соs b = q є направляючими косинусами по осях координат Х і У вектора, проведеного з початку координат у точку спостереження (рис. 4). З обліком уведених направляючих косинусів представимо останнє співвідношення у вигляді наступного виразу, що називають дифракційним інтегралом Фраунгофера:

,(6)

де С = С₁ ехр (iks^¢).

Можна показати, що коефіцієнт C залежить від довжини світлової хвилі, площі отвору і сповненої енергії випромінювання, що падає на отвір.

Дифракційну картину Фраунгофера називають просторовим спектром. Дифракційний інтеграл Фраунгофера справедливий, строго кажучи, тільки в граничному випадку при s' ®¥, тобто якщо точка спостереження знаходиться в нескінченності (рис. 5, а). Практично цей інтеграл можна використовувати, якщо

s' >> (x² + y²)_max/l,

де х, у - координати точок отвору.

Рисунок 4- Кути з осями координат вектора на точку спостереження

Якщо за отвором на відстані d від нього помістити високоякісний об'єктив О, то йдуть під пазними кутами рівнобіжні пучки дифрагованих променів, що будуть збиратися у відповідні точки фокальної площини об'єктива (рис. 5, б). Отже, дифракційна картина Фраунгофера з нескінченно вилученої площини переноситься у фокальну площину об'єктива; при цьому дифракційний інтеграл Фраунгофера точно описує розподіл комплексної амплітуди у фокальній площині об'єктива при його висвітленні рівнобіжним пучком променів. Введемо у фокальній площині об'єктива систему координат x, h. Дифрагований пучок з направляючими косинусами р, q фокусується об'єктивом у точку фокальної площини з координатами x » pf', h » qf', де f'- фокусна відстань об'єктива.

Рисунок 5- Дифракція Фраунгофера у нескінченності; у фокальній площині об'єктива

У формулі (6) зручніше записати нескінченні границі інтегрування, а кінцеву площу отвору а врахувати так називаною функцією зіниці Р (х, у), рівній одиниці усередині отвору і рівної нулю поза ними. З обліком сказаного можна записати наступний вираз для дифракційного інтеграла щодо фокальної площини об'єктива:

.(7)

Коефіцієнт, що стоїть перед інтегралом, С в загальному випадку залежить від координат x, h. Однак при розташуванні екрана з отвором у передній фокальній площині об'єктива коефіцієнт С є постійною величиною для всіх точок задньої фокальної площини. Допустимо, що в площину отвору введений плоский предмет з амплітудним коефіцієнтом пропущення t (х, у) (рис. 6). Такий предмет змінює амплітуди вторинних хвиль t (х, у) разів, і тому у формулі (7) функцію зіниці Р (х, у) можна замінити на t(х, у):

.(8)

Ця формула збігається з двовимірним перетворенням Фур'є функції t (х, у), що позначимо (х, у).

Рисунок 6- Схема виконання перетворення Фур'є за допомогою об'єктив

Таким чином, якщо в передній фокальній площині об'єктива розташувати плоский транспарант із функцією коефіцієнта пропущення t (х, у) і освітити транспарант плоскою монохроматичною хвилею, то в задній фокальній площині об'єктива утвориться розподіл комплексної амплітуди світлового збурювання, зв'язаний з t (х, у) перетворенням Фур'є  {t (х, у)}. Ця важлива властивість об'єктива широко використовується в багатьох сучасних пристроях оптичної обробки інформації.

3. Дифракція на отворах різної форми

Досліджуємо картини дифракції Фраунгофера від отворів різної форми, що спостерігаються при нормальному висвітленні отворів монохроматичним світлом. Відносний розподіл інтенсивності в дифракційних картинах обчислимо за допомогою дифракційного інтеграла Фраунгофера (6). Розглянемо спочатку випадок дифракції на прямокутному отворі (рис. 7, а). Якщо початок координат розташувати в центрі прямокутника, а осі Х і Y направити паралельно його сторонам, то дифракційний інтеграл Фраунгофера (6) приймає вигляд:

.

Обидва одномірних інтеграла розв¢язуються однотипно. Запишемо, наприклад, розв’язання першого інтеграла:

.

Рисунок 7- Дифракція на прямокутному отворі: а- форма отвору, б- просторовий спектр

Остаточне вираження для розподілу інтенсивності в дифракційній картині від прямокутного отвору можна записати у такому вигляді:

,

де I₀- інтенсивність світла, що йде в напрямки пучка, що висвітлює, (недифраговане світло).

Співмножники, що входять у формулу (9), типу функції мають головний максимум у = 1 при х = 0 і мінімуми, рівні нулю, при х = ±, ±2, ±З, ... . Розподіл інтенсивності в дифракційній картині на прямокутному отворі представлене на рис. 7, б. Інтенсивність світла I (р, q) дорівнює нулю уздовж двох рядів ліній, рівнобіжних сторонам прямокутника. Положення цих ліній знаходиться прирівнюванням нулю чисельників у квадратних дужках формули (9) і визначається зі співвідношень:

р = ± ml/а;q = ± nl/b,

де m, n = 1, 2, 3, ...

Усередині кожного прямокутника, утвореного сусідніми парами темних смуг, інтенсивність досягає максимумів, що, однак, складають лише маленьку частину інтенсивності центрального максимуму і швидко зменшуються в міру вилучення від центра. Більшому розміру отвору відповідають менші ефективні розміри дифракційної картини.

Якщо а >> b, то прямокутний отвір називають щілиною. Просторовий спектр при а ®¥ по координаті р (рис. 7, б) стискується до нуля. Тому розподіл інтенсивності в дифракційній картині від щілини може бути представлений одномірною залежністю (рис. 8):

,

де b- ширина щілини.

Очевидно, що q = соs (90^° - y) = sin (y), де y- кут дифракції, відлічуваний від осі z. Перший дифракційний мінімум має місце при кутах дифракції, обумовлених з рівності

sin(y) = ± l/b.

Основна частина потоку зосереджена в межах кута y = ± arcsin (l/b). Відношення інтенсивностей першого максимуму до наступного задається послідовністю чисел І₀: І₁: І₂: ... = 1000: 47: 17: ...

Рисунок 7- Дифракція на щілині

Рисунок Дифракція на круглому отворі: а- форма отвору, б- дифракційна картина Эйри; в- графік відносного розподілу інтенсивності в дифракційній картині

Аналогічно можна досліджувати дифракцію Фраунгофера на круглому отворі (рис. 9). У фокальній площині об'єктива (див. рис. 5, б) спостерігається центральний світлий диск, оточений концентричними світлими і темними дифракційними кільцями. Точний розподіл інтенсивності в дифракційній картині можна одержати за допомогою дифракційного інтеграла Фраунгофера (6) у полярній системі координат. Графік перетинання цього розподілу представлений на рис. 9, в. Перший мінімум освітленості (радіус першого темного кільця) спостерігається при куті дифракції, обумовленої за формулою:

sin(y) = 1,22l/D,(10)

де D- діаметр отвору.

Інтенсивність світлих кілець швидко зменшується зі збільшенням радіуса, і неозброєним оком можна спостерігати лише одне чи два перших кільця. Ефективні розміри дифракційної картини обернено пропорційні діаметру отвору. У середині дифракційної картини, обмеженої другим темним кільцем, концентрується більш 90 % світлової енергії, що проходить крізь отвір. Дифракційну картину Фраунгофера на круглому отворі часто називають картиною Ейрі.

Рисунок 10- Дифракція на N рівновіддалених щілинах: а- схема спостереження дифракційної картини; б- графік відносного розподілу інтенсивності.

Важливу роль відіграє дифракція світла на правильній структурі з N рівнобіжних рівновіддалених щілин, називаним амплітудними дифракційними рішітками (рис. 10). При освітленні решіток плоскою монохроматичною хвилею має місце дифракція світла на кожній щілині. Крім того, всі дифраговані хвилі когерентні, вони інтерферують між собою, у результаті чого утвориться сумарна дифракційна картина від усіх щілин. Розподіл комплексної амплітуди в дифракційній картині можна одержати, як і у випадку однієї щілини, за допомогою одномірного дифракційного інтеграла Фраунгофера, виконуючи інтегрування по N щілинах. Переходячи до інтенсивності світла, можна одержати такий вираз:

,(10)

де b- ширина кожної щілини; d- відстань між щілинами (період дифракційних решіток).

Перший співмножник визначає інтенсивність випромінювання в напрямки y = 0, тобто інтенсивність недифрагованого світла. Другий співмножник характеризує розподіл інтенсивності світла в дифракційній картині від однієї щілини, а третій співмножник враховує вплив інтерференції між усіма дифрагованими пучками. При виконанні умови

dsin(y) = ml,(11)

де m = 0, ±1, ±2, ±3, ..., третій співмножник у формулі (10) приймає максимальні значення.

Відповідні значення інтенсивності I(y) називають головними максимумами. Утворення головних максимумів обумовлене тим, що дифрагованi хвилі, що випускаються двома еквівалентними точками сусідніх щілин, при виконанні умови (11) мають оптичну різницю ходу, кратну цілому числу довжин хвиль.

Графік відносного розподілу інтенсивності в дифракційній картині на N рівновіддалених щілинах представлений на рис. 10, б. Між сусідніми головними максимумами виникають N - 1 мінімумів, між якими знаходяться маленькі по інтенсивності побічні максимуми. У сучасних дифракційних ґратах число щілин N досягає великих значень, наприклад 200 000, і головні максимуми стають дуже різкими і розділяються широкими проміжками, де інтенсивність світла можна вважати практично рівної нулю. Обгинаюча головних максимумів є крива, що відповідає відносній інтенсивності світла в дифракційній картині від однієї щілини. Підставивши (11) у (10), одержимо такий вираз для інтенсивності світла в головних максимумах:

.

Якщо mb/d- ціле число, то I_max = 0. Це відповідає збігу умови утворення головних максимумів на N щілинах з умовою утворення дифракційного мінімуму на одній щілині. Наприклад, при b/d = 1/4 кожен четвертий головний максимум у дифракційній картині випадає.

Отримані результати справедливі для решіток з рівномірним пропущенням по ширині щілини. Якщо коефіцієнт пропущення в границях щілини перемінний, то формула (10) може мати інший вигляд. Так, при синусоїдальному коефіцієнті пропущення виникають тільки нульовий і два перших (m = ±1) порядки дифракційного спектра. Сучасні дифракційні решітки являють собою систему профільованих штрихів, у яких відсутні плоскі проміжки. Такі решітки називають фазовими. В окремих елементах профільованого штриха створюються різні запізнювання по фазі. що дозволяє сконцентрувати велику частину енергії, що падає на граті, у спектрі одного порядку. Дифракційні решітки, застосовувані у видимій області електромагнітного випромінювання, мають частоту штрихів більш 2400 лін/мм.