Методи інтегрування

Перш за все відмітимо, що в усіх табличних інтегралах підінтегральна функція є певною функцією, аргумент якої співпа­дає із змінною інтегрування.

Розглянемо, наприклад, інтеграл ∫sin(x2+l)dx. В цьому ви­падку аргументом основної елементарної функції сінус буде u=х2+1, а змінна інтегрування — х, тому при знаходженні цього інтеграла не можна використати табличну формулу

∫sin udu=- cos +С

Заданий невизначений інтеграл ∫f(x)dx можна знайти, якщо якимось чином вдається звести його до одного із табличних ін­тегралів.

Найбільш часто для знаходження заданого невизначеного інтеграла використовують методи: безпосереднього інтегруван­ня, заміни змінної (підстановки), інтегрування частинами, а також знаходження заданого інтеграла за допомогою довідника.

Ознайомимось з основними методами інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування

Цей метод базується на рівності сталі і застосовується у тих випадках, коли підінтегрільна функція f має вигляд однієї із підінтегральних функцій таб­личних інтегралів, але її аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійном доданком або постійним множником або постійним множником та постійним доданком.

Приклад. Знайти інтеграли

а) b) с)

Розв’язування.

а)

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргумента степеневої функції u8 = (ч + 3)8 на постійний доданок 3;

b)

У цьому випадку аргумент функції косінус відрізняється від змінної інтегрування х на множник ½

с)

У цьому випадку змінна інтегрування х відрізняється від аргу­менти степеневої функції u2/5 = (3x – 7)2/5 постійним множником 3 та постійним доданком (­– 7).

Метод підстановки (заміни змінної)

Цей метод містить два прийоми.

a) Якщо для знаходження заданого інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку x = φ(t), тоді має місце рівність

Після знаходження останнього інтеграла треба повернутись до початкової змінної інтегрування х. Для застосування цього прийому треба; щоб функція х - φ (t) мала обернену t = ψ(х).

Приклад. Знайти інтеграл

Розв'язування. Зробимо підстановку х = 5sint, тоді

Отже, одержимо

Із рівності х = 5sin t одержимо t = arcsin (х/5);

Отже,

b) Якщо зробити заміну змінної, тобто t = φ (х) тоді має місце

рівність

Після знаходження останнього інтеграли треба повернутись до змінної х, використовуючи рівність t = φ (х).

Приклад. Знайти

Розв’язування. Нехай тоді

Тому

Метод інтегрування частинами

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).

Нехай u та v деякі функції х, тобто u = u(x), v = v(x).

Розглянемо диференціал добутку цих функцій.

d(uv) = udv + vdu

Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо

Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо

Отже, одержали формулу

яку називають формулою інтегрування частинами.

Ця формула дозволяє знаходження інтеграла звести до зна­ходження інтеграла . При вдалому обранні u то dv інтеграл може бути табличним або простішим ніж заданий інтеграл

Приклад. Знайти

Розв'язування. Нехай u = Inx, dv = dx. Тоді v = x

За формулою інтегрування частинами (4) одержимо

Література:

Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика для економістів – Київ: ЦУЛ, 2002 – 400 с. Серія: Математичні науки.