План

• Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

• Характеристичне рівняння

• Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами

1. Лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами

            Такі рівняння дуже часто зустрічаються в практиці й розв’язуються досить просто. Розглянемо окремі однорідні й неоднорідні рівняння, причому для простоти опинимося детально на диференціальних рівняннях другого порядку.

           

1.1. Лінійні однорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Нехай маємо диференціальне рівняння вигляду

                                                                   (12.38)

де  і  - сталі числа. Знайдемо два лінійно незалежних розв’язки цього рівняння . Будемо шукати розв’язок  рівняння (12.38) у вигляді експоненти де - поки що невідома стала. Похідна будь-якого порядку від такої функції містить , а це дозволяє легко знайти розв’язок (12.38).

Справді, запишемо  та :   

Підставляючи ці похідні, а також функцію в рівняння (12.62), одержимо

            Оскільки  маємо

                                                                    (12.39)

            Рівняння (12.39) називається характеристичним відносно рівняння (12.38). Це – квадратне рівняння. Можливі такі ситуації відносно його коренів:

            1) і  - дійсні, причому не рівні між собою числа ;

            2) і - комплексні числа ();

            3) і - дійсні рівні числа

            Зупинимося детально на кожному із цих трьох випадків.

            1) Корені характеристичного рівняння дійсні й різні:

 Відповідні частинні розв’язки  та 

 лінійно незалежні, бо 

            Загальний розв’язок рівняння (12.38) має вигляд

                                                           (12.40)

де  і  - довільні сталі.

            2) Корені характеристичного рівняння – комплексні числа. Нехай . Частинні розв’язки  і  є комплексними функціями дійсного аргументу:

або

           

            Неважко переконатися, що функція  та , які є відповідно дійсною та уявною частинами розв’язку , також задовольняють рівнянню (12.38). Справді, якщо яка-небудь комплексна функція   є розв’язком рівняння (12.38) з дійсними коефіцієнтами, то  та  також задовольняють це рівняння. Це випливає з таких перетворень:

           

           

а комплексна функція тоді і тільки тоді дорівнює нулеві, коли її дійсна та уявна частини дорівнюють нулеві, що й треба було довести.

            Зауважимо, що розв’язки  та  лінійно незалежні:

            Отже, загальний розв’язок рівняння (12.38) у розглядуваному випадку має вигляд

                    (12.41)

де  і   - довільні сталі.

            3) Корені характеристичного рівняння дійсні й рівні:  При цьому один частинний розв’язок знаходиться, як у випадку 1):  Другий частинний розв’язок, лінійно незалежний від першого, будемо шукати у вигляді  де - невідома функція. Знайдемо  і :

           

        

            Підставимо   та    у рівняння (12.38):

                (12.42)

Оскільки - корінь характеристичного рівняння,  а дискримінант дорівнює нулю (корінь  кратний),  то  або  Отже, рівняння (12.42) спрощується й після скорочення на  набуває вигляду . Його загальний розв’язок  отримується за допомогою інтегрування двічі і має вигляд  Зокрема, якщо вибрати  , розв’язок  буде лінійно незалежним відносно :

Загальний інтеграл диференціального рівняння (12.38) у разі кратних коренів має вигляд

                                         (12.43)

Приклад 1.   Розв’язати рівняння:

а)     б)     в) 

У прикладі а) характеристичне рівняння має вигляд  або  Звідси маємо (випадок1).

Згідно з формулою (12.40) загальним розв’язком рівняння буде функція  .

            У прикладі б) запишемо характеристичне рівняння  Його корені – комплексно спряжені числа:  (випадок 2). При цьому  Загальний розв’язок рівняння згідно з формулою (12.41) буде   

            У прикладі в) корені  і   характеристичного рівняння  збігаються:  Загальний розв’язок згідно з формулою (12.43) має вигляд           

            Приклад 2.   Матеріальна точка маси  рухається прямолінійно, притягуючись до нерухомого центра силою, пропорційною відстані від точки до цього центра. Знайти закон руху точки.

            Р о з в ‘ я з о к. Згідно з умовою сила, з якою притягується точка, подається у вигляді , де - коефіцієнт пропорційності, - відстань від точки до центра. За допомогою другого закону Ньютона запишемо рівняння руху точки (- час)

            .                                   

            Це однорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Для зручності подамо його у вигляді

                                                                           (12.44)

            Цьому диференціальному рівнянню відповідає таке характеристичне рівняння

причому  Корені   та  - комплексно спряжені числа  Отже, загальний розв’язок рівняння (12.68) має вигляд

                                     (12.45)

            Знайдемо частинний розв’язок рівняння (12.44), який задовольняє початковим умовам .

            Поклавши  у рівність (12.45), отримаємо  Про диференціюємо обидві частини (12.45):

           

При   звідси  Отже, шуканим розв’язком задачі Коші буде