Визначений інтеграл

Розглянемо функцію ƒ(х), визначену на відрізку [а; b]. Як і в § 7, відрізок [а; b] точками

поділимо на n рівних за довжиною відрізків.

У кожному х цих відрізків [Х_1-1; Х₁], і=1, ..., n, довільно візьмемо по одній точці і позначимо її ξ₁; ξ₁ [Х_1-1; Х₁].Тоді сума

ƒ(ξ₁)ƒ(ξ₁)ƒ(ξ₁),

де = Х₁-Х_і-і, називається інтегральною сумою функції ƒ.

Очевидно, ця сума залежить і від того, як поділено відрізок [а; b], і від того, як взято точки ξ₁.

Означення. Якщо границя

існує і не залежить від вибору точок ξ₁, то функція ƒ називається інтегрованою на відрізку [а; b], а границя називається визначеним інтегралом від функції ƒ на відрізку [а; b]; його позначають

ƒ(х) bx.

Це позначення читають “Інтеграл від а до b від функції ƒ(х) bх“. Знак називається знаком інтеграла, функція ƒ – підінтегральною функцією, змінна х – змінною інтегрування. Вираз ƒ(х) bх – підінтегральним виразом. Числа а і b називаються межами інтегрування, відповідно нижньою і верхньою. Таким чином, за означенням

ƒ(х) bx =

Зазначимо, що інтеграл не залежить від того, якою буквою позначено змінну інтегрування, тому, наприклад,

ƒ(х) bx = ƒ(t) bt = ƒ(u) bu.

Приклад безпосереднього обчислення визначених інтегралів (виходячи безпосередньо з означення) було дано в § 7 (див. приклади 1 і 2).