БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
"Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста"
МИНСК, 2008

Метод статистической линеаризации

Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рис.1). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем.
Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев.
В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида
, (1)
используется два критерия эквивалентности.

Рис.1.
Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов.
Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.
Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:
; (2)
, (3)
где ─ математическое ожидание процесса на выходе НЭ;
 ─ центрированная случайная составляющая.
Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде:
, (4)
где  ─ коэффициент передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию;  ─ коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей.
Воспользуемся первым критерием эквивалентности:
. (5)
Из этих уравнений находим
;
,
где  ─ плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента.
 - коэффициент передачи линейного эквивалента по центрированной случайной составляющей (по первому критерию).
По второму критерию эквивалентности:
;
;
;
;
Для определения  и , при которых выполняется условие эквивалентности, найдем частные производные и приравняем их нулю:
  ;
; ; .
При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:
;
Определив величины
; .
для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами.
Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.2)

Рис.2. Характеристика релейного типа:
;
коэффициенты равны:
; ; ;

Метод гармонической линеаризации

Основы метода.
Метод используется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка. Эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.
Рассмотрим метод применительно к расчету параметров собственных колебаний в нелинейной системе.
Разделим систему на линейную часть и нелинейное звено (рис.3).

Рис.3. Модель нелинейной системы.
Уравнение линейной части:
,(6)
При возникновении автоколебаний процесс  на выходе линейной части не является строго гармоническим, но мы будем полагать, что линейное звено является фильтром нижних частот и подавляет все гармоники, за исключением первой. Это предположение называется гипотезой фильтра. Если она не подтверждается, то ошибки при применении гармонической линеаризации могут быть значительными.
.
Пусть
; .  (7)
Представим  в виде ряда Фурье:
; (8)
Полагаем, что
.
Это справедливо, если  симметрична относительно начала координат и отсутствует внешнее воздействие. Полагая, что высшие гармоники подавляются, будем искать только  и
Из уравнения (7) находим:
; . (9)
Подставив (8. 20) в (8. 19) и ограничив ряд слагаемыми первой гармоники, получим:
 (10)
где
 (11)
Таким образом, нелинейное уравнение для  заменили приближенным линейным уравнением (11) для первой гармоники.
 и  называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена. Коэффициенты  и  в рассматриваемом случае зависят от амплитуды, при более сложной нелинейной зависимости зависят еще и от частоты.
Рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в учебниках и справочной литературе.
Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем виде:
; ;
где  ─ эквивалентная передаточная функция нелинейно - го звена.
Частотная передаточная функция разомкнутой системы
.
Характеристическое уравнение
.
Модуль частотной передаточной функции нелинейного звена
.
Фазочастотная характеристика
; ( )
Модуль определяет отношение амплитуд, а  фазовый сдвиг на выходе относительно входного сигнала.
Если  симметрична относительно начала координат, однозначна и не имеет гистерезиса, то  и тогда
.
Часто при анализе используется величина обратная . Она называется гармоническим импедансом нелинейного звена:
.
Расчет автоколебаний по критерию Найквиста
В соответствии с критерием Найквиста строится годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы

Условием возникновения в системе колебаний является прохождение амплитудно-фазовой характеристики через точку (-1,j0) комплексной плоскости. Для определения условий прохождения годографа через эту точку приравняем
.
Чтобы решить это уравнение можно, задавая значение амплитуды, строить амплитудно-фазовую характеристику(рис.8.18) Значение амплитуды а=А, при которой АФХ пройдет через точку (-1,j0) будет соответствовать амплитуде собственных колебаний. Значение частоты определяют по частоте в точке (-1,j0).

Рис.4. Амплитудно-фазовая характеристика нелинейной системы.
Тогда искомое колебание
.
При нелинейной зависимости вида  передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде
. (12)

Это уравнение решается графическим методом (рис.5).
Строим амплитудно-фазовую характеристику линейного звена и кривую импеданса нелинейного звена. Определяем точку пересечения. Частоту  определим по АФХ линейного звена в точке пересечения. Амплитуду А определим по кривой импеданса нелинейного звена.
Чтобы определить являются ли колебания устойчивыми автоколебаниями, нужно задать приращение амплитуды ; при этом точка на импедансе смещается влево вниз. Это будет соответствовать уменьшению , следовательно, кривая годографа ПФ разомкнутой системы не будет охватывать точку с координатами . Поэтому амплитуда колебаний начнет уменьшаться, и система вернется в исходное состояние. То же будет и при отрицательном приращении.
Критерий устойчивости периодического режима сводится к тому, чтобы часть кривой соответствующая меньшим амплитудам, охватывалась амплитудно-фазовой характеристикой линейной части.
При отсутствии в системе периодических режимов (решения уравнения (8.23)) можно предположить, что система будет устойчива.
Условие устойчивости равновесного состояния (отсутствия автоколебаний): при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывает годограф .

ЛИТЕРАТУРА

1. Коновалов. Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2000.
2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов. / Под ред. А. Бесекерского. - М.: Высш. шк., 2005.
3. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2002.
4. Цифровые системы фазовой синхронизации  Под ред. И. Жодзишского – М.: Радио, 2000.