Реферат на тему Метод статистической и гармонической линеаризации Расчет автоколеб
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-12-24Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего
от 25%

Подписываем
договор
БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
"Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста"
МИНСК, 2008
Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев.
В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида

, (1)
используется два критерия эквивалентности.

Рис.1.
Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов.
Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.
Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:

; (2)

, (3)
где 
─ математическое ожидание процесса на выходе НЭ;

─ центрированная случайная составляющая.
Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде:

, (4)
где 
─ коэффициент передачи линейного эквивалента по математическому ожиданию; 
─ коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей.
Воспользуемся первым критерием эквивалентности:


. (5)
Из этих уравнений находим

;

,
где 
─ плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента.

- коэффициент передачи линейного эквивалента по центрированной случайной составляющей (по первому критерию).
По второму критерию эквивалентности:

;

;

;

;
Для определения 
и 
, при которых выполняется условие эквивалентности, найдем частные производные и приравняем их нулю:


;

; 
; 
.
При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:

;
Определив величины

; 
.
для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами.
Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.2)
Рис.2. Характеристика релейного типа:

; 
коэффициенты равны:

; 
; 
;
Метод используется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка. Эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.
Рассмотрим метод применительно к расчету параметров собственных колебаний в нелинейной системе.
Разделим систему на линейную часть и нелинейное звено (рис.3).

Рис.3. Модель нелинейной системы.
Уравнение линейной части:

,(6)
При возникновении автоколебаний процесс 
на выходе линейной части не является строго гармоническим, но мы будем полагать, что линейное звено является фильтром нижних частот и подавляет все гармоники, за исключением первой. Это предположение называется гипотезой фильтра. Если она не подтверждается, то ошибки при применении гармонической линеаризации могут быть значительными.

.
Пусть

; 
. (7)
Представим 
в виде ряда Фурье:

; (8)
Полагаем, что

.
Это справедливо, если 
симметрична относительно начала координат и отсутствует внешнее воздействие. Полагая, что высшие гармоники подавляются, будем искать только 
и 
Из уравнения (7) находим:

; 
. (9)
Подставив (8. 20) в (8. 19) и ограничив ряд слагаемыми первой гармоники, получим:

(10)
где


(11)
Таким образом, нелинейное уравнение для 
заменили приближенным линейным уравнением (11) для первой гармоники.

и 
называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена. Коэффициенты 
и 
в рассматриваемом случае зависят от амплитуды, при более сложной нелинейной зависимости зависят еще и от частоты.
Рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в учебниках и справочной литературе.
Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем виде:

; 
;
где 
─ эквивалентная передаточная функция нелинейно - го звена.
Частотная передаточная функция разомкнутой системы

.
Характеристическое уравнение

.
Модуль частотной передаточной функции нелинейного звена

.
Фазочастотная характеристика

; ( 
)
Модуль определяет отношение амплитуд, а 
фазовый сдвиг на выходе относительно входного сигнала.
Если 
симметрична относительно начала координат, однозначна и не имеет гистерезиса, то 
и тогда

.
Часто при анализе используется величина обратная 
. Она называется гармоническим импедансом нелинейного звена:

.
Расчет автоколебаний по критерию Найквиста
В соответствии с критерием Найквиста строится годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы

Условием возникновения в системе колебаний является прохождение амплитудно-фазовой характеристики через точку (-1,j0) комплексной плоскости. Для определения условий прохождения годографа через эту точку приравняем

.
Чтобы решить это уравнение можно, задавая значение амплитуды, строить амплитудно-фазовую характеристику(рис.8.18) Значение амплитуды а=А, при которой АФХ пройдет через точку (-1,j0) будет соответствовать амплитуде собственных колебаний. Значение частоты определяют по частоте в точке (-1,j0).
Рис.4. Амплитудно-фазовая характеристика нелинейной системы.
Тогда искомое колебание

.
При нелинейной зависимости вида 
передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде

. (12)
Это уравнение решается графическим методом (рис.5).
Строим амплитудно-фазовую характеристику линейного звена и кривую импеданса нелинейного звена. Определяем точку пересечения. Частоту 
определим по АФХ линейного звена в точке пересечения. Амплитуду А определим по кривой импеданса нелинейного звена.
Чтобы определить являются ли колебания устойчивыми автоколебаниями, нужно задать приращение амплитуды 
; при этом точка на импедансе смещается влево вниз. Это будет соответствовать уменьшению 
, следовательно, кривая годографа ПФ разомкнутой системы не будет охватывать точку с координатами 
. Поэтому амплитуда колебаний начнет уменьшаться, и система вернется в исходное состояние. То же будет и при отрицательном приращении.
Критерий устойчивости периодического режима сводится к тому, чтобы часть кривой 
соответствующая меньшим амплитудам, охватывалась амплитудно-фазовой характеристикой линейной части.
При отсутствии в системе периодических режимов (решения уравнения (8.23)) можно предположить, что система будет устойчива.
Условие устойчивости равновесного состояния (отсутствия автоколебаний): при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывает годограф 
.
2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов. / Под ред. А. Бесекерского. - М.: Высш. шк., 2005.
3. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2002.
4. Цифровые системы фазовой синхронизации Под ред. И. Жодзишского – М.: Радио, 2000.
Кафедра РТС
РЕФЕРАТ
На тему:
"Метод статистической и гармонической линеаризации. Расчет автоколебаний по критерию Найквиста"
МИНСК, 2008
Метод статистической линеаризации
Метод основан на замене нелинейного преобразования процессов статистически эквивалентными им линейным преобразованиями. Нелинейный элемент заменяется линейным эквивалентом (рис.1). В результате замены система линеаризуется, что позволяет использовать методы исследования линейных систем.Замена нелинейного преобразования линейным является приближенной и справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому не существует однозначной эквивалентности при использовании различных критериев.
В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида
используется два критерия эквивалентности.
Рис.1.
Первый критерий предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента математических ожиданий и дисперсий процессов.
Второй критерий – минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.
Процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:
где
Процесс на выходе линейного эквивалента представляется в следующем виде:
где
Воспользуемся первым критерием эквивалентности:
Из этих уравнений находим
где
По второму критерию эквивалентности:
Для определения
При расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:
Определив величины
для типовых нелинейностей, заменяют последние коэффициентами передачи линейного эквивалента и анализируют систему линейными методами.
Для основных типов нелинейностей и нормальном распределении входного процесса коэффициенты рассчитаны и представлены в виде табличных значений. В частности, для характеристики релейного типа (рис.2)
Рис.2. Характеристика релейного типа:
коэффициенты равны:
Метод гармонической линеаризации
Основы метода.Метод используется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка. Эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.
Рассмотрим метод применительно к расчету параметров собственных колебаний в нелинейной системе.
Разделим систему на линейную часть и нелинейное звено (рис.3).
Рис.3. Модель нелинейной системы.
Уравнение линейной части:
При возникновении автоколебаний процесс
Пусть
Представим
Полагаем, что
Это справедливо, если
Из уравнения (7) находим:
Подставив (8. 20) в (8. 19) и ограничив ряд слагаемыми первой гармоники, получим:
где
Таким образом, нелинейное уравнение для
Рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в учебниках и справочной литературе.
Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем виде:
где
Частотная передаточная функция разомкнутой системы
Характеристическое уравнение
Модуль частотной передаточной функции нелинейного звена
Фазочастотная характеристика
Модуль определяет отношение амплитуд, а
Если
Часто при анализе используется величина обратная
Расчет автоколебаний по критерию Найквиста
В соответствии с критерием Найквиста строится годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы
Условием возникновения в системе колебаний является прохождение амплитудно-фазовой характеристики через точку (-1,j0) комплексной плоскости. Для определения условий прохождения годографа через эту точку приравняем
Чтобы решить это уравнение можно, задавая значение амплитуды, строить амплитудно-фазовую характеристику(рис.8.18) Значение амплитуды а=А, при которой АФХ пройдет через точку (-1,j0) будет соответствовать амплитуде собственных колебаний. Значение частоты определяют по частоте в точке (-1,j0).
Рис.4. Амплитудно-фазовая характеристика нелинейной системы.
Тогда искомое колебание
При нелинейной зависимости вида
Это уравнение решается графическим методом (рис.5).
Строим амплитудно-фазовую характеристику линейного звена и кривую импеданса нелинейного звена. Определяем точку пересечения. Частоту
Чтобы определить являются ли колебания устойчивыми автоколебаниями, нужно задать приращение амплитуды
Критерий устойчивости периодического режима сводится к тому, чтобы часть кривой
При отсутствии в системе периодических режимов (решения уравнения (8.23)) можно предположить, что система будет устойчива.
Условие устойчивости равновесного состояния (отсутствия автоколебаний): при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывает годограф
ЛИТЕРАТУРА
1. Коновалов. Г.Ф. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. – М.: Высш. шк., 2000.2. Радиоавтоматика: Учеб. пособие для вузов. / Под ред. А. Бесекерского. - М.: Высш. шк., 2005.
3. Первачев С.В. Радиоавтоматика: Учебник для вузов. - М.: Радио и связь, 2002.
4. Цифровые системы фазовой синхронизации Под ред. И. Жодзишского – М.: Радио, 2000.