Реферат Задачи Пятого Турнира Юных Математиков
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
![](https://bukvasha.net/assets/images/emoji__ok.png)
Предоплата всего
от 25%
![](https://bukvasha.net/assets/images/emoji__signature.png)
Подписываем
договор
УЗШ «Эрудит»
Реферат
по теме
«Задачи Пятого Турнира Юных Математиков»
ученика 10го класса
Гончаренко Никиты
Предисловие
Настоящий реферат рассматривает решения задач некоторых задач отборочного этапа Пятого Всеукраинского турнира юных математиков (проводившегося г. Сумы). В кратком условии участия было отмечено, что «предлагаемые задачи достаточно сложны и необязательно должны быть решены полностью. Оцениваться будут и отдельные продвижения и разбор частных случаев. В некоторых случаях можно решить аналогичную или более простую задачу». Данный реферат имеет несколько не доведенных до конца задач, либо решенных частично. Также приведены некоторые задач финального тура.
«Геометрические миниатюры»
Условие: Зафиксируем на плоскости
Решение
Решение задачи разобъем на четыре этапа:
1. Докажем, что
2. Докажем, что
3. Докажем, что
4. Из этапов (2) и (3) ясно, что
Этап 1: Найдем отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС.
Пусть окружность касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках P, S и Q. Обозначим отрезки AP, CQ и BS как x, y и z соответственно. Тогда из «отрезки касательных, проведенных из одной точки равны», следует, что AC = AQ = x, CQ = CS = y, BS = BP = z.
Найдем отношение площади
Аналогично,
Тогда из S
Подставим значения
Раскрыв скобки, выражение можно записать как
Длины сторон треугольника всегда положительны, значит используем неравенство Коши:
Подставим неравенства в числители дробей
Итак, отношение площади треугольника
Этап 2: Найдем отношение площади треугольника, вершины которого – основания биссектрис данного треугольника, к площади данного треугольника АВС.
Пусть АН, BG, CF – биссектрисы
Значит,
По аналогии с предыдущей задачей найдем отношение
Аналогично,
Тогда
Упростив это выражение, получаем
Теперь, из неравенства Коши (
Итак, отношение площади треугольника
Этап 3: Найдем отношение площади треугольника, образованного основаниями медиан, к данному треугольнику
Рассмотрим AERT.
RT, по свойству средней линии равен половине АЕ и АЕ7RT.
ER=AT и ER7AT по этим же признакам Þ AERT – параллелограмм.
Значит ÐEAT=ÐERT (*) – по свойству параллелограмма.
Аналогичным образом рассмотрим параллелограммы ERCT, BETR. Из них Þ ÐRET = ÐRCT, ÐRBE = ÐETR (**).
Из (*) и (**) Þ
Итак, отношение площади треугольника (по условию SK), образованного основаниями медиан, к площади данного треугольника АВС -
Этап 4: докажем, что
В процессе решения задачи данный этап был разрешен, но найденное решение оказалось крайне не рациональное и очень объемное, поэтому здесь не приведено.
Значит, действительно, площадь треугольника, образованного основаниями медиан больше площади треугольника, образованного основаниями биссектрис, который больше площади треугольника, образованного точками касания вписанной окружности. ЧТД.
Задача 1 Финального тура
Условие: Решить уравнение xy2 + xy + x2 – 2y – 1 = 0 в целых числах.
Решение
Представим исходное уравнение в виде:
Из этого следует, что х – делитель 2у+1. Введем замену: 2у+1 = kx, где kÎZ. Тогда
Подставим значения в преобразованное уравнение.
Введем замену: х1 = -х. Тогда полученное уравнение примет вид
Решим данное уравнение относительно х1 (очевидно, что
1. Рассмотрим случай, когда k = 1.
Отсюда, х = 1 или х = = -5, тогда y = 0 или у = -3;
Ответ: (1;0), (0;-3);
2. Рассмотрим случай, когда k = -1.
Отсюда, х = -1 или х = = -3, тогда у = 0 или у = 1;
Ответ: (-1;0), (-3;1);
3. Рассмотрим случай, когда k = 3.
Ответ: (-9;-14)
4. Рассмотрим случай, когда k = -3.
Итак, в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие решения: (1;0), (0;-3), (-1;0), (-3;1), (-9;-14).
C
умма производных
Условие: Пусть
Доказать, что для нечетных
Решение
Рассмотрим производные P(x):
Далее замечаем, что
1. n = 2k..
4k2(2k-1) – это число четное.
2. n = 2k+1.
2k*(2k+1)2 – также число четное.
Отсюда следует, что
Введем некоторую функцию F(x).
Рассмотрим возможные случаи для х:
1. х – число четное
Значит,
2. х – число нечетное
a. n – нечетное
b. n – четное
Значит, при любом нечетном х, всегда F(x) будет четной при любом (четном/нечетном) значении n Þ
В результате рассмотренных выше случаев, выводим, что для нечетных
ЧТД.
Необычное уравнение
Условие: Для m натуральных через P(m), обозначается произведение всех цифр его десятичной записи, а через S(m) – их сумма. Найти количество k(n) решений уравнения
при n = 2002. Исследуйте величину k(n) решений уравнения.
Решение
Рассмотрим различные случаи числа x.
Пусть в записи х есть ноль, тогда P(x) = 0, значит
Пусть S(x)=y, S(x) = n и в записи числа есть ноль, тогда
Значит, P(S(x)) = P(y) = 0, т.к. число содержит ноль.
S(S(x))=S(y)=n. Имеется бесконечно много решений.
Т.е. для решения данного уравнения подходят числа, S(S(x)) которых равна n.
Т.к. решений бесконечно много, то имеем множество решений для любых случаев.
Идем от обратного: S(y)=n
При n = 2002, S(x) = 4, P(S(x)) = 4, S(S(X)) = 4 –
Рассмотрев решения для данного случая, убеждаемся, что n можно подобрать относительно х или наоборот.
Задание 6 Финального Тура
Найти все функции
, для которых выполняется ![](ref-1_288549446-412.coolpic)
Решение
Пусть х = 1.
. Заменим f(y) на а, имеем:
. (*)
Проверим полученную функцию.
y = 1, тогда
![](ref-1_288550470-749.coolpic)
Теперь подставим в исходную функцию.
Значит, одно из возможных значений функции -
.
Математический Анализ
Условие: Рассматриваются различные непрерывно дифференцируемые функции
(это значит, что для произвольного
, существует
), причем функция g непрерывна на сегменте [0;1]; под произодными функции f в конечных точках сегмента [0;1] считаются конечные производные
соответственно), для которых f(0)=f(1)=0 и
. Охарактеризовать множество всех точек, координатной плоскости xOy, через которые могут проходить графики всех функций.
Решение
Используем неравенство Коши-Буняковского для определенного интеграла, но, прежде, распишем определенный интеграл:
![](ref-1_288554602-548.coolpic)
Распишем, также, формулу Ньютона-Лейбница:
.
Итак,
![](ref-1_288555923-389.coolpic)
![](ref-1_288556312-900.coolpic)
Значит
.
![](ref-1_288557539-919.coolpic)
Значит,
.
Тогда,
.
, т.к.
(по условию).
![](ref-1_288559969-495.coolpic)
Рассмотрим два случая:
1.
y2 = x – x2 (точка лежит на контуре)
Т.е. графиком данной функции будет произвольная кривая, в которую вписан угол (угол OMK = 900)
ПРОТИВОРЕЧИЕ !!!
2.![](ref-1_288561765-211.coolpic)
Т.е. всегда можно построить гладкую кривую, проходящую через точку Х.
Бесконечные Биномиальные Коэффициенты
Условие: упростить выражение
.
Решение
Отметим, что если n – четное, что количество членов ряда нечетно, а если n – нечетно, то их количество четно.
Рассмотрим четные и нечетные n.
1. n = 2k + 1 – нечетное
Тогда, ряд будет иметь вид:
.
Зная, что
, упростим этот ряд.
.
Видим, что равноудаленные от концов ряда члены сокращаются, и, т.к. количество их четно, следовательно сумма ряда рана нулю.
, при n = 2k + 1.
2. n = 2k
Этот случай не был решен до конца, но в результате расчетов первых четных чисел была выведена и проверена, однако не доказана, формула
, где n – четное.
Работа Гончаренко Никиты,
Г. Краматорск, ОШ#35
Найти все функции
Решение
Пусть х = 1.
Проверим полученную функцию.
y = 1, тогда
Теперь подставим в исходную функцию.
Значит, одно из возможных значений функции -
Математический Анализ
Условие: Рассматриваются различные непрерывно дифференцируемые функции
Решение
Распишем, также, формулу Ньютона-Лейбница:
Итак,
Значит
Значит,
Тогда,
Рассмотрим два случая:
1.
Т.е. графиком данной функции будет произвольная кривая, в которую вписан угол (угол OMK = 900)
ПРОТИВОРЕЧИЕ !!!
2.
Т.е. всегда можно построить гладкую кривую, проходящую через точку Х.
Бесконечные Биномиальные Коэффициенты
Условие: упростить выражение
Решение
Отметим, что если n – четное, что количество членов ряда нечетно, а если n – нечетно, то их количество четно.
Рассмотрим четные и нечетные n.
1. n = 2k + 1 – нечетное
Тогда, ряд будет иметь вид:
Зная, что
Видим, что равноудаленные от концов ряда члены сокращаются, и, т.к. количество их четно, следовательно сумма ряда рана нулю.
2. n = 2k
Этот случай не был решен до конца, но в результате расчетов первых четных чисел была выведена и проверена, однако не доказана, формула
Работа Гончаренко Никиты,
Г. Краматорск, ОШ#35