1.     Докажем, что

2.     Докажем, что

3.     Докажем, что

4.     Из этапов (2) и (3) ясно, что , поэтому докажем, что
Этап 1: Найдем отношение площади треугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС.

Пусть окружность касается сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках P, S и Q. Обозначим отрезки AP, CQ и BS как x, y и z соответственно. Тогда из «отрезки касательных, проведенных из одной точки равны», следует, что AC = AQ = x, CQ = CS = y, BS = BP = z.

          Составим и решим систему.




  
Найдем отношение площади PSQ к площади АВС через разность площадей SPSQ = SАВС – (SAPQ + SCQS + SBPS).



Аналогично,

  и  

Тогда из SPSQ = SАВС – (SAPQ + SCQS + SBPS) Þ



Подставим значения



Раскрыв скобки, выражение можно записать как



Длины сторон треугольника всегда положительны, значит используем неравенство Коши: . Аналогично, для трех чисел:

Подставим неравенства в числители дробей

.
Итак, отношение площади треугольника PSQ (по условию - S_k) , вершинами которого являются точки касания вписанной окружности, к площади данного треугольника АВС: .

 Этап 2: Найдем отношение площади треугольника, вершины которого – основания биссектрис данного треугольника, к площади данного треугольника АВС.

Пусть АН, BG, CF – биссектрисы АВС, тогда FGH – искомый треугольник. Найдем отношение площадей данного треугольника и FGH.

Обозначим AF = x, BH = y, CG = z. По свойству биссектрис («биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам»), тогда                 

Значит,        
По аналогии с предыдущей задачей найдем отношение FBH, HCG, FAG к площади ABC.



Аналогично,

  и   .

Тогда

Упростив это выражение, получаем .

Теперь, из неравенства Коши () Þ .

Итак, отношение площади треугольника FHG (по условию - S_l), вершины которого – основания биссектрис данного треугольника, к площади треугольника АВС - .
Этап 3: Найдем отношение площади треугольника, образованного основаниями медиан, к данному треугольнику ABC.

          Проведем из вершин АВС медианы, пересекающие стороны АВ, ВС и АС соответственно в точках E, R и T.

Рассмотрим AERT.

RT, по свойству средней линии равен половине АЕ и АЕ7RT.

ER=AT и ER7AT по этим же признакам Þ AERT – параллелограмм.

Значит ÐEAT=ÐERT (*) – по свойству параллелограмма.

Аналогичным образом рассмотрим параллелограммы ERCT, BETR. Из них Þ ÐRET = ÐRCT, ÐRBE = ÐETR (**).

          Из (*) и (**) Þ ERT подобен АВС при (по свойству средней линии). По свойству «площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия», .

Итак, отношение площади треугольника (по условию S_K), образованного основаниями медиан, к площади данного треугольника АВС - .
Этап 4: докажем, что .

В процессе решения задачи данный этап был разрешен, но найденное решение оказалось крайне не рациональное и очень объемное, поэтому здесь не приведено.

Значит, действительно, площадь треугольника, образованного основаниями медиан больше площади треугольника, образованного основаниями биссектрис, который больше площади треугольника, образованного точками касания вписанной окружности. ЧТД.
Задача 1 Финального тура

Условие: Решить уравнение xy² + xy + x² – 2y – 1 = 0 в целых числах.
Решение

Представим исходное уравнение в виде:



Из этого следует, что х – делитель 2у+1. Введем замену: 2у+1 = kx, где kÎZ. Тогда

 Т.к. ищем решения в целых числах, из этого равенства видно, что k – число нечетное.


Подставим значения в преобразованное уравнение.



Введем замену: х₁ = -х. Тогда полученное уравнение примет вид .

Решим данное уравнение относительно х₁ (очевидно, что ).

1.     Рассмотрим случай, когда k = 1.

Отсюда, х = 1 или х =  = -5, тогда y = 0 или у = -3; 
Ответ: (1;0), (0;-3);

2.     Рассмотрим случай, когда k = -1.

Отсюда, х = -1 или х = ­­  = -3, тогда у = 0 или у = 1;
Ответ: (-1;0), (-3;1);

3.     Рассмотрим случай, когда k = 3.
 Отсюда у = -14.
Ответ: (-9;-14)

4.     Рассмотрим случай, когда k = -3.
- нет решений в области целых чисел.

Итак, в результате вышеописанных вычислений были найдены следующие решения: (1;0),  (0;-3),  (-1;0),  (-3;1),  (-9;-14).
C
умма производных

Условие: Пусть

.

Доказать, что для нечетных - число четное, а для четных  - число нечетное.
Решение

Рассмотрим производные P(x):



Далее замечаем, что . Рассмотрим это число:

1.     n = 2k..
4k²(2k-1) – это число четное.

2.     n = 2k+1.
2k*(2k+1)² – также число четное.

Отсюда следует, что- число четное при любых допустимых значениях n. Значит,

, как сумма четных чисел, число четное.

Введем некоторую функцию F(x).



Рассмотрим возможные случаи для х:

1.     х – число четное

- число нечетное,

 - число четное Þ F(x) – нечетное.

Значит, -нечетное число, ЧТД.

2.     х – число нечетное

a.      n – нечетное
- число четное,

 - при четном х – четное, значит сумма четна Þ F(x) – четное.

b.     n – четное

- число нечетное,

 - при четном х – четное, значит сумма нечетна Þ F(x) – четное.

Значит, при любом нечетном х, всегда F(x) будет четной при любом (четном/нечетном) значении n Þ

 - четное ЧТД

В результате рассмотренных выше случаев, выводим, что для нечетных - число четное, а для четных  - число нечетное.

ЧТД.
Необычное уравнение

Условие: Для m натуральных через P(m), обозначается произведение всех цифр его десятичной записи, а через S(m) – их сумма. Найти количество k(n) решений уравнения



при n = 2002. Исследуйте величину k(n) решений уравнения.
Решение

Рассмотрим различные случаи числа x.

Пусть в записи х есть ноль, тогда P(x) = 0, значит



Пусть S(x)=y, S(x) = n и в записи числа есть ноль, тогда

    

Значит, P(S(x)) = P(y) = 0, т.к. число содержит ноль.

S(S(x))=S(y)=n. Имеется бесконечно много решений.

Т.е. для решения данного уравнения подходят числа, S(S(x)) которых равна n.

Т.к. решений бесконечно много, то имеем множество решений для любых случаев.

Идем от обратного: S(y)=n где, a+b+c+…+f = n, т.е. от перестановки цифр сумма не меняется.

При n = 2002, S(x) = 4, P(S(x)) = 4, S(S(X)) = 4 – .

Рассмотрев решения для данного случая, убеждаемся, что n можно подобрать относительно х или наоборот.