ВВЕДЕНИЕ

Мой курсовой проект посвящен одному из наиболее интересных разделов теории чисел - решению уравнений в целых числах.

Решение в целых числах алгебраических уравнений с целыми коэффициентами более чем с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших проблем теории чисел.

Проблема решения уравнений в целых числах решена до конца только для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Отметим, что для уравнений любой степени с одним неизвестным она не представляет сколько-нибудь существенного интереса, так как эта задача может быть решена с помощью конечного числа проб. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными весьма трудна не только задача нахождения всех решений в целых числах, но даже и более простая задача установления существования конечного или бесконечного множества таких решений.

В своем проекте я постаралась изложить некоторые основные результаты, полученные в теории; решения уравнений в целых числах. Теоремы, формулируемые в нем, снабжены доказательствами в тех случаях, когда эти доказательства достаточно просты.

1. УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

Рассмотрим уравнение первой степени с одним неизвестным

(1)

Пусть коэффициенты уравнения  и  - целые числа. Ясно, что решение этого уравнения

будет целым числом только в том случае, когда  нацело делится на . Таким образом, уравнение (1) не всегда разрешимо в целых числах; так, например, из двух уравнений  и  первое имеет целое решение , а второе в целых числах неразрешимо.

С тем же обстоятельством мы встречаемся и в случае уравнений, степень которых выше первой: квадратное уравнение  имеет целые решения , ; уравнение  в целых числах неразрешимо, так как его корни ,иррациональны.

Вопрос о нахождении целых корней уравнения n-ой степени с целыми коэффициентами

(2)

решается легко. Действительно, пусть  - целый корень этого уравнения. Тогда

, .

Из последнего равенства видно, что  делится  без остатка; следовательно, каждый целый корень уравнения (2) является делителем свободного члена уравнения. Для нахождения целых решений уравнения надо выбрать те из делителей , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Так, например, из чисел 1, -1, 2 и -2, представляющих собой все делители свободного члена уравнения

,

только -1 является корнем. Следовательно это уравнение, имеет единственный целый корень . Тем же методом легко показать, что уравнение

в целых числах неразрешимо.

Значительно больший интерес представляет решение в целых числах уравнении с многими неизвестными.
2. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ


Рассмотрим уравнение первой степени с двумя неизвестными

,

(3)

где  и  - целые числа, отличные от нуля, а  - произвольное целое. Будем считать, что коэффициенты  и  не имеют общих делителей, кроме единицы. Действительно, если общий наибольший делитель этих коэффициентов  отличен от единицы, то справедливы равенства , ; уравнение (3) принимает вид

и может иметь целые решения только в том случае, когда  делится на . Таким образом, в случае  - все коэффициенты уравнения (3) должны делиться нацело на , и, сокращая (3) на , придем к уравнению

,

коэффициенты которого  и  взаимно просты.

Рассмотрим сначала случай, когда . Уравнение (3) перепишется так:

.

(3')

Решая это уравнение относительно, получим

.

Ясно, что  будет принимать целые значения в том и только в том случае, когда  делится на  без остатка. Но всякое целое , кратное , можно записать в виде

,

где  принимает произвольные целые значения . Подставим это значение  в предыдущее уравнение, тогда

,

и мы получаем формулы, содержащие все целые решения уравнения (3'):

,        .

Перейдем теперь к случаю .

Покажем, прежде всего, что для нахождения всех целых решений уравнения (3) достаточно найти какое-нибудь одно его решение, т. е. найти такие целые числа, , для которых

,

Т е о р е м а I. Пусть а и
b взаимно просты и  - какое-нибудь решение уравнения

,

(3)

Тогда формулы

,

(4)

при  дают все решения уравнения (3).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  - произвольное решение уравнения (3). Тогда из равенств

и

получаем

; .

Так как  - целое число и числа  и  взаимно просты, то  должно нацело делиться на , т. е.  имеет вид

,

где  - целое. Но тогда

,

и получаем

, .

Таким образом доказано, что всякое решение  имеет вид (4). Остается еще проверить, что всякая пара чисел , получаемая по формулам (4) при целом , будет решением уравнения (3). Чтобы провести та кую проверку, подставим величины ,  в левую часть уравнения (3):

,

но так как  -решение, то  и, следовательно, , т.е.  - решение уравнения (3), чем теорема полностью доказана.

Итак, если известно одно решение уравнения , то все остальные решения найдутся из арифметических прогрессий, общие члены которых имеют вид:

,        .

3аметим, что в случае, когда , найденные раньше формулы решений

,

могут быть получены из только что выведенных формул , , если выбрать , что можно сделать, так как значения ,  являются, очевидно, решением уравнения

,

Как же найти какое-нибудь одно решение  уравнения (3) в общем случае, когда . Начнем с примера.

Пусть дано уравнение

Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных.

Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби ;        

Правильную дробь  заменим равной ей дробью .

Тогда получим . Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью .

Теперь исходная дробь примет вид:

Повторяя те же рассуждения для дроби  получим .

Выделяя целую часть неправильной дроби, придем к окончательному результату:



Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби :

,   .

Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда

.

Из сопоставления полученного равенства с уравнением  следует, что ,  будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях ,         .

Полученный результат наводит на мысль о том, что и в общем случае для нахождения решения уравнения  надо разложить отношение коэффициентов при неизвестных в цепкую дробь, отбросить ее последнее звено и проделать выкладки, подобные тем, которые были проведены выше.

Для доказательства этого предположения будут нужны некоторые свойства цепных дробей.

Рассмотрим несократимую дробь . Обозначим через  частное и через  остаток от деления а на b. Тогда получим: , .

Пусть, далее,  - частное и  - остаток от деления  на  Тогда , ; точно так же

 

Величины , ,… называются неполными частными. Приведенный выше процесс образования неполных частных называется алгоритмом Евклида. Остатки от деления , ,…удовлетворяют неравенствам

,

(5)

т. е. образуют ряд убывающих неотрицательных чисел.

Так как количество неотрицательных целых чисел, не превосходящих b, не может быть бесконечным, то на некотором шаге процесс образования неполных частных оборвется из-за обращения в ноль очередного остатка r. Пусть  - последний отличный от нуля остаток в ряде (5); тогда  и алгоритм Евклида для чисел a и b примет вид

                                                                                                                     (6)

Перепишем полученные равенства в виде



Заменяя значение  в первой строке этих равенств соответствующим значением из второй строки значение  - выражением из третьей, строки и т. д., получим разложение  в цепную дробь:
                               
Выражения, получающиеся из цепной дроби при отбрасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, назовем подходящими дробями. Первая: подходящая дробь  получится при отбрасывании всех звеньев, начиная с :      .

Вторая подходящая дробь получается отбрасыванием всех звеньев, начиная с : . Точно так же



и т. д.

В силу способа образования подходящих дробей возникают очевидные неравенства:

; .

Запишем k-ю подходящую дробь  в виде        ,

и найдем закон образования числителей и знаменателей подходящих дробей, Преобразуем первые подходящие дроби , , :

; , ;

; ; ;

;

;

Отсюда получаем:

; .

Применяя индукцию, докажем, что соотношения того же вида

                                        ,                                             (7).

выполняются для всех .

Действительно, пусть равенства (7) выполняются для некоторого . Из определения подходящих дробей непосредственно следует, что при замене в выражении  величины  на  перейдет в . Согласно индукционному предположению

.

Заменяя здесь  на , получим:

.

Отсюда, так как , следует, что

, .

Таким образом, из выполнения равенств (7) для некоторого  следует выполнение их для  Но для  равенства (7) - выполняется и, следовательно, их справедливость установлена для всех .

Покажем теперь, что разность соседних подходящих дробей  удовлетворяет соотношению

                                                            .                                            (8)

Действительно,

.

Пользуясь формулами (7), преобразуем числитель полученной дроби:

.

Выражение, стоящее в скобках, получается из исходного заменой  на . Повторяя такие же преобразования для получающихся выражений, получим, очевидно, цепь равенств:

                                          





Отсюда следует, что

Если разложение  в цепную дробь имеет  звеньев, то п-я подходящая дробь  совпадает с . Применяя равенство (8), при  получим

                                                                                                                   (9)

Вернемся теперь к решению уравнения

                                                         ,                                                (10)

Перепишем соотношение (9) в виде .

Приводя к общему знаменателю и отбрасывая его, получим



Умножим это соотношение на . Тогда



Отсюда следует, что пара чисел ,

                                               , ,                                      (11)

является решением уравнения (10) и согласно теореме все решения этого уравнения имеют вид

,             

Полученный результат полностью решает вопрос о нахождении всех целочисленных решений уравнения первой степени с двумя неизвестными. Перейдем теперь к рассмотрению некоторых уравнений второй степени.