Исследование зависимостей между механическими характеристиками материалов

1. Введение
Современные техника предъявляет высокие требования к конструкционным материалам. Поэтому  в настоящее время в технических  науках всё возрастающее значение приобретает развитие методов испытаний  материалов, получение и изучение их механических характеристик, целенаправленные изменения этих характеристик.

В науке известны различные зависимости, связывающие определённые характеристики материалов. Эти зависимости обусловлены физическими свойствами материалов, но коэффициенты, входящие в эти формулы, определяются экспериментально. Знание этих зависимостей позволяет существенно ускорить и удешевить процесс определения механических характеристик материалов, потому что одни характеристики можно определить при испытаниях материалов, а другие просто вычислить.

Работы в этой области – непочатый край, и именно в этой научной нише мы провели наше небольшое исследование. Причём основное внимание в работе было уделено оценке точности полученных результатов.



2. Испытание стальных образцов на растяжение и ударную вязкость

      

Механические характеристики определяются при различных видах испытаний. Основной вид испытаний, из которого определяется большинство характеристик, - испытание на растяжение.

Мы испытали 16 образцов из разных марок стали (каких, мы ещё не знали; по результатам испытаний были определены марки стали). Образец  для испытаний изображён на рис. 1.

   





Рис. 1.   Образец для испытаний
Испытания проводились на лабораторной машине P-5. Для каждого образца строилась диаграмма растяжения “”  (рис. 2), где F –растягивающая  сила, - удлинение рабочей части (₀) образца.





Рис. 2. Диаграмма растяжения и вид образца из малоуглеродистой стали в момент разрушения.

	1

 Из этой диаграммы определились следующие характеристики:
 а) Предел текучести                                              -                                                                         (1)
F_Т  - сила, соответствующая площадке текучести;  A₀  -  первоначальная площадь поперечного сечения образца. Следует заметить, что физический предел текучести имеет место только у малоуглеродистых сталей, имеющих непрочные перлитовые прослойки, которые разрушаются, когда напряжение достигает предела текучести. При этом образец заметно удлиняется без роста усилия и его макропрочность сохраняется (образец способен воспринимать нагрузку)
 б) Предел прочности.                                        -                                                                         (2)
Предел прочности - это напряжение, соответствующее максимальной нагрузке F_max. В момент достижения F_max образуется шейка - местное сужение (в наиболее слабом месте), и дальнейшая деформация образца происходит только уже в области  шейки.
в)                                                               -                                                                        (3)
относительное остаточное удлинение образца в момент разрушения.
г)                                                                -                                                                   (4)
относительное остаточное сужение поперечного сечения образца
д)                                                                               -                                                                (5)
удельная работа деформации – величина, равная площади, ограниченной диаграммой растяжения W (рис. 2), делённой на объём рабочей части образца V.

     и  - прочностные характеристики материала;   и  характеризуют пластические свойства материала, т. е. на сколько материал деформируется в момент разрушения;   - энергетическая характеристика материала.

После испытания образцов на растяжение мы на большей части образца нанесли небольшой надрез и испытывали её на  маятниковом копре на ударную вязкость (рис. 3).

2

Рис. 3.  Схема испытания на ударную вязкость.

Ударная вязкость характеризует работу разрушения единицы площади образца и рассчитывается по формуле

 

                                                            а_уд =          -                                                                               (6)

                       

где  - первоначальная занесённая энергия в бойке;  - оставшаяся энергия; A – площадь поверхности разрушения (в месте надреза).

Первые пять характеристик:  характеризуют свойства материала при статических нагрузках (статические характеристики). а_уд – динамическая характеристика материала.
Результаты испытаний представлены в таблице (рис. 4).
По полученным характеристикам мы определили наиболее вероятные марки сталей испытанных образцов. Оказалось, что 4 образца были изготовлены из малоуглеродистой стали ст. 3;  один образец из среднеуглеродистой стали ст. 45 и 11 образцов из легированной стали 50Г.
3. Ошибки измерений.  Статистическая обработка полученных результатов
Как известно при проведении измерений физических величин всегда имеют место ошибки измерений, обусловленные самыми различными факторами. Поэтому всегда необходимо проводить статистическую обработку результатов измерений, по результатам которой можно оценить точность измерений и надёжность полученных результатов.

Мы рассчитывали следующие величины:
а)  Среднее арифметическое всех определённых характеристик

                                        

                                                ,                                                                                                (7)

 

где n – число измерений (полученных характеристик).
б)    Средняя квадратическая ошибка
                                               .                                                                                    (8)
в)   Коэффициент вариации (относительная величина средней квадратической ошибки в %).

                                   

                                                                                                                                       (9)              

г)  Доверительные интервалы , в которые укладываются полученные результаты испытаний с заданной вероятностью   , по формуле
                                             ,                                                                                            (10)

3

где  - коэффициент Стьюдента, который берётся из таблицы и зависит от  и n.

После расчета доверительного интервала   для каждой характеристики мы можем сказать, что результат измерений данной характеристики отличается от её истинного значения на величину, не большую, чем , с вероятностью . Математически это записывается так:
                                                   .                                                                            (11)
Результаты статистической обработки определённых механических характеристик по формулам   (6) – (8) приведены в таблице на рис. 4.



4
.  Анализ полученных результатов.  Поиск зависимостей между характеристиками материалов
Для облегчения анализа результатов, мы нанесли средние значения определённых характеристик на полярную диаграмму (рис. 5).
Рис. 5. Полярная диаграмма механических свойств.                        - ст. 3          ст. 50Г          - ст. 45
На полярную диаграмму мы не нанесли предел текучести  , поскольку физический предел текучести был обнаружен только у малоуглеродистой стали ст. 3.

На полярной диаграмме хорошо видны известные качественные соотношения между статическими характеристиками прочности и пластичности, с одной стороны, и  между статическими и динамическими характеристиками, с другой стороны, а именно: чем больше  (прочностная характеристика) тем меньше характеристики пластичности и , а также динамическая характеристики а_уд . Мы проверили некоторые известные зависимости между характеристиками материалов и попытались установить новые.
4.1.Связь  и .

 

  Известно, что для сталей

                                                                                                                                (12)

	5

В общем виде:

                                                     .                                                                                                                                (13)
Мы определили коэффициент k для ст. 3:
                                             ,                                                                                   (14)
Далее мы рассчитали среднеквадратическую ошибку S_k для коэффициента k.

Известно, что если , то
                                    .                                                         (15)
На основании формулы (15)
                                     .                                                                            (16)
    Задавшись доверительной вероятностью  по формуле (10) мы рассчитали                        
                                        .                                                                               (17)
В соответствии с формулой (10) мы можем сказать, что с доверительной вероятностью  
                                                                                                                                      (18)


4.2  Связь
.
Поскольку  по сути является площадью диаграммы , вполне логично записать связь между этими величинами в виде:

                           

                                                                                                                                                  (19)
или                                                    
По формуле (19) мы рассчитали k₁ для испытанных марок сталей:
           для ст. 3:       ,

           для ст. 50Г    ,

           для ст. 45:     .   
Относительные расхождения между этими коэффициентами                                                                                 

6

                                                   
Мы рассчитали погрешность коэффициента k₁ для ст. 50Г:

     

      По формуле (15)
                                                      
Коэффициент вариации
                                         .             
При , .
Таким образом,
4.3 
Связь между
(характеристика статической прочности) и а_уд  (динамическая характеристика)
Эту связь устанавливаем в  виде
                                                                                                                                                         (20)
для ст. 3:       ,
для ст. 50Г:  .

Как видим, коэффициент k₂ очень стабильный.
4.4  Связь между
.

На наш взгляд, чем большее количество характеристик связывается единой зависимостью на основе подмеченных закономерностей, эти связи более устойчивы, т. е. их можно использовать для более широкого круга материалов.

Анализируя полярную диаграмму полученных характеристик для трёх марок стали, мы выразили такую связь в виде формулы

                           

                                             .                                                                    (21)
Коэффициент 0,43 мы подобрали расчётом на ЭВМ.

	7

Для ст. 3:      ,

Для ст. 50Г:  ,

Для ст. 45:    .   
Максимальное относительное расхождение между этими коэффициентами
                                             
5. Выводы
Таким образом, мы испытали 16 образцов из 3 марок стали (как потом оказалось) на растяжение и ударную вязкость. Рассчитали соответствующие механические характеристики () и проанализировали графически, аналитически и числено связь между этими характеристиками.

Мы подтвердили некоторые известные связи (между ; между ), уточнив при этом значения связывающих коэффициентов для испытанных марок сталей и оценили погрешность расчета этих коэффициентов по соответствующим формулам теории вероятности.

Мы также установили новые связи между рассчитанными характеристиками (между ; между ) и оценили возможный разброс результатов при использовании этих формул. Эти связи качественно обусловлены физическими свойствами материалов и подтверждены нами количественно.

Знание этих зависимостей даёт возможность уменьшать объём испытаний новых материалов, сэкономив тем самым время и ресурсы.

8

8

Следует заметить, что объём проведённых нами испытаний относительно невелик, поэтому полученные результаты следует рассматривать как предварительные, которые можно развивать и уточнять, увеличивая количество образцов и диапазон материалов.   
Используемая литература: “Сопротивление материалов” автор: Феодосьев В. И. , “Сопротивление материалов” автор: Писаренко Г. С.