Реферат по курсу ‘Общая гидродинамика’

·       Тензор скоростей деформации.

·       Связь тензоров напряжений и скоростей деформации.

·       Реологическое соотношение. Ньютоновская жидкость.

·       Уравнения Навье-Стокса.

·       Задача о стекании слоя вязкой жидкости по наклонной плоскости.
            Основные уравнения. Уравнения сохранения массы

                        ,                                                                                          (1)

количества движения

                        ,                                                               (2)

энергии

                                                                       (3)

пригодны для различных течений жидкости и газа, но их не достаточно для решения конкретных задач. Дело в том, что число неизвестных величин в этих уравнениях больше числа уравнений. Наряду с гидродинамическими величинами , характеризующими поля течений, в них входят другие величины, в частности напряжения поверхностных сил , потоки тепла через поверхность . Необходимо ввести некоторые дополнительные соотношения, описывающие физические свойства среды, движение которой изучается на основе законов механики. Иначе говоря, необходимо построить теоретическую модель изучаемой среды, которая описывается замкнутой системой уравнений.
            Тензор напряжений. Напряженное состояние в произвольной точке в поле определяется тройкой векторов , которые представляют напряжения, действующие на площадках, перпендикулярных координатным осям x, y, z. Каждому из этих векторов соответствуют три проекции, например,

                                                                                                     (4)

Систему координат с началом в данной точке можно выбрать многими способами, и, следовательно, можно ввести в рассмотрение бесконечное множество троек векторов напряжений. Выясним связь между векторами напряжений в двух системах координат.

            Для сокращения записи формул координатные оси будем помечать индексами 1, 2, 3. Пусть  и  - единичные векторы двух систем координат с общим началом, а  и  - векторы напряжений, действующие в этих системах на площадках, нормали к которым ориентированы по координатным осям.

            Положение одной системы координат относительно другой задается таблицей направляющих косинусов

                       

Применим формулу Коши к каждому из штрихованных векторов

                                                                                                                      (5)

Тройка векторов , определенных в любой декартовой ортогональной системе координат таким образом, что при переходе от одной системы к другой векторы  преобразуются по формулам (5), называется тензором. Таким образом, векторы  образуют тензор напряжений. Так как каждый из векторов  определяется по (4) своими тремя проекциями , то в матричной форме этот тензор имеет следующий вид:

                                                                                                (6)

            Тензор напряжений является симметричным. Это свойство тензора напряжений вытекает из уравнений моментов количества движения в классическом случае, когда отсутствуют внутренние моменты количества движения и внешние массовые и поверхностные распределенные пары взаимодействия. Уравнение моментов количества движения при этих условиях записывается следующим образом:

                                                                       (7)

Интеграл по поверхности преобразуется в объемный:

                       

Теперь уравнение (7) можно переписать так:

                                                                 (8)

В силу уравнения количества движения (2) левая часть (8) обращается в нуль, следовательно, в силу произвольности  должно обращаться в нуль подынтегральное выражение в правой части

                                                                                               (9)

Из (9) следуют равенства

                       

или в сокращенной записи, .

            С симметричным тензором второго ранга  связана симметрическая квадратичная форма

                                                                                                                        (10)

В этой записи предполагается, что по повторяющимся индексам производится суммирование. Как известно, существует главная система координат , в которой квадратичная форма (10) имеет простейший вид

                       

Тензор напряжений в этой системе содержит только диагональные члены

                       

            Приведение квадратичной формы (10), записанной в произвольной ортогональной декартовой системе координат, к главным осям () осуществляется невырожденным линейным преобразованием. Величины  называются главными напряжениями, они находятся как корни уравнения

                       

Вещественность корней следует из симметричности тензора. Это уравнение эквивалентно следующему:

                                                                                                    (11)

Отсюда следует, что величины  не изменяются при замене осей координат. Таким образом, получаем три инварианта тензора напряжений: линейный , квадратичный , кубический . Их можно выразить через коэффициенты  или через корни уравнения (11):

                                                                                    (12)
            Тензор скоростей деформаций. Выберем малую частицу жидкости и точку , принадлежащую этой частице. Для любой точки , бесконечно близкой к , можно записать разложение Тейлора в линейном приближении

                                                                        (13)

Здесь - координаты точки  относительно точки , так что

                       

Введем в рассмотрение матрицу из девяти элементов

                       

            Тогда (13) можно переписать следующим образом:

                       

Полученное равенство не зависит от системы координат и в любой системе координат вектору  ставит в соответствие вектор . Это свойство равенства является необходимым и достаточным условием того, что входящая в него матрица  определяет тензор.

            Преобразуем разложение (13) так, чтобы привести его к виду

                                                                                                     (14)

В силу линейности (13) по  функция  должна быть квадратичной относительно переменных, и ее можно записать следующим образом:

                       

            Спроектируем (14) на оси координат:

                                                                      (15)

Сравнивая (15) с (13), находим коэффициенты квадратичной формы  и проекции векторов :

                                                                                                (16)

Эти величины определяются единственным образом. Разберем смысл формул (14). Предварительно отметим, что для абсолютно твердого тела имеем , где - скорость полюса  - вектор мгновенной угловой скорости, с которой твердое тело вращается относительно мгновенной оси, проходящей через . Из (14) следует, что скорость в некоторой точке сплошной среды складывается из скорости полюса , скорости  этой точки во вращательном движении затвердевшей частицы вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс , скорости деформации . Угловая скорость вращения частицы равна

                       

скорость деформации частицы

                       

На основании соотношений (16) тензор  можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров:

                                                                                                 (17)

            Симметричный тензор  определяет скорости деформации частицы и называется тензором скоростей деформации. С этим тензором связана симметрическая квадратичная форма . Как и в случае тензора напряжений, существуют главные координатные оси , в которых квадратичная форма принимает простейшую форму

                       

Переход от произвольной системы координат к главным осям осуществляется невырожденным линейным преобразованием. Главные скорости деформации  находятся как корни векового уравнения

                       

             Имеются три инварианта тензора скоростей деформации - линейный , квадратичный , кубический . В частности, для линейного инварианта имеем выражения

                                                                         (18)
            Связь тензоров напряжений и скоростей деформации. Ньютоновская жидкость. Тензоры  и  характеризуют напряжение и деформированное состояние в данной точке сплошной среды. Для конкретной среды должна быть определена связь между этими тензорами. В случае вязкой жидкости такая связь устанавливается законом Навье-Стокса.

            В основу модели вязкой жидкости положены следующие предположения:

1.    в жидкости наблюдаются только нормальные напряжения, если жидкость покоится или движется как твердое тело;

2.    жидкость изотропна - свойства ее одинаковы по всем направлениям;

3.    компоненты тензора напряжений есть линейные функции компонент тензора скоростей деформации.

            Наиболее общий вид связи между тензорами  и , удовлетворяющий этим условиям, есть

                                                                                                                    (19)

Здесь - единичный тензор,  и  - скалярные величины. Если движение отсутствует, отсюда получаем . Это означает, что в этом случае в жидкости действительно существуют только нормальные напряжения, одинаковые в силу изотропии жидкости. Так как вязкость проявляется лишь при движении, то естественно считать, что напряженное состояние в вязкой жидкости будет таким же, как в покоящейся идеальной жидкости, - на каждой площадке будет действовать по нормали к ней гидростатическое давление . Значение  выражается через первый инвариант тензора :

                       

Обобщая это соотношение, определим давление в движущейся вязкой жидкости соотношением

                       

            Равенство (19) означает, что будут равны также инварианты тензоров, стоящих в левой и правой частях. Приравниваем линейные инварианты этих тензоров, которые находим с помощью формул (12), (18):

                       

            Отсюда находим

                       

            Выразим теперь  через давление ,

                       

тогда из (19) получаем следующий закон для вязкой жидкости (М.Навье, 1843 г.; Г.Стокс, 1845 г.):

                                                                                  (20)

            Величина  называется коэффициентом динамической вязкости, а  - коэффициентом второй вязкости. Коэффициент динамической вязкости характеризует внутреннее трение слоев жидкости в их отдельном движении. Смысл этого коэффициента ясно виден на простейшем примере слоистого течения , , , в котором возникает сила трения

                       

Это выражение для силы трения было предложено Ньютоном. На этом основании формулу (20) называют обобщенным законом вязкости Ньютона, а жидкости, удовлетворяющие этому закону, называются ньютоновскими.

            Коэффициент  характеризует объемную вязкость, действие которой может проявляться только в сжимаемой жидкости.

            Коэффициенты ,  всегда положительны, они могут быть функциями температуры, либо постоянными для данной среды. Наряду с  используется коэффициент кинематической вязкости . Значения  заметно отличаются от нуля только в особых случаях. В рамках классической гидродинамики эффект второй вязкости обычно не учитывается. Введем обозначение , тогда из (20) получаем следующие уравнения модели вязкой жидкости, связывающие компоненты тензоров напряжений и скоростей деформации:

                                                                                                  (21)

Запишем эти уравнения в обычных обозначениях декартовых ортогональных координат:

                                                                                                                      (22)
            Уравнение Навье-Стокса. Если объединить уравнения движения сплошной среды

                                                                                                              (23)

с обобщенным законом Ньютона, иначе говоря, если подставить вместо тензора напряжений выражение его через тензор скоростей деформации, то получим уравнение движения, пригодное только для частного класса сред - вязких ньютоновских жидкостей. Получаемое при этом векторное уравнение называется уравнением Навье-Стокса (в скалярной форме - уравнениями Навье-Стокса).

            Запишем уравнения Навье-Стокса в декартовой ортогональной системе координат x, y, z. Выражения для компонент тензора напряжений дается формулами (22), выражающими обобщенный закон Ньютона в декартовой системе координат. Подставляя их в уравнение движения, получим

                                                              (24)

Если жидкость несжимаемая и  = const, то система (24) упрощается, и ее удобно записать в векторной форме

                                                                                                     (25)

Уравнения (24), (25) были выведены первоначально на основе представлений о молекулярной структуре среды и о межмолекулярных силах (М.Навье, 1827 г.; С.Д.Пуассон, 1831 г.) На основе феноменологических представлений о линейной связи между тензорами скоростей деформации и напряжений, обобщающих закон Ньютона, эти уравнения вывели Б.Сен-Венан в 1843 г. и Г.Г.Стокс в 1845 г.

            Воспользуемся теперь формулами обобщенного закона Ньютона (22) для того, чтобы исключить  из уравнения энергии:

                                                     (26)

Входящая в это равенство функция  называется диссипативной функцией. Очевидно,  при .

            Уравнение энергии переписывается в следующей эквивалентной форме:

                                                                             (27)
            Задача о стекании слоя вязкой жидкости по наклонной плоскости. Слой жидкости (толщины h) ограничен сверху свободной поверхностью, а снизу неподвижной плоскостью, наклоненной под углом  к горизонту. Определить движение жидкости, возникающие под влиянием поля тяжести.

Решение: Выберем неподвижную нижнюю плоскость в качестве плоскости xy, причем ось x выберем по направлению течения. Ось z перпендикулярна плоскости xy и дополняет систему координат до правой ортогональной. Ищется решение, зависящее только от координаты z. Уравнение Навье-Стокса с  при наличии гравитационного поля g имеет вид:

                       

На свободной поверхности ( z = h ) должны выполняться условия:

                       

где - атмосферное давление, а  - коэффициент динамической вязкости. При z = 0 должно быть ; удовлетворяющие этим условиям решение есть

                       

Количество жидкости, протекающие через поперечное сечение слоя на единицу длинны вдоль y равно