Задача 1

Условие

Решить симплекс-методом задачу, предварительно приведя её к каноническому виду:

  x₁ –  x₂ –  x₃ + 7x₄ → max

-x₁ + 2x₂ –  x₃ +  x₄ ≤  2

2x₁ +  x₂ +  x₃ – 2x₄ ≤ 12

2x₁ + 3x₂ + 4x₃ + 2x₄ ≤  6

x_j ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4

Решение

Общий вид задачи линейного программирования в канонической форме:

∑a_ij = b_i, i = 1, 2, …, n

x_j ≥ 0, j = 1, 2, …, n, n+1, n + m

∑p_jx_j → max

Экономико-математическая модель рассматриваемой задачи в канонической форме будет иметь вид:

-1x₁ + 2x₂ – 1x₃ + 1x₄ + 1x₅ + 0x₆ + 0x₇ =  2

 2x₁ + 1x₂ + 1x₃ - 2x₄ + 0x₅ + 1x₆ + 0x₇ = 12

 2x₁ + 3x₂ + 4x₃ + 2x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 1x₇ =  6

 x_j ≥ 0, j = 1, 2, …, 7

x₁ – x₂ – x₃ + 7x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ → max

Т.е. в ней линейная форма максимизируется, все ограничения являются равенствами, все переменные удовлетворяют условию неотрицательности.

Система уравнений имеет предпочитаемый вид: базисными переменными являются переменные Х₅, Х₆, Х₇, правые части  неотрицательны. Исходное опорное решение, дающее координаты исходной угловой точки, имеет вид Х = (0, 0, 0, 0, 2, 12, 6)^т.

Все остальные вычисления и действия удобно производит в табличной форме (табл. 1 – 3).

Решение задачи потребовало три итерации, каждой из которых соответствует симплекс-таблица.

В первую строку первой симплекс-таблицы занесены все данные первого уравнения, во вторую – второго и т.д.

В каждой из таблиц во втором столбце (Б_x) указаны базисные неизвестные. Неизвестные, не входящие в базис, равны нулю. Значения базисных неизвестных записаны в третьем столбце (X₀). Нижний элемент этого столбца является значением критерия оптимальности на данном шаге. В первом столбце (P_j) представлены коэффициенты при базисных неизвестных, взятые из критерия оптимальности. Каждый из столбцов X₁ – X₄ соответствует основным переменным задачи, а столбцов X₅ – X₇ – дополнительным переменным задачи. Последние элементы этих столбцов образуют нижнюю строку, содержащую элементы ∆_J. С их помощью определяется, достигнут ли оптимум, а если не достигнут, то какое небазисное неизвестное следует ввести в базис, чтобы улучшить план. Элементы последнего столбца (θ) позволяют найти то из прежних базисных неизвестных, которое следует вывести из базиса, чтобы улучшить план. Разрешающий элемент, расположенный на пересечении столбца, вводимого в базис неизвестного, и строки неизвестного, выводимого из базиса, выделен в каждой таблице.

Рассмотрим первую симплексную таблицу решения задачи.

План задачи находится в столбцах Б_х и Х₀.

Элементы столбцов Х₁ – Х₇ являются коэффициентами замещения неизвестных. Они показывают, в каком соотношении любые из неизвестных могут заменить базисные переменные в плане данного шага.

Элементы нижней строки столбцов Х₁ – Х₇ показывают размер уменьшения значения критерия оптимальности от замены базисных неизвестных Х_j.

Показатель Δ_j рассчитывается перемножением элемента первого столбца таблицы (P_j) на элемент столбца Х_j с последующим вычитанием соответствующего элемента P_j.

После нахождения L₀ и Δ_j, проверяется условий оптимальности (все Δ_j > 0) и неразрешимости (если найдется хотя бы один Δ_j < 0 такой, что все элементы соответствующего столбца отрицательны).

Наличие отрицательных Δ_j свидетельствует о том, что найденный план производства не является оптимальным, так как имеются возможности увеличения прибыли.

В качестве разрешающего столбца (неизвестной) может быть взят любой столбец, для которого оценочный коэффициент отрицательный. Однако за разрешающий столбец обычно принимают столбец, для которого отрицательный оценочный коэффициент принимает наименьшее значение.

Для определения неизвестного, которое необходимо вывести из базиса, используют показатели последнего столбца θ. Он получен путем деления элемента третьего столбца Х₀ на элемент столбца неизвестного, вводимого в базис следующего шага. Параметр θ показывает, какой ресурс нас лимитирует, поэтому из базиса выводится переменная, соответствующая наименьшему положительному значению θ.

Строка в новой таблице, соответствующая разрешающей, получается из разрешающей строки делением всех элементов на разрешающий элемент.

Столбцы, соответствующие базисным неизвестным, являются единичными, причем единица стоит на пересечении строки и столбца с одинаковыми переменными.

После заполнения новой таблицы (всякая новая таблица является новой по отношению к рассматриваемой) снова проверяется выполнение условий оптимальности и разрешимости задачи.

В третьей симплекс-таблице выполняется условие оптимальности. Решение задачи прекращается. Максимальное значение линейной формы: L_ОПТ = 18.

Ответ:  оптимальное решение х^* = (0.5; 0; 0; 2.5), т.е. х₁^* = 0.5, х₂^* = 0, х₃^* = 0, х₄^* = 2.5.

Таблица 1

Симплексная таблица первого плана задачи

Pi	Бx	X0	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	θ
0	X5	2	-1	2	-1	1	1	0	0	2
0	X6	12	2	1	1	-2	0	1	0	-
0	X7	6	2	3	4	2	0	0	1	3
	∆j	0	-1	1	1	-7	0	0	0

Таблица 2

Симплексная таблица второго плана задачи

Pi	Бx	X0	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	θ
7	X4	2	-1	2	-1	1	1	0	0	-
0	X6	18	4	4	5	0	0	1	1	4.5
0	X7	2	4	-1	6	0	-2	0	1	0.5
	∆j	14	-8	15	-6	0	7	0	0

Таблица 3

Симплексная таблица третьего плана задачи

Pi	Бx	X0	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7
7	X4	2.5	0	1.75	0.5	1	0.5	0	0.25
0	X6	4	0	1.25	-0.25	0	0.5	0.25	0
1	X1	0.5	1	-0.25	1.5	0	-0.5	0	0.25
	∆j	18	0	13	6	0	3	0	2