α и β это числа. Мы можем вектор  умножить на α, получим новый вектор,  умножить на β, получим новый вектор, взять их сумму (сумма двух матриц-столбцов опять будет матрица-столбец), на то что получится подействовать оператором , мы получим какой-то вектор. А можем сделать иначе: возьмём оператором  подействуем на вектор , получим вектор, умножим его на число α, потом оператором  подействуем на вектор , получим новый вектор, умножим его на число β и сложим. Если мы получим в результате то же, что и в предыдущем случае, то оператор  называется линейным.

1) Чтобы было понятно о чём речь. Я взял с потолка матрицу , она представляет оператор , после этого я эту матрицу изуродовал: взял её транспонировал и заменил каждый элемент комплексно сопряжённым к этому элементу. И оказалось, что так изуродованная матрица совпадает с исходной матрицей. Тогда мы получим тот же самый оператор (замечательный оператор, потому что в результате таких манипуляций не всякая матрица перейдёт в себя), который  называется эрмитовым или самосопряжённым.

2) Когда оператор  действует на какой-то вектор, он его переводит в другой вектор, но, если нам удалось подсунуть оператору  такой вектор , что при действии на него оператор  даёт тот же самый вектор, умноженный на число, то вот этот, конечно, чем-то замечательный вектор, называется собственным вектором.

3) Осознать надо о чём речь. В любой физической теории задать состояние это значит дать на столько полное описание объекта в рамках данной теории, чтоб дальше можно было ответить на все физически разумные вопросы относительно этого объёкта и предсказать, как это состояние будет эволюционировать. Например, как дать исчерпывающее описание летящей пули? Надо задать её положение и импульс, исходя из этого, можно узнать момент импульса, энергию, можно узнать, как это состояние будет дальше меняться, потому что есть Второй закон Ньютона для этого.  «Нет, - говорит квантовая теория, - ты мне задай некий вектор в абстрактном пространстве». Как задать? Дальше нам придётся разобраться, как это делать.

1) Это существенно. Физика ограничивается обсуждением лишь тех величин, которые подлежат измерению, поэтому все её утверждения можно проверить, а утверждения, которые принципиально нельзя проверить (в частности, это утверждения о величинах, которые нельзя измерить), все такие утверждения с точки зрения физики являются бессмысленными, не ошибочными, а бессмысленными. Действительно, это пустая болтовня, если высказывание нельзя проверить в принципе, то чего сотрясать воздух. В окружающем нас языке море высказываний, которые нас окружают на обычном житейском уровне, на самом деле 90% высказываний не проверяемы. Тогда, что же те, кто их произносит, валяют дурака? Нет, они преследуют другую цель, понятно какую – с помощью всех этих высказываний добиться от объекта, на который они направлены, определённого поведения. Физика это островок, где все высказывания осмысленны, проверяемы и прочее, а 90% речевых потоков одного персонажа на другой, они преследуют цель сделать из того, чего я хочу. И тут о высказываниях бессмысленно судить с точки зрения истинности – неистинности, это другая песня совершенно. Они должны судиться по другому критерию: достигают они цели или нет, короче говоря, успешно я навешал лапшу на уши ему или нет. Если, допустим, я вешал, вешал, а он не поддаётся, то да, я валял дурака, а если я добился нужного поведения, то я занимался разумной осмысленной деятельностью. Эти вещи полезно понимать, для того, например, чтобы не ввязываться в бессмысленные споры. Пытаясь оценивать все эти вещи с точки зрения истинности – ложности, справедливости – несправедливости, скорее сами поддаёмся.

1) Проблема какая? У нас летит пуля, а нам надо в абстрактном пространстве придумать вектор, который соответствует вот этой конкретной пуле. Как вообще задать вектор в обычном пространстве? Вот вектор – стрелка, я представляю, как сообщить по телефону, что вот у меня тут вектор передо мной. Вектор задаётся в нормальном пространстве тройкой чисел, где взять три числа? Если у нас есть базисные векторы, то любой вектор задаётся тремя числами. Как задать базис, как сообщить по телефону базис? На базис можно лишь указать пальцем, вот в реальном пространстве мы должны выбрать три вектора, тогда любой другой задаётся, можно и по телефону передать базис. Можно сказать: «Возьми камушек, подвесь на нитке, тогда вектор, идущий из камушка вдоль нитки, это будет вектор , потом возьми компас, и единичный вектор в направлении синего конца стрелки это будет вектор ,  а потом построй вектор перпендикулярно по правилу правого винта это будет вектор ».  После этого сообщаете три числа, и он там у себя слепил вектор, который вы видите перед собой. В абстрактном пространстве нет отвесов, нет компасов, нет ничего. Как там задать базис? Есть способ. В качестве базиса мы можем выбрать собственные векторы какого-либо оператора.

1)  действует, и получается «ку-ку».

2) Когда символ q сидит под скобками – это просто метка, а q перед вектором  – это число, то есть векторы  помечены собственными значениями.

3) Действуем оператором  на некоторый вектор, мы получим какой-то вектор, на этот вектор действуем оператором , мы получим новый вектор. Оказывается, можно подобрать такой оператор, который подействует на исходный вектор и даст то же, что дают два оператора  и .

4) В житейском плане: оператор  – одеть пиджак, оператор  – одеть пальто, понятно, что эти операторы не коммутируют, а оператор  – одеть шапку, оператор  – одеть ботинки, они коммутируют, понятно, результат один и тот же, в какой последовательности ни выполняй.

1) Единичный оператор – это такой оператор, который любой вектор переводит в себя: .

2) Так следует из этой теории, а что касается физики, то действительно нет никаких указаний на то, что координаты квантуются. Хотя идеи о том, что пространство и время могут квантоваться, были и, может быть, ещё остаются, но пока никаких указаний на это нет. Вполне могло бы быть, что пространство ячеистое, но ещё раз повторяю пока в казённой теории координаты не квантуются, и, в общем-то, нет особой потребности в модификации этой теории.

1) Мы сейчас пролезли в это абстрактное пространство, где живут векторы и операторы. Мы изобразили вектор для определённого физического состояния: изготовили частицу с импульсом  и энергией E, и мы для неё нарисовали вектор в абстрактном пространстве.

2) А теперь мы думаем, что получится, когда оператором  действуем на вектор . Дело в том, что  – это собственные векторы оператора , и при его действии получится тот же самый вектор, но выскочит собственное значение: .

3) Здесь не так просто: мы не знаем, как действует оператор  на вектор . Но можно показать из того, что , верно следующее равенство.

1) Конечно, вопрос сразу может возникнуть, как понимать функцию от оператора? В конце концов, всякая функция выражается степенными рядами, например , а оператор при действии на вектор  даст: , короче, алгебраические действия над операторами известны.

1) Проверка: , , подставляя это в уравнение, мы получим, что .

1) Кстати, ответ на этот вопрос вы уже можете знать только на основании того, что мы уже здесь обсуждали (вот, если вы удерживаете в голове всю цепочку, то ответ можно дать). У нас было коммутационное соотношение , из этого математического факта следовало, что координата не квантуется, ну и импульс, надо ожидать, не будет квантоваться, потому что буквы  и  равноправны.

¹) Что даст скалярное произведение собственного вектора оператора координаты с собственным вектором оператора импульса?

 

Тогда другой вопрос: скалярное произведение двух собственных векторов оператора импульса. Ответ, он ясен заранее, если это разные векторы, то их скалярное произведение должно равняться нулю (собственные векторы ортогональны), посмотрим, как это сработает. Сначала , вектор сопряжённый  (кстати, нельзя сказать, чему равен этот вектор, это просто разложение по координате). Тогда мы имеем:  , а теперь факт математический: , и , где . Мораль какая? Если  не совпадает с , то скалярное произведение , они ортогональны. При этом мы убили ещё одного зайца – мы нашли нормировочную константу C. Итак, .

1) Это интересное чисто математическое следствие, но у нас нет времени, и я просто приведу результат.

1) Наглядно предметы, показывающие магнитный момент – стрелка компаса. Почему стрелка компаса показывает на север? Потому что магнитный момент ориентируется вдоль силовой линии. Если мы имеем магнит с такими силовыми линиями, то магнитный момент (стрелка компаса) ориентируется вдоль силовой линии, и на неё будет действовать сила , втягивающая её в область с большей индукцией.

2) Ось z задаёт направление поля, а , потому что поле неоднородно. Эта сила будет тем больше, чем больше проекция магнитного момента на направление поля.

1) Если представить себе, что энергетическая яма это дом, который мы заселяем фермионами, то каждый фермион занимает одну квартиру и никого туда уже не пускает, бозоны же наоборот – заходит бозон в квартиру, а там уже живут другие бозоны, они ему: “О, друг! Заходи к нам…”.

1) Для частицы в ящике мы требовали, чтобы волновая функция обращалась в ноль вне ящика, т.е. стенки ящика были непроницаемы. Это действительно соответствовало сути дела, но удобнее, однако, оперировать функциями такого вида, но тогда меняются граничные условия. Вместо того, чтобы функция занулялась на стенках ящика, накладывается условие периодичности: волновая функция на противоположных гранях принимает одно и то же значение. Может показаться, что это условие слишком надумано, потому что, когда волновая функция зануляется на стенках, это физике соответствует, а условие периодичности никакой физике не соответствует, но оно удобно математически. Такую смену граничных условий физика терпит. Объём растёт как куб линейных размеров, а поверхность растёт как квадрат линейных размеров, поэтому, чем больше объём, тем меньше вклад поверхности в свойства начинки этого объёма. Например, мы рассматривали частицу в кубическом ящике, а если она не в кубическом ящике, а в чайнике с носиком и пр. Математически невозможно задать граничное условие зануления на такой сложной поверхности, счастье в том, повторяю, что результат не зависит ни от вида поверхности, ни от точного вида граничных условий, именно потому, что вклад граничных условий для начинки достаточно больших объёмов не существен. Поэтому мы можем делать граничные условия так, как нам удобно, а удобно делать так.

1) Доказывать это я не буду, приведу только одномерный вариант этого дела.

Если , т.е. если функция f периодическая с периодом a, то .