Исследовать на наибольшее и наименьшее значение по заданному отрезку.

Решение:

Рассмотрим фун-ю у=…. и исследуем ее на промеж при хэ[..;..] на наиб, наимень значения.

1)Д(у)=…

2)Найдем производ фун-и у^’=…

3)Д(у^’)=….

4)Найдем критич точки у^’=0, ……=0

х_1=…;х₂=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю. Эти точки принадлежат (или нет) нашему промеж […;…].

х₁э
[…;…]; x₂
э
[…;…].

Найдем значения в кртич точках и на концах отрезка: f(…)=…;f(x₁)=…;f(x₂)=…;f(…)=…

Наиболь знач фун-я принимает при х=…,а наимень при х=…

Max_[…;…] f(x)=……;min_[...;…] f(x)=….

Ответ
: наиб знач фун-я принимает при х=..,а наимень при х=…

Найти область определения фун-и.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f) (т.к. многочлен)

2)Найдем нули функции: f(x)=0, …..=0

х₁=…;х₂=…-эти точки разбив числовую прямую на промеж в каждом из которых фун-я сохран свой знак в силу непрерывности.

        ₊         х_{1                    -}                   х_{2           +}

На промеж (-беск;х₁):f(x)=…>0 и т.д.

Т.к. функция приним все знач больше или равно нулю,то Д(f
)=(-беск
;
х₁)
$(x₂;
+беск).

Ответ
:
Д(f)=(-беск;х₁)$(x₂;+беск).

Исследовать на монотонность.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f)=…..

2)Находим производ f^’(x)=….

3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: f’(x)=0, ……=0

х_1=…;х₂=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.

     +    x₁           -           x₂  +              

На промеж (-беск;х₁):f(x)=…>0 и т.д.

4)Т.к. в точках x₁=_..,  x₂=..фун-я определена, то она возростает на промежетке (-беск; x₁]$                [x₂;+беск)и убывает на промеж [x₁ ;х₂].

Ответ
: возростает на промежетке (-беск; x₁]$                [x₂;+беск) и убывает на промеж [x₁ ;х₂].

Исследовать на экстремум.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f)=…..

2)Находим производ f^’(x)=….

3)Приравниваем произв к нулю находим критич точки: f’(x)=0, ……=0

х₁=_…;х₂=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.

     -   x₁           +          x₂    -             

На промеж (-беск;х₁):f(x)=…>0 и т.д.

4)В точке х₁=_…производ сменила знак с минуса на плюс,значит эта точка минимума. В точке х₂=…производная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.

Х_min=х₁,У_min(х₁)=…; Х_max=х₂,У_max(х₂)=…

Ответ
: Х_min=х₁,У_min(х₁)=…-минимум фун-и; Х_max=х₂,У_max(х₂)=…-максимум фун-и.

Исследовать фун-ю и построить график.

Решение:

Рассмотрим фун-ю f(x)=…

1)Д (f)=…..

2) f(x)-нечетная (четная, ни нечетная), так как                                                                     f(-x)=…=-f(x)

3)Точки пересечения с осями.ОУ:х=0,у=…(х;у)

    ОХ: у=0,х=…(х;у)

4)Находим производ f^’(x)=….

5)Приравниваем производ к нулю и

находим критич точки: f’(x)=0, ……=0

х₁=_…;х₂=…-критич точки т.к. эти точки яв-ся внутр точками области опред-я, в которых произв равна нулю.

Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых производная сохр свой знак в силу непрерывности.
Х      (-беск;x₁)   x₁ (х₁;х₂)    x₂     (x₂;+беск)




f”(x)        -           0       +        0           -




f(x)                      …              …

                           min             max                       

f(x₁)=…; f(x₂)=….

На промеж (-беск;х₁):f(x)=…<0 и т.д.

6) В точке х₁=_…производ сменила знак с минуса на плюс, значит эта точка минимума. В точке х₂=…производная сменила знак с плюса на минус, значит эта точка максимума.

7) Т.к. в точках x₁=_..,  x₂=..фун-я определена, то она возростает на промежетке (x₁;x₂) и убывает на промеж (-беск;х₁)$(x₂;+беск).

СТРОИШЬ ГРАФИК

Ответ: все полученные значения.

Решить методом интервалов.

Решите нер-во: …><0

Решение:

1)Рассмотрим функцию и решим ее методом интервалов ...><0.

2)Д(у)=…и ОДЗ

3)Находим нули фун-и f(x)=0, …..=0

x₁=…,x₂=…-эти точки разбивают числовую прямую на промежутки в каждом из которых фун-я сохраняет свой знак в силу непрерывности.

       +    x₁           -           x₂  +              

4)f(..)=...>0;

   f(..)=…<0; f(..)=…>0;

Т.к. фун-я принимает неотриц-е (неполож.) значения на промеж. (-бескон;…),(…,+бескон), то решением нерав-ва будет их объед-е.

Ответ:(-..;…)$(…;+…).

Составить ур-е касат-й в точке х₀=..Найдите коор-ты всех точек граф. этой фун-и параль-но найденной касатель.

Решение:

у=f^”(x₀)(x-x₀)+f(x₀)-общий вид ур-я касатель.

Рассмотрим фун-ю f(х)=…

1)Д(f)=…..

2)Найдем произв. фун-ии f(х)=…

    f^’(х)=….

3)Д(f^’)=….

4)f^’(x₀)=…;f(x₀)=…След-но ур-е касатель имеет вид: y=f^”(x₀)(x-x₀)+f(x₀)

Производная фун-и  в точке х₀=.., есть угловой коэф-т касатель провед к граф фун-и в точке (х₀;f(x₀)) т.к. надо найти парал-е касатель, значит угловые коэф-ты долны быть одинаковыми(т.е. равны).

 Дополнительно: у=f^’(x₀)(x-x₀)+f(x₀) и у=кх+в

Ответ
:у=ур-е касатель   (х₀;f(x₀))