Реферат

Реферат Шпора по математическому анализу

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 8.3.2025





13. Линейные неоднородные диф ур-я n-
го порядка с правой частью квазимногочлена.


1)Квазимногочлены и их свойства

2)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае

3)Правило нахождения частного решения в резонансном случае
1:)Квазимногочлены и их свойства

Рассмотрим ЛОДУ n-го порядка. y(n)+a1y(n-1)+...+any=f(x) (1); aiÎC "i=1,...,n. f(x)-квазимногочлен. Чтобы найти решение (1) н-но решить y(n)+a1y(n-1)+...+any=0 (2). М-но искать по методу Лагранжа: f(x)=em[1]xp1(x)+em[2]xp2(x)+...+em[k]xpk(x) (3)квазимногочлен; m1,...,mkÎC; p1(x),...,pk(x) – мн-ны с компл коэф. Примером квазимногочленов являются показательные функции: eix=cos(x)+i*sin(x). sin и cos также квазим-ны: cos(x)=(eix+e-ix)/2;sin(x)=(eix-e-ix)/2i. Квазимн-ны м-но складывать, умножать, вычитать, но !не делить! Результат деления будет функцией, но не квазимногочленом. Производная от квазимн-на будет квазимногочленом. Если рассматривать хар корни, соотв (2) и выпис их кратности k1,...,ks; y=el[1]xp1(x)+el[2]xp2(x)+...+el[s]xps(x) (4). Общ реш (2) – квазимн-н. deg(pj(x))=kj.

Опр: Если в (3) m1,...,mk попарноразличны, то их число наз-ся порядком квазимн-на.

Теорема: ф-и вида el[j]x, j=1,...,s; r=0,1,...,kj-1 образует фунд сист реш-ий.

Д-во: Пустьу (3), m1,...,mn – попарно-различны(k-порядок многочлена). Тогда f(x)º0 <=> pj(x)=0, "j=1..k (5). Проведём доказательство ММИ:

1)k=1;f(x)=em[1]xp1(x)º0

2)Пусть многочлен вида (3)=0. Разделим (3) на em[k]x: e(m[1]-m[k])xp1(x)+e(m[2]-m[k])xp2(x)+...+pk=0. Пусть rk-степень многочлена. Если продифференцировать многочлен rk-раз, то ничего не останется. Pr[k]+1((j=1..k-1)åe(m[j]-m[k])xpj(x)+pk(x))=0. Можно примеить формулу смещения: (j=1..k-1)åe(m[j]-m[k])xpj(x)*(p+mj-mk)r[k+1]=0. Получили квазимн-н порядка k-1. e(m[1]-m[k])xg1(x)+...+e(m[k-1]-m[k])xgk-1(x)º0; gj(x)ºpj(x)*(p-mj-mk)r[k+1]; j=1..k-1 => gj(x)º0. Если при p=0 получ 0, то дифференциальный оператор сохраняет степень многочлена. pj(x)º0, j=1..k-1;=> (5) – д-но

Тхеоремена доказякана
2:)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае

Пусть L(m)¹0. (7). Этот случай называется нерезонансным. Частное решение ур-я (1) запис в след виде: y=emxg(x). deg(g)=deg(p) (8). Теория утверждает, что эта система всегда имеет единственное решение => коэффициенты g(x) определяются однозначно.

Д-во: L(p)y=emxp(x). Учитывая (8), получаем: L(p){emxg(x)}=emxp(x). Применим к лев части ф-лу смещения: emxL(p+m)g(x)=emxp(x). L(p+m)g(x)=p(x). L(m)¹0
3
:
)Правило нахождения частного решения в резонансном случае
.


Мы решаем (1) c правой частью вида (6), но снимая ограничения (7). Этот случай наз-ся резонансным. L(m)=0 (9). k-кратность m, как корня хар ур-я. y=emxxkg(x) (10). Deg(g)=Deg(p). (10) частное решение. Теория утверждает, что нахождение g(x) имеет единственное решение.

Д-во: L(p)y=emxp(x); L(p){emxxkg(x)}=emxp(x). Применим ф-лу смещения: emxL(p+m){xkg(x)}=emxp(x); L(p+m){xkg(x)}=p(x). Нужно найти g(x), удовл последн ур-ю. Т.к. m-корень хар ур-я, то м-но записать в след виде: L(p)=M(p)*(p-m)k; m- корень, кратности k. M(m)¹0. M(p+m)pk{xkg(x)}=p(x). N(p)ºM(p+m). N(p)pk{xkg(x)}=p(x). Пусть pk{xkg(x)}=h(x). Получ: N(p)h(x)=p(x). h - $ и однозначно находится по p(x). Проверим, что N(0)=M(m)¹0. Н-но по h(x) найти g(x). pk{xkg(x)}=h(x). g(x)=(j=0..n)ågjxj; h(x)=(j=0..r)åhjxj; (j=0..r)ågjxj+k=(j=0..r)ågj(k+j)...(j+1)xj=(j=0..r)åhjxj; gj=hj/(k+j)*...*(j+1); j=0..r.

Утв: M(p)=b0pm+b1pm-1+...+bm; bm¹0.

Д-во: "p(x) – вып-ся: M(p){g(x)}=p(x) (12). Уравнение имеет единственное решение, deg(g)=deg(p). Усл bm¹0óM(0)¹0; prxr+...=p(x);grxr+...=g(x). M(p){g(x)}=grM(p)xr+...=grbmxr+...=prxr. Т.о. g­=pr/bm.




10.
Линейные неодн ДУ
n-
го порядка с перем коэф.


1)Теорема $я и ед-ти решения нач задачи

2)Теорема об общем решении

3)Метод Лагранжа вариации произв пост

4)Ф-я Коши и её св-ва
1:)Теорема
$
я и ед-ти решения нач задачи


y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=f(x) a<x<b (1) – общий вид

a1(x),...,an(x) – коэф ур-я (непр на (а;в)). f(x) – непр на (а;в) – своб член.

f(x)¹0(тождественно). y(x0)=y0;y’(x0)=y0’;...;y(n-1)(x0)=y0(n-1) (2) x0Î(a;b). y0;y0’;...;y0(n-1)-заданные числа. Задача нахождения решения (1) удовл усл (2) наз начальной задачей, а (2) – начальным условием. Условий ровно столько, каков порядок уравнения. Выпишем однородное уравнение, соотв ур-ю (1):y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=0 (3). Межу (1) и (3) $ет простая связь: 1)если y(x) решение (1), а U(x) – решение соотв (3), то их å явл реш-ем (1); 2)если y(x) и z(x) – оба решения (1), тогда y(x)-z(x) – решение (3).

Д-во:

 y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=f(x); y(x) – решение уравнения (1); u(n)+a1(x)u(n-1)+...+an(x)u=0. U(x) – решение (3). Покаж, что (y(x)+U(x))(n)+a1(x)(u(x)+y(x))(n-1)+...+an(x)(u+y)=f(x)

y(n)+u(n)+...+an(x)y+an(x)u(x)=f(x)+0=f(x).

ч.т.д.
Теорема: if коэф (1) – непрерывны, то решение с нач зад (1) – (2) всегда $ют, единственны, и можно считать опр на всём (a;b). Эту теорему называют нелокольной теоремой $ и единств реш нач зад.

Связь между ур-ми
n-
го порядка и системой из
n
-уравнений 1-го порядка:
возьмём уравнение 2-го порядка с непр коэф: y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x). y1(x)=y(x);y2(x)=y’(x); y1’(x)=y’(x)=y2(x); y2’(x)=y’’(x)=f(x)-p(x)y(x)-q(x)y=f(x)-p(x)y2(x)-q(x)y1(x).

C
истема:


y1’=y2;

y2’=-q(x)y1-p(x)y2+f(x)
2)Теорема об общем решении


Пусть y1(x),...,yn(x)  (4) фунд сист решений однор ур-я (3), а z(x) – какое – либо частное решение неодн ур-я (1) имеет след вид: y=c1y1(x)+...+cnyn(x)+z(x) (5), где с1,...,cn – произв пост.

Д-во: Докажем, что (5) всегда даёт решение (1) при "c1,...,cn. Вся первая часть (5) – решение (3). Добавл к нему частн реш z(x), получ реш неодн (1). Покаж, что " решение неодн ур-я (1) м.б. записано в виде (5) при нек пост c1,...,cn.

If y(x) – частн решение (1), то y(x)–z(x) – решение однор ур-я (3). По теореме об общем решении в (3) мы можем указать такие c1,...,cn – что y(x)–z(x)=c1y1(x)+...+cnyn(x). Перенося z – вправо, получ (5). Теорема доказана.

Общее решение однородного уравнения есть å общ решения соотв однор ур-я, и какого – либо частн решениия неодн ур-я.
3
:
)Метод Лагранжа вариации произв пост



Лагранж предложил искать частные решения в виде (5) без z(x), только константы считать ф-ми: y=c1(xz)y1(x)+…+cn(x)yn(x) (6). Если c1,….,cn выбирать так, чтобы вып-сь след усл:

Система
:
(
7)


с1’(x)y(x)+…+cn’(x)yn(x)=0;

……

c1’(x)y(n-2)(x)+…+cn’(x)y(n-2)n(x)=0

c1’(x)y(n-1)(x)+…+cn’(x)y(n-1)n(x)=f(x)
if c1(x),..,cn(x) – удовл усл (7), то (6) даёт решение (1).

Д-во: В этой системе неизв явл c1’,…,cn’

Матрицей (7) явл W(x)<>0(сост матр из игриков) => это система имеет единственное решение. Проверим, что (6) при вып (7) даёт решение (1).

Система:

y(x)=c1(x)y1(x)+…+cn(x)yn(x);

y’(x)=c1(x)y1’(x)+…+cn(x)yn’(x)

….

y(n-1)(x)=c1(x)y1(n-1)(x)+…+cn(x)y(n-2)n(x)

y(n)(x)=f(x)+c1(x)y1(n)(x)+…+cn(x)y(n)n(x)

 

Умножим соответственно на an(x),…,a1(x),1 и сложим: Введём обозначение: (9) L{y(x)}ºy(n)(x)+a1(x)y(n-1)+…+an(x)y(x) – лин диффер оператор

L{y(x)}(=)f(x)+c1(x)L{y1(x)}+…+cn(x)L{yn(x)}, т.к. y1(x),…,yn(x) – обр фунд систему, то (=)f(x) (10)~(1)
4
:
)Ф-я Коши и её св-ва



Решим систему (7) по правилу Крамера.
ci(x)=(Wi(x)/W(x))f(x) (11), i=1..n; Wiалгебрарическое дополнение к эл-ту n-ой строки стоящ в i-м столбце. ci(x)= ci+­(x0..x)ò(Wi(s)/W(s))f(s)ds, i=1,…,n (12). Подставим в (6):

y=(i=1..n)åciyi(x)+(i=1..n)å((x0..x)ò(Wi(s)/W(s))f(s)ds)yi(x)=(i=1..n)åciyi(x)+(x0..x)ò(i=1..n)å(Wi(s)/W(s)f(s))y(x)ds) (13)

K(x)=(i=1..n)å(y(x)Wi(s))/W(s) (14); x,s'(a;b)

y=(i=1..n)åciyi(x)+(x0..x)òK(x,s)f(s)ds (15) – интегральный оператор


Лекция №7


1.Определение
x
решения.

Предп. что рассматр. нач. задача вида (1)-(2)  у¢=f(x,у)(1)  у(х­) =у0(2)   f(x,у) – непр. по совокупн. решенных предполог., что f(x,у) рассматр. на прямоугольнике D={(х,у): |х-х0|<=а , |у-уо|<=б}  $M=maх|f(x,у)| удовл. условию Лишица по второй переменной | f(x,у) –f(x,z) |<=L|y-z| (4). При вып. всех этих предпол. нач. зад. (1)-(2) имеет единств. реш-е опр. на отр-ке | х-х0|<=h; h=min{а,б/ М } (5)  П. у(х)- кусочно диф-ма фун-я и удовл. след. н-ву: | у¢(х)-f(x,у(х)) | <=∆ f(x) (6) у(х0)=у0 (7)

Кусочная диф-мость ф-ции означает, что весь пром-к, на котор. ф-я опред. можно разбить на части в котор. ф-я  диф-ма в точках разбиения $ одностор производные. |у¢+ --f(x,у(х))|<=∆ f(x) 

если известно что, ∆ f(x) <=x, то у(х) наз. x решением.

Введем в рассмотрен еще одну ф-ю Z(x) по правилам: |Z¢(x)-g(x,z(x))|<=g(x) (8)

Z(x0)=Z0 (9) Предп. что g(x) непр. в прямоуг. D и кусочно диф-ма предполаг. далее, что | f(x,у)-g(x,y)|<=d (10)

Возн. задача: |у(х)-z(x)|<=? Запишем мн-во (6) иначе: у¢(х)= f(x,у(х))+a(х), где |a(x)<= f(x)| В этом случ. у- есть реш-е диф. ур-я. a(х)- кусочно диф-ая ф-я (и кусочно непр.) Для Z(x) м-нo зап-ть анал. рав-ва Z¢(x)=g(x,z(x))+b(x), |b(x)|<=g(x)

В этом случае. z- реш. диф. ур-я b(х)- кус. непр. и диф-ма.

Проинтегр. рав-ва у¢(х) и для z¢(х) у(х)=y0+(x0,x)∫{f(s,y(s))+a(s)}ds (11)

z(x)=z0+(x0,x)∫{g(s,z(s))+b(s)}ds (12)

вычтем. почленно из (11)-(12) и оценим разницу по иодулю:

у(х)-z(x)=y0-z0+(x0,x)∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+a(s)+b(s)}ds (13)

|y(x)-z(x)|<=|y0-z0|+|∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+a(s)+b(s)}ds|<=|y0-z0|+(x0,x){|f(s,y(s))-g(s,z(s))|+|a(s)-b(s)|ds

|f(s,y(s))-f(s,(z(s))|<=L|y(s)-z(s)| (14)

|f(s,z(s))-g(s,z(s))|<=d

|y(x)-z(x)|<=|y0-z0|+(x0,x)∫L|y(s)-z(s)|+d+a+b}ds

|a(x)<=a; |b(x)|<=b

П. |y(x)-z(x)|=u(x).Еогда посднее н-во м-но зап-ть в след. виде U(x)<=U(x0)+(x0,x)∫LU(s)+d+a+b}ds (15)

Пользуясь леммой о лин. инт. нер-ах м-но вып-ть оценку ф-ции U(x) если ф-ции у(х) и z(x) это точные реш-я, то a,b,d =0

|y(x)-z(x)|<=L|x-x0|; |y0-z0|+((a+b+d)/L)(eL|x-x0|-1)
2 Th
единственности и оценка разности решений



|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|, y0=z0 (17)

y(x)≡ z(x)

Прич. если нач. усл. совп. то совп. и сами ф-ции.
3

Зависимость от правой части



если у(х) и z(x) это точное реш-е но разных задач, то в этом случае a=b=0, d>0 и м-но оценить разницу между у(х) и z(x)

|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|+(d/L)( eL|x-x0|-1) (18)

Н-во (18) зад. зависимость от прав. частей.

4 Оценка разности между x решениями


Если y(x) и z(x) это соотв. a и b реш-я нач. задачи (1)-(2) , то это знач. что гач. усл. совпадают у0=z0, d=0, И оценка разности решний приобретает такой вид:

|y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|+(d/L)( eL|x-x0|-1)=((a+ b)/L)( eL|x-x0|-1) (19)

если у(х) это точн. реш-е при этом a=0 и п. z(x) это  x реш-е |y(x)-z(x)|<= (x/L)( eL|x-x0|-1) (20)

5 Метод ломаных Эйлера


Метод ломаных- это метод численного интегрир. нач-ой задачи. Для этого весь пр-к  опред-я ф-ии по х разб. на части х0 <х1<…<xn (21) Это разб. наз. сеткой, а x0…xnузлами сетки. Задача закл. в опр-ии значении реш-я ф-ции y(xi)=yi

Разбиение обычно опр-ся равно-мерно: xi+1-xi=h, h=(xn-x0)/n

Идея метода Эйлера состоит в след. :

(y(xi+1)-y(xi))/(xi+1-xi)»y¢(x)= f(x,у(xi))  

(y(xi+1)-y(xi))/(xi+1-xi) = f(x,у(xi)) (22)

Тогда значение кажд. след. точки можно переписать через значение пред. точки :

y(xi+1)=y(xi)+f(xi,y(xi))(xi+1-xi) – условие Эйлера

y(x0)=y0   ;    y(x1)=y(x0)+f(x0,y­­(x0))(x1-x0)

 y(xn)=y(xn-1)+f(xn-1,y­­(xn-1))(xn-xn-1)

Если имеет место равн. разб. отр-ка то послдняя формула имеет вид: yi+1=yi+hf(xi,yr)  (24) r=0,1…., n-1

Сеточные ф-ии ставят в соответств. нек. ломанную, это кусочно непр. ф-я

yr(x)=yr+(x-xi)f(xii), xi<=x<=xi+1 (25)

И спр-во утв-е :  если x>0 то в силу непр. ф-ции f(x,у) :

|f(x,у)- f(x,z)|<=x если |x-s|<=d, |y-z|<=d,   $

d
(x)>0 (непр. по совок. переменных) M=maх|f(x,у)|

Д-во

Из (25) вытекает |y¢x(x)-f(x,уx(x))| =|f(xii)-f(xii)+(x-xi)f(xii))|<=x (26)

|x-xi|<=d;  |x-xi||f(xii)|<=dM

При достаточно малом  шаге  ломаная Эйлера становится x решением

6 Оценка погрешности метода ломаных Эйлера


Предп. что f(x,у) удовл. усл. Лищица по кажд. переменной

т.е. разница : |f(x,у) –f(s,z)|<=k|x-s|+L|y-z|  (27)

Вэтом случае |y¢x(x)-f(x,уx(x))|=|f(xi,yi)-f(x,yi+(x-xi)f(xii)|<=

( в кач-ве у(х) выбир. отн. Эйлера )

<= k|x-xi|+|x-xi|LM<=(k+ma)ºx (28)

Восп. соотн. (20)

Пусть сетка будет равномерной

|y(x)-yx(x)|<=(((k+ML)d)/h)(eL|x-x0|-1) (29)

|y(x)-yx(x)|<= h(M+k/h)(eL|x-x0|-1) (30)

Оценка (30) наз-ся оценкой первого пор-ка точности. Задаваясь опред. точностью и зная числа k,M,L можно определить h таким обр. чтобы посл. произв. было <x. Тогда соотв. и разн. между ф-ей

|y(x)-yx(x)|<x (32)





1. Реферат Абсолютные и относительные адресации
2. Курсовая Платежный баланс страны и методы его регулирования 2
3. Реферат на тему EFFECT_O_N_CONT_THEATER_Essay_Research
4. Диплом Формирование физических качеств старших дошкольников через подвижные игры
5. Реферат на тему Представление данных судебной статистики
6. Реферат на тему Green Sea Turtle Essay Research Paper Green
7. Реферат Развитие туризма в Японии
8. Реферат на тему Are Some Predestined To Be Damned Essay
9. Реферат Патогенетичне обрунтування комплексного фізіотерапевтичного лікування порушень еякуляції при син
10. Реферат Республика - понятие, виды