Реферат Шпора по математическому анализу
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
| 13. Линейные неоднородные диф ур-я n- го порядка с правой частью квазимногочлена. 1)Квазимногочлены и их свойства 2)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае 3)Правило нахождения частного решения в резонансном случае 1:)Квазимногочлены и их свойства Рассмотрим ЛОДУ n-го порядка. y(n)+a1y(n-1)+...+any=f(x) (1); aiÎC "i=1,...,n. f(x)-квазимногочлен. Чтобы найти решение (1) н-но решить y(n)+a1y(n-1)+...+any=0 (2). М-но искать по методу Лагранжа: f(x)=em[1]xp1(x)+em[2]xp2(x)+...+em[k]xpk(x) (3) – квазимногочлен; m1,...,mkÎC; p1(x),...,pk(x) – мн-ны с компл коэф. Примером квазимногочленов являются показательные функции: eix=cos(x)+i*sin(x). sin и cos также квазим-ны: cos(x)=(eix+e-ix)/2;sin(x)=(eix-e-ix)/2i. Квазимн-ны м-но складывать, умножать, вычитать, но !не делить! Результат деления будет функцией, но не квазимногочленом. Производная от квазимн-на будет квазимногочленом. Если рассматривать хар корни, соотв (2) и выпис их кратности k1,...,ks; y=el[1]xp1(x)+el[2]xp2(x)+...+el[s]xps(x) (4). Общ реш (2) – квазимн-н. deg(pj(x))=kj. Опр: Если в (3) m1,...,mk попарноразличны, то их число наз-ся порядком квазимн-на. Теорема: ф-и вида el[j]x, j=1,...,s; r=0,1,...,kj-1 образует фунд сист реш-ий. Д-во: Пустьу (3), m1,...,mn – попарно-различны(k-порядок многочлена). Тогда f(x)º0 <=> pj(x)=0, "j=1..k (5). Проведём доказательство ММИ: 1)k=1;f(x)=em[1]xp1(x)º0 2)Пусть многочлен вида (3)=0. Разделим (3) на em[k]x: e(m[1]-m[k])xp1(x)+e(m[2]-m[k])xp2(x)+...+pk=0. Пусть rk-степень многочлена. Если продифференцировать многочлен rk-раз, то ничего не останется. Pr[k]+1((j=1..k-1)åe(m[j]-m[k])xpj(x)+pk(x))=0. Можно примеить формулу смещения: (j=1..k-1)åe(m[j]-m[k])xpj(x)*(p+mj-mk)r[k+1]=0. Получили квазимн-н порядка k-1. e(m[1]-m[k])xg1(x)+...+e(m[k-1]-m[k])xgk-1(x)º0; gj(x)ºpj(x)*(p-mj-mk)r[k+1]; j=1..k-1 => gj(x)º0. Если при p=0 получ 0, то дифференциальный оператор сохраняет степень многочлена. pj(x)º0, j=1..k-1;=> (5) – д-но Тхеоремена доказякана 2:)Правило нахождения частного решения в нерезонансном случае Пусть L(m)¹0. (7). Этот случай называется нерезонансным. Частное решение ур-я (1) запис в след виде: y=emxg(x). deg(g)=deg(p) (8). Теория утверждает, что эта система всегда имеет единственное решение => коэффициенты g(x) определяются однозначно. Д-во: L(p)y=emxp(x). Учитывая (8), получаем: L(p){emxg(x)}=emxp(x). Применим к лев части ф-лу смещения: emxL(p+m)g(x)=emxp(x). L(p+m)g(x)=p(x). L(m)¹0 3 : )Правило нахождения частного решения в резонансном случае . Мы решаем (1) c правой частью вида (6), но снимая ограничения (7). Этот случай наз-ся резонансным. L(m)=0 (9). k-кратность m, как корня хар ур-я. y=emxxkg(x) (10). Deg(g)=Deg(p). (10) частное решение. Теория утверждает, что нахождение g(x) имеет единственное решение. Д-во: L(p)y=emxp(x); L(p){emxxkg(x)}=emxp(x). Применим ф-лу смещения: emxL(p+m){xkg(x)}=emxp(x); L(p+m){xkg(x)}=p(x). Нужно найти g(x), удовл последн ур-ю. Т.к. m-корень хар ур-я, то м-но записать в след виде: L(p)=M(p)*(p-m)k; m- корень, кратности k. M(m)¹0. M(p+m)pk{xkg(x)}=p(x). N(p)ºM(p+m). N(p)pk{xkg(x)}=p(x). Пусть pk{xkg(x)}=h(x). Получ: N(p)h(x)=p(x). h - $ и однозначно находится по p(x). Проверим, что N(0)=M(m)¹0. Н-но по h(x) найти g(x). pk{xkg(x)}=h(x). g(x)=(j=0..n)ågjxj; h(x)=(j=0..r)åhjxj; (j=0..r)ågjxj+k=(j=0..r)ågj(k+j)...(j+1)xj=(j=0..r)åhjxj; gj=hj/(k+j)*...*(j+1); j=0..r. Утв: M(p)=b0pm+b1pm-1+...+bm; bm¹0. Д-во: "p(x) – вып-ся: M(p){g(x)}=p(x) (12). Уравнение имеет единственное решение, deg(g)=deg(p). Усл bm¹0óM(0)¹0; prxr+...=p(x);grxr+...=g(x). M(p){g(x)}=grM(p)xr+...=grbmxr+...=prxr. Т.о. g=pr/bm. | | 10. Линейные неодн ДУ n- го порядка с перем коэф. 1)Теорема $я и ед-ти решения нач задачи 2)Теорема об общем решении 3)Метод Лагранжа вариации произв пост 4)Ф-я Коши и её св-ва 1:)Теорема $ я и ед-ти решения нач задачи y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=f(x) a<x<b (1) – общий вид a1(x),...,an(x) – коэф ур-я (непр на (а;в)). f(x) – непр на (а;в) – своб член. f(x)¹0(тождественно). y(x0)=y0;y’(x0)=y0’;...;y(n-1)(x0)=y0(n-1) (2) x0Î(a;b). y0;y0’;...;y0(n-1)-заданные числа. Задача нахождения решения (1) удовл усл (2) наз начальной задачей, а (2) – начальным условием. Условий ровно столько, каков порядок уравнения. Выпишем однородное уравнение, соотв ур-ю (1):y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=0 (3). Межу (1) и (3) $ет простая связь: 1)если y(x) решение (1), а U(x) – решение соотв (3), то их å явл реш-ем (1); 2)если y(x) и z(x) – оба решения (1), тогда y(x)-z(x) – решение (3). Д-во: y(n)+a1(x)y(n-1)+...+an(x)y=f(x); y(x) – решение уравнения (1); u(n)+a1(x)u(n-1)+...+an(x)u=0. U(x) – решение (3). Покаж, что (y(x)+U(x))(n)+a1(x)(u(x)+y(x))(n-1)+...+an(x)(u+y)=f(x) y(n)+u(n)+...+an(x)y+an(x)u(x)=f(x)+0=f(x). ч.т.д. Теорема: if коэф (1) – непрерывны, то решение с нач зад (1) – (2) всегда $ют, единственны, и можно считать опр на всём (a;b). Эту теорему называют нелокольной теоремой $ и единств реш нач зад. Связь между ур-ми n- го порядка и системой из n -уравнений 1-го порядка: возьмём уравнение 2-го порядка с непр коэф: y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x). y1(x)=y(x);y2(x)=y’(x); y1’(x)=y’(x)=y2(x); y2’(x)=y’’(x)=f(x)-p(x)y(x)-q(x)y=f(x)-p(x)y2(x)-q(x)y1(x). C истема: y1’=y2; y2’=-q(x)y1-p(x)y2+f(x) 2)Теорема об общем решении Пусть y1(x),...,yn(x) (4) – фунд сист решений однор ур-я (3), а z(x) – какое – либо частное решение неодн ур-я (1) имеет след вид: y=c1y1(x)+...+cnyn(x)+z(x) (5), где с1,...,cn – произв пост. Д-во: Докажем, что (5) всегда даёт решение (1) при "c1,...,cn. Вся первая часть (5) – решение (3). Добавл к нему частн реш z(x), получ реш неодн (1). Покаж, что " решение неодн ур-я (1) м.б. записано в виде (5) при нек пост c1,...,cn. If y(x) – частн решение (1), то y(x)–z(x) – решение однор ур-я (3). По теореме об общем решении в (3) мы можем указать такие c1,...,cn – что y(x)–z(x)=c1y1(x)+...+cnyn(x). Перенося z – вправо, получ (5). Теорема доказана. Общее решение однородного уравнения есть å общ решения соотв однор ур-я, и какого – либо частн решениия неодн ур-я. 3 : )Метод Лагранжа вариации произв пост Лагранж предложил искать частные решения в виде (5) без z(x), только константы считать ф-ми: y=c1(xz)y1(x)+…+cn(x)yn(x) (6). Если c1,….,cn выбирать так, чтобы вып-сь след усл: Система : ( 7) с1’(x)y(x)+…+cn’(x)yn(x)=0; …… c1’(x)y(n-2)(x)+…+cn’(x)y(n-2)n(x)=0 c1’(x)y(n-1)(x)+…+cn’(x)y(n-1)n(x)=f(x) if c1(x),..,cn(x) – удовл усл (7), то (6) даёт решение (1). Д-во: В этой системе неизв явл c1’,…,cn’ Матрицей (7) явл W(x)<>0(сост матр из игриков) => это система имеет единственное решение. Проверим, что (6) при вып (7) даёт решение (1). Система: y(x)=c1(x)y1(x)+…+cn(x)yn(x); y’(x)=c1(x)y1’(x)+…+cn(x)yn’(x) …. y(n-1)(x)=c1(x)y1(n-1)(x)+…+cn(x)y(n-2)n(x) y(n)(x)=f(x)+c1(x)y1(n)(x)+…+cn(x)y(n)n(x) Умножим соответственно на an(x),…,a1(x),1 и сложим: Введём обозначение: (9) L{y(x)}ºy(n)(x)+a1(x)y(n-1)+…+an(x)y(x) – лин диффер оператор L{y(x)}(=)f(x)+c1(x)L{y1(x)}+…+cn(x)L{yn(x)}, т.к. y1(x),…,yn(x) – обр фунд систему, то (=)f(x) (10)~(1) 4 : )Ф-я Коши и её св-ва Решим систему (7) по правилу Крамера. ci(x)=(Wi(x)/W(x))f(x) (11), i=1..n; Wi – алгебрарическое дополнение к эл-ту n-ой строки стоящ в i-м столбце. ci(x)= ci+(x0..x)ò(Wi(s)/W(s))f(s)ds, i=1,…,n (12). Подставим в (6): y=(i=1..n)åciyi(x)+(i=1..n)å((x0..x)ò(Wi(s)/W(s))f(s)ds)yi(x)=(i=1..n)åciyi(x)+(x0..x)ò(i=1..n)å(Wi(s)/W(s)f(s))y(x)ds) (13) K(x)=(i=1..n)å(y(x)Wi(s))/W(s) (14); x,s'(a;b) y=(i=1..n)åciyi(x)+(x0..x)òK(x,s)f(s)ds (15) – интегральный оператор | | Лекция №71.Определение x решения. Предп. что рассматр. нач. задача вида (1)-(2) у¢=f(x,у)(1) у(х0) =у0(2) f(x,у) – непр. по совокупн. решенных предполог., что f(x,у) рассматр. на прямоугольнике D={(х,у): |х-х0|<=а , |у-уо|<=б} $M=maх|f(x,у)| удовл. условию Лишица по второй переменной | f(x,у) –f(x,z) |<=L|y-z| (4). При вып. всех этих предпол. нач. зад. (1)-(2) имеет единств. реш-е опр. на отр-ке | х-х0|<=h; h=min{а,б/ М } (5) П. у(х)- кусочно диф-ма фун-я и удовл. след. н-ву: | у¢(х)-f(x,у(х)) | <=∆ f(x) (6) у(х0)=у0 (7) Кусочная диф-мость ф-ции означает, что весь пром-к, на котор. ф-я опред. можно разбить на части в котор. ф-я диф-ма в точках разбиения $ одностор производные. |у¢+ --f(x,у(х))|<=∆ f(x) если известно что, ∆ f(x) <=x, то у(х) наз. x решением. Введем в рассмотрен еще одну ф-ю Z(x) по правилам: |Z¢(x)-g(x,z(x))|<=∆g(x) (8) Z(x0)=Z0 (9) Предп. что g(x) непр. в прямоуг. D и кусочно диф-ма предполаг. далее, что | f(x,у)-g(x,y)|<=d (10) Возн. задача: |у(х)-z(x)|<=? Запишем мн-во (6) иначе: у¢(х)= f(x,у(х))+a(х), где |a(x)<= f(x)| В этом случ. у- есть реш-е диф. ур-я. a(х)- кусочно диф-ая ф-я (и кусочно непр.) Для Z(x) м-нo зап-ть анал. рав-ва Z¢(x)=g(x,z(x))+b(x), |b(x)|<=g(x) В этом случае. z- реш. диф. ур-я b(х)- кус. непр. и диф-ма. Проинтегр. рав-ва у¢(х) и для z¢(х) у(х)=y0+(x0,x)∫{f(s,y(s))+a(s)}ds (11) z(x)=z0+(x0,x)∫{g(s,z(s))+b(s)}ds (12) вычтем. почленно из (11)-(12) и оценим разницу по иодулю: у(х)-z(x)=y0-z0+(x0,x)∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+a(s)+b(s)}ds (13) |y(x)-z(x)|<=|y0-z0|+|∫{f(s,y(s))+g(s,z(s))+a(s)+b(s)}ds|<=|y0-z0|+(x0,x){|f(s,y(s))-g(s,z(s))|+|a(s)-b(s)|ds |f(s,y(s))-f(s,(z(s))|<=L|y(s)-z(s)| (14) |f(s,z(s))-g(s,z(s))|<=d |y(x)-z(x)|<=|y0-z0|+(x0,x)∫L|y(s)-z(s)|+d+a+b}ds |a(x)<=a; |b(x)|<=b П. |y(x)-z(x)|=u(x).Еогда посднее н-во м-но зап-ть в след. виде U(x)<=U(x0)+(x0,x)∫LU(s)+d+a+b}ds (15) Пользуясь леммой о лин. инт. нер-ах м-но вып-ть оценку ф-ции U(x) если ф-ции у(х) и z(x) это точные реш-я, то a,b,d =0 |y(x)-z(x)|<=L|x-x0|; |y0-z0|+((a+b+d)/L)(eL|x-x0|-1) 2 Th единственности и оценка разности решений |y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|, y0=z0 (17) y(x)≡ z(x) Прич. если нач. усл. совп. то совп. и сами ф-ции. 3 Зависимость от правой части если у(х) и z(x) это точное реш-е но разных задач, то в этом случае a=b=0, d>0 и м-но оценить разницу между у(х) и z(x) |y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|+(d/L)( eL|x-x0|-1) (18) Н-во (18) зад. зависимость от прав. частей. 4 Оценка разности между x решениямиЕсли y(x) и z(x) это соотв. a и b реш-я нач. задачи (1)-(2) , то это знач. что гач. усл. совпадают у0=z0, d=0, И оценка разности решний приобретает такой вид: |y(x)-z(x)|<= eL|x-x0||y0-z0|+(d/L)( eL|x-x0|-1)=((a+ b)/L)( eL|x-x0|-1) (19) если у(х) это точн. реш-е при этом a=0 и п. z(x) это x реш-е |y(x)-z(x)|<= (x/L)( eL|x-x0|-1) (20) 5 Метод ломаных ЭйлераМетод ломаных- это метод численного интегрир. нач-ой задачи. Для этого весь пр-к опред-я ф-ии по х разб. на части х0 <х1<…<xn (21) Это разб. наз. сеткой, а x0…xn –узлами сетки. Задача закл. в опр-ии значении реш-я ф-ции y(xi)=yi Разбиение обычно опр-ся равно-мерно: xi+1-xi=h, h=(xn-x0)/n Идея метода Эйлера состоит в след. : (y(xi+1)-y(xi))/(xi+1-xi)»y¢(x)= f(x,у(xi)) (y(xi+1)-y(xi))/(xi+1-xi) = f(x,у(xi)) (22) Тогда значение кажд. след. точки можно переписать через значение пред. точки : y(xi+1)=y(xi)+f(xi,y(xi))(xi+1-xi) – условие Эйлера y(x0)=y0 ; y(x1)=y(x0)+f(x0,y(x0))(x1-x0) y(xn)=y(xn-1)+f(xn-1,y(xn-1))(xn-xn-1) Если имеет место равн. разб. отр-ка то послдняя формула имеет вид: yi+1=yi+hf(xi,yr) (24) r=0,1…., n-1 Сеточные ф-ии ставят в соответств. нек. ломанную, это кусочно непр. ф-я yr(x)=yr+(x-xi)f(xi,уi), xi<=x<=xi+1 (25) И спр-во утв-е : если x>0 то в силу непр. ф-ции f(x,у) : |f(x,у)- f(x,z)|<=x если |x-s|<=d, |y-z|<=d, $ d(x)>0 (непр. по совок. переменных) M=maх|f(x,у)| Д-во Из (25) вытекает |y¢x(x)-f(x,уx(x))| =|f(xi,уi)-f(xi,уi)+(x-xi)f(xi,уi))|<=x (26) |x-xi|<=d; |x-xi||f(xi,уi)|<=dM При достаточно малом шаге ломаная Эйлера становится x решением 6 Оценка погрешности метода ломаных Эйлера Предп. что f(x,у) удовл. усл. Лищица по кажд. переменной т.е. разница : |f(x,у) –f(s,z)|<=k|x-s|+L|y-z| (27) Вэтом случае |y¢x(x)-f(x,уx(x))|=|f(xi,yi)-f(x,yi+(x-xi)f(xi,уi)|<= ( в кач-ве у(х) выбир. отн. Эйлера ) <= k|x-xi|+|x-xi|LM<=(k+ma)ºx (28) Восп. соотн. (20) Пусть сетка будет равномерной |y(x)-yx(x)|<=(((k+ML)d)/h)(eL|x-x0|-1) (29) |y(x)-yx(x)|<= h(M+k/h)(eL|x-x0|-1) (30) Оценка (30) наз-ся оценкой первого пор-ка точности. Задаваясь опред. точностью и зная числа k,M,L можно определить h таким обр. чтобы посл. произв. было <x. Тогда соотв. и разн. между ф-ей |y(x)-yx(x)|<x (32) |
