ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО‑ЭКОНОМИЧЕСКИЙ
ИНСТИТУТ

Филиал в г. Брянске
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

ЭКОНОМЕТРИКА



Брянск — 2009

ЗАДАЧА 1

         По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпускаемой продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений (X, млн. руб.):





         Требуется:

1.     Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию углового коэффициента регрессии.

2.     Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; определить стандартную ошибку регрессии; построить график остатков.

3.     Проверить выполнение предпосылок метода наименьших квадратов.

4.     Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (уровень значимости a=0,05).

5.     Вычислить коэффициент детерминации R²; проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (уровень значимости a=0,05); найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

6.     Осуществить прогнозирование значения показателя Y при уровне значимости a=0,1, если прогнозное значения фактора Х составит 80 % от его максимального значения.

7.     Представить графически: фактические и модельные значения Y, точки прогноза.

8.     Составить уравнения нелинейной регрессии:

Ø    логарифмической;

Ø    степенной;

Ø    показательной.

         Привести графики построенных уравнений регрессии.

9.     Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.

РЕШЕНИЕ

         Для решения задачи используется табличный процессор EXCEL.

         1. С помощью надстройки «Анализ данных» EXCEL проводим регрессионный анализ и определяем параметры уравнения линейной регрессии  (меню «Сервис» ® «Анализ данных…» ® «Регрессия»):



         (Для копирования снимка окна в буфер обмена данных WINDOWS используется комбинация клавиш Alt+Print Screen.)

         В результате этого уравнение регрессии будет иметь вид:

 (прил. 1).

         Угловой коэффициент b₁=0,785 является по своей сути средним абсолютным приростом. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,785 млн. руб.
         2. При проведении регрессионного анализа в EXCEL одновременно были определены остатки регрессии  (i=1, 2, …, n, где n=10 — число наблюдений значений переменных X и Y) (см. «Вывод остатка» в прил. 1) и рассчитана остаточная сумма квадратов

 

(см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1).

         Стандартная ошибка линейной парной регрессии S_рег определена там же:

 млн. руб.

(см. «Регрессионную статистику» в прил. 1), где p=1 — число факторов в регрессионной модели.

         График остатков e_i от предсказанных уравнением регрессии значений результата  (i=1, 2, …, n) строим с помощью диаграммы EXCEL. Предварительно в «Выводе остатка» прил. 1 выделяются блоки ячеек «Предсказанное Y» и «Остатки» вместе с заголовками, а затем выбирается пункт меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»:

         График остатков приведен в прил. 2.
         3. Проверим выполнение предпосылок обычного метода наименьших квадратов.

         1) Случайный характер остатков. Визуальный анализ графика остатков не выявляет в них какой-либо явной закономерности.

         Проверим исходные данные на наличие аномальных наблюдений объема выпускаемой продукции Y (выбросов). С этой целю сравним абсолютные величиныстандартизированных остатков(см. «Вывод остатка» в прил. 1) с табличным значением t-критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы остатка регрессии , которое составляет t_таб=2,306.

         Видно, что ни один из стандартизированных остатков не превышает по абсолютной величине табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует об отсутствии выбросов.

         2) Нулевая средняя величина остатков. Данная предпосылка всегда выполняется для линейных моделей со свободным коэффициентом b₀, параметры которых оцениваются обычным методом наименьших квадратов. В нашей модели алгебраическая сумма остатков и, следовательно, их среднее, равны нулю:  (см. прил. 1).

         Для вычисления суммы и среднего значений остатков использовались встроенные функции EXCEL «СУММ» и «СРЗНАЧ».

         3) Одинаковая дисперсия (гомоскедастичность) остатков. Выполнение данной предпосылки проверим методом Глейзера в предположении линейной зависимости среднего квадратического отклонения возмущений  от предсказанных уравнением регрессии значений результата  (i=1, 2, …, n). Для этого рассчитывается коэффициент корреляции  между абсолютными величинами остатков  и  (i=1, 2, …, n) с помощью выражения, составленного из встроенных функций:

=КОРРЕЛ(ABS(«Остатки»);«Предсказанное Y»)

         Коэффициент корреляции оказался равным  (см. прил. 1).

            Критическое значение коэффициента корреляции для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы  составляет r_кр=0,632.

         Так как коэффициент корреляции  не превышает по абсолютной величине критическое значение, то статистическая гипотеза об одинаковой дисперсии остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

         4) Отсутствие автокорреляции в остатках. Выполнение данной предпосылки проверяем методом Дарбина–Уотсона. Предварительно ряд остатков упорядочивается в зависимости от последовательно возрастающих значений результата Y, предсказанных уравнением регрессии. Для этой цели в «Выводе остатка» прил. 1 выделяется любая ячейка в столбце «Предсказанное Y», и на панели инструментов нажимается кнопка «» («Сортировка по возрастанию»). По упорядоченному ряду остатков рассчитываем d‑статистику Дарбина–Уотсона

 (см. прил. 1).

         Для расчета
d‑статистики использовалось выражение, составленное из встроенных функций EXCEL:

=СУММКВРАЗН(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

         Критические значения d‑статистики для числа наблюдений n=10, числа факторов p=1 и уровня значимости a=0,05 составляют: d₁=0,88; d₂=1,32.

         Так как выполняется условие

,

статистическая гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

         Проверим отсутствие автокорреляции в остатках также и по коэффициенту автокорреляции остатков первого порядка

 (см. прил. 1).

(ряд остатков упорядочен в той же самой последовательности).

         Для расчета коэффициента автокорреляции использовалось выражение, составленное из встроенных функций:

=СУММПРОИЗВ(«Остатки 2, …, n»; «Остатки 1, …, n–1»)/СУММКВ(«Остатки 1, …,n»)

         Критическое значение коэффициента автокорреляции для числа наблюдений n=10 и уровня значимости a=0,05 составляет r_(1)кр=0,632. Так как коэффициент автокорреляции остатков первого порядка не превышает по абсолютной величине критическое значение, то это еще раз указывает на отсутствие автокорреляции в остатках.

         5) Нормальный закон распределения остатков. Выполнение этой предпосылки проверяем с помощью R/S-критерия, определяемого по формуле

,

где e_max=6,32; e_min=(–5,19) — наибольший и наименьший остатки соответственно (определялись с помощью встроенных функций «МАКС» и «МИН»);  — стандартное отклонение ряда остатков (определено с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН») (см. прил. 1).

         Критические границы R
/
S-критерия для числа наблюдений n=10 и уровня значимости a=0,05 имеют значения: (R/S)₁=2,67 и (R/S)₂=3,69.

         Так как расчетное значение R/S-критерия попадает в интервал между критическими границами, то статистическая гипотеза о нормальном законе распределения остатков не отклоняется на уровне значимости a=0,05.

         Проведенная проверка показала, что выполняются все пять предпосылок обычного метода наименьших квадратов. Это свидетельствует об адекватности регрессионной модели исследуемому экономическому явлению.
         4. Проверим статистическую значимость коэффициентов b₀ и b₁ уравнения регрессии. Табличное значение t-критерия Стьюдента для уровня значимости a=0,05 и числа степеней свободы остатка линейной парной регрессии  составляет t_таб=2,306.

         t-статистики коэффициентов

,

были определены при проведении регрессионного анализа в EXCEL и имеют следующие значения: t_b0»3,202; t_b1»7,288 (см. прил. 1). Анализ этих значений показывает, что по абсолютной величине все они превышают табличное значение t-критерия Стьюдента. Это свидетельствует о статистической значимости обоих коэффициентов. На то же самое обстоятельство указывают и вероятности случайного формирования коэффициентов b₀ и b₁, которые ниже допустимого уровня значимости a=0,05 (см. «P‑Значение»).

         Статистическая значимость углового коэффициента b₁ дает основание говорить о существенном (значимом) влиянии изменения объема капиталовложений X на изменение объема выпускаемой продукции Y.
         5. Коэффициент детерминации R² линейной модели также был определен при проведении регрессионного анализа в EXCEL:

 

(см. «Регрессионную статистику» в прил. 1).

         Значение R² показывает, что линейная модель объясняет 86,9 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

         F-статистика линейной модели имеет значение



(см. «Дисперсионный анализ» в прил. 1).

         Табличное значение F-критерия Фишера для уровня значимости a=0,05 и чисел степеней свободы числителя (регрессии)  и знаменателя (остатка)  составляет F_таб=5,32. Так как F-статистика превышает табличное значение F-критерия Фишера, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом. На этот же факт указывает и то, что вероятность случайного формирования уравнения регрессии в том виде, в каком оно получено, составляет 8,49×10^-5 (см. «Значимость F» в «Дисперсионном анализе» прил. 1), что ниже допустимого уровня значимости a=0,05.

         Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле

,

где  млн. руб. — средний объем выпускаемой продукции, определенный с помощью встроенной функции «СРЗНАЧ» (см. «Исходные данные» в прил. 1).

         Значение Е_отн показывает, что предсказанные уравнением регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 7,1 %. Линейная модель имеет хорошую точность.

         По результатам проверок, проведенных в пунктах 3 — 5, можно сделать вывод о достаточно хорошем качестве линейной модели и возможности ее использования для целей анализа и прогнозирования объема выпускаемой продукции.
         6. Спрогнозируем объем выпускаемой продукции Y, если прогнозное значение объема капиталовложений X составит 80 % от своего максимального значения в исходных данных:

§       максимальное значение X — x_max=59 млн. руб. (см. «Исходные данные» в прил. 1);

§       прогнозное значение X —  млн. руб.

         Среднее прогнозируемое значение объема выпускаемой продукции (точечный прогноз) равно

 млн. руб.

         Стандартная ошибка прогноза фактического значения объема выпускаемой продукции
y₀ рассчитывается по формуле

 млн. руб.,

где  млн. руб. — средний объем капиталовложений;  млн. руб. — стандартное отклонение объема капиталовложений (определены с помощью встроенных функций «СРЗНАЧ» и «СТАНДОТКЛОН») (см. «Исходные данные» в прил. 1).

         Интервальный прогноз фактического значения объема выпускаемой продукции
y₀ с надежностью (доверительной вероятностью) g=0,9 (уровень значимости a=0,1) имеет вид:

 млн. руб.,

где
t_таб=1,860 — табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости a=0,1 и числе степеней свободы .

         Таким образом, объем выпускаемой продукции Y с вероятностью 90 % будет находиться в интервале от 43,2 до 58,8 млн. руб.
         7. График, на котором изображены фактические и предсказанные уравнением регрессии значения Y строим с помощью диаграммы EXCEL (меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»). Далее строим линию линейного тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда…» ® «Линейная»), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R²:

 
         Точки точечного и интервального прогнозов наносим на график вручную (прил. 3).
         8. Логарифмическую, степенную и показательную модели также строим с помощью диаграммы EXCEL (меню «Вставка» ® «Диаграмма…» ® «Точечная»). Далее последовательно строим соответствующие линии тренда (меню «Диаграмма» ® «Добавить линию тренда…»), и устанавливаем вывод на диаграмме уравнения регрессии и коэффициента детерминации R²:
 
         Графики линий регрессии, уравнения регрессии и значения R² приведены в прил. 4. Рассмотрим последовательно каждую модель.        
         1) Логарифмическая модель:

.

         Значение параметра b₁=29,9 показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на  млн. руб.

         Коэффициент детерминации R²»0,898 показывает, что логарифмическая модель объясняет 89,8 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

         F-статистика Фишера логарифмической модели определяется через коэффициент детерминации R² по формуле

.

         Табличное значение F-критерия Фишера одинаково как для линейной, так и для всех нелинейных моделей, которые здесь строятся (F_таб=5,32). Так как F-статистика превышает табличное значение F-критерия, то это свидетельствует о статистической значимости уравнения логарифмической регрессии.

         Стандартная ошибка логарифмической регрессии также рассчитывается через коэффициент детерминации R² по формуле

 млн. руб.,

где  млн. руб. — стандартное отклонение объема выпускаемой продукции, определенное с помощью встроенной функции «СТАНДОТКЛОН» (см. «Исходные данные» в прил. 1).

         Среднюю относительную ошибку аппроксимации определяем по приближенной формуле

.

         Предсказанные уравнением логарифмической регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 6,2 %. Логарифмическая модель имеет хорошую точность.

         2) Степенная модель:

.

         Показатель степени b₁=0,721 является средним коэффициентом эластичности. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 % объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем на 0,721 %.

         Коэффициент детерминации R²»0,873 показывает, что степенная модель объясняет 87,3 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

         F-статистика степенной модели



также превышает табличное значение F-критерия Фишера (F_таб=5,32), что указывает на статистическую значимость уравнения степенной регрессии.

         Стандартная ошибка степенной регрессии равна

 млн. руб.

         Средняя относительная ошибка аппроксимации имеет значение

.

         Предсказанные уравнением степенной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 7,0 %. Степенная модель имеет хорошую точность.

         3) Показательная (экспоненциальная) модель:

,

где е=2,718… — основание натуральных логарифмов;  — функция экспоненты (в EXCEL встроенная функция «EXP»).

         Параметр b₁=1,019 является средним коэффициентом роста. Его значение показывает, что при увеличении объема капиталовложений X на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции Y возрастает в среднем в 1,019 раза, то есть на 1,9 %.

         Коэффициент детерминации R²»0,821 показывает, что показательная модель объясняет 82,1 % вариации объема выпускаемой продукции Y.

         F-статистика показательной модели



превышает табличное значение F-критерия Фишера (F_таб=5,32), что свидетельствует о статистической значимости уравнения показательной регрессии.

         Стандартная ошибка показательной регрессии:

 млн. руб.

         Средняя относительная ошибка аппроксимации:

.

         Предсказанные уравнением показательной регрессии значения объема выпускаемой продукции Y отличаются от фактических значений в среднем на 8,3 %. Показательная модель имеет хорошую точность.
         Сравнивая между собой коэффициенты детерминации R² четырех построенных моделей (линейной, логарифмической, степенной и показательной), можно придти к выводу, что лучшей моделью является логарифмическая модель, так как она имеет самое большое значение R².
ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерные распечатки на 4 листах.

ЗАДАЧА 2

Задача 2а и 2б

         Для каждого варианта даны по две структурные формы модели, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

Номер варианта

Номер уравнения

Задача 2а

Задача 2б

переменные

переменные

у1

у2

у3

х1

х2

х3

x4

у1

у2

у3

х1

х2

х3

x4

11

1

–1

b12

b13

a11

a12

0

0

–1

b12

b13

a11

a12

0

0

2

b21

–1

0

a21

a22

a23

0

b21

–1

0

0

a22

a23

0

3

b31

b32

–1

0

0

a33

a34

b31

b32

–1

a31

a32

0

a34

РЕШЕНИЕ

Задача 2а

         Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме:



         Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

         В первом уравнении три эндогенные переменные: y₁,
y₂ и
y₃ (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x₃ и x₄ (D=2). Необходимое условие идентификации  выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x₃ и x₄, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	x3	x4
2	a23	0
3	a33	a34

         Определитель данной матрицы не равен нулю:

,

а ее ранг равен 2. В заданной системе уравнений три эндогенные переменные —
y₁, y₂ и y₃ . Так как ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым.

         Во втором уравнении две эндогенные переменные: y₁ и y₂ (H=2). В нем отсутствует одна экзогенная переменная x₄ (D=1). Необходимое условие идентификации  выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных y₃ и x₄, которые отсутствуют во втором уравнении:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	y3	x4
1	b13	0
3	–1	a34

         Определитель данной матрицы не равен нулю:

,

а ее ранг равен 2. Значит, достаточное условие идентификации выполнено, и второе уравнение считается идентифицируемым.

         В третьем уравнении три эндогенные переменные: y₁, y₂ и y₃ (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные x₁ и x₂ (D=2). Необходимое условие идентификации  выполнено. Составим матрицу из коэффициентов при переменных х₁ и x₂, которые отсутствуют в третьем уравнении:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	x1	x2
1	a11	a12
2	a21	a22

         Определитель данной матрицы равен

,

а ее ранг — 2. Если , то это означает, что достаточное условие идентификации выполнено, и третье уравнение можно считать идентифицируемым.

         Таким образом, все три уравнения заданной системы идентифицируемы, а значит, идентифицируема и вся система в целом.
Задача 2б

         Используя матрицу коэффициентов модели в исходных данных, записываем систему одновременных уравнений регрессии в структурной форме:



         Проверим каждое уравнение системы на выполнение необходимого и достаточного условия идентификации.

         В первом уравнении три эндогенные переменные: y₁,
y₂ и
y₃ (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x₃ и x₄ (D=2). Необходимое условие идентификации  выполнено. Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x₃ и x₄, отсутствующих в данном уравнении, но имеющихся в системе:

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	x3	x4
2	a23	0
3	0	a34

         Определитель матрицы не равен нулю:

,

а ее ранг матрицы равен 2. В заданной системе уравнений три эндогенные переменные —
y₁, y₂ и y₃. Так как ранг матрицы не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие идентификации для данного уравнения выполнено. Первое уравнение считается идентифицируемым.

         Во втором уравнении две эндогенные переменные: y₁ и y₂ (H=2). В нем отсутствует экзогенные переменные x₁ и x₄ (D=2). Так как , то это означает, что данное уравнение сверхидентифицируемо.

         В третьем уравнении три эндогенные переменные: y₁, y₂ и y₃ (H=3). В нем отсутствует одна экзогенная переменная x₃ (D=1). Так как , то это означает, что данное уравнение неидентифицируемо.

         Таким образом, первое уравнение заданной системы идентифицируемо, второе — сверхидентифицируемо, а третье — неидентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение системы неидентифицируемо, то вся система считается неидентифицируемой. Данная система является неидентифицируемой и не имеет статистического решения.
Задача 2в

         По данным таблицы для своего варианта, используя косвенный метод наименьших квадратов, построить структурную форму модели вида:

Вариант	n	у1	у2	х1	х2
11	1	33,0	37,1	3	11
	2	45,9	49,3	7	16
	3	42,2	41,6	7	9
	4	51,4	45,9	10	9
	5	49,0	37,4	10	1
	6	49,3	52,3	8	16

РЕШЕНИЕ

         С помощью табличного процессора EXCEL строим два приведенных уравнения системы одновременных уравнений регрессии (меню «Сервис» ® «Анализ данных…» ® «Регрессия»):
 
         Данные уравнения образуют приведенную форму системы одновременных уравнений регрессии:



         Коэффициенты приведенной формы имеют следующие значения: d₁₀»19,90; d₁₁»2,821; d₁₂»0,394; d₂₀»19,14; d₂₁»1,679 и d₂₂»1,181 (см. прил.).

         Таким образом, приведенная форма системы уравнений имеет вид:



         Определим коэффициенты структурной формы системы уравнений



         Структурные коэффициенты определяются по формулам:

         ;

         ;

         ;

         ;

         ;

         .

         Окончательно структурная форма системы одновременных уравнений регрессии примет вид:


ПРИЛОЖЕНИЕ: компьютерная распечатка на 1 листе.