Реферат Теоремы Генки механика деформируемого твердого тела
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
![](https://bukvasha.net/assets/images/emoji__ok.png)
Предоплата всего
от 25%
![](https://bukvasha.net/assets/images/emoji__signature.png)
Подписываем
договор
Содержание.
Введение………………………………………………………………… 3
1. Основные уравнения………………………………………………. 4
1.1. Общие положения……………………………………………… 4
1.2. Основные уравнения………………………………………….. 4
1.3. Линии скольжения……………………………………………. 6
1.4. Состояние текучести…………………………………………. 7
1.5. Полуобратный метод………………………………………… 8
2. Линии скольжения, их свойства………………………………… 9
2.1. Характеристические линии………………………………… 9
2.2. Свойства линий скольжения………………………………. 13
Введение.
Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесяти годам XIX века и связаны с именами Сен-Венана, рассмотревшего уравнения плоской деформации, и М. Леви, составившего, следуя идеям Сен-Венана, уравнения в трехмерном случае; ему же принадлежит способ линеаризации уравнений плоской задачи.
В последующие годы развитие теории пластичности протекало вяло. Некоторое оживление наступило в начале XX века, когда были опубликованы работы Хаара и Кармана (
Начиная с двадцатых годов, теория пластичности интенсивно развивается, вначале – преимущественно в Германии. В работах Г. Генки, Л. Прандтля, Р. Мизеса и других авторов были получены важные результаты как по основным уравнениям теории пластичности, так и по методам решения плоской задачи. К этому времени относятся и первые систематические экспериментальные исследования законов пластической деформации при сложном напряженном состоянии, а также первые успешные приложения теории пластичности к техническим вопросам. Уже с тридцатых годов теория пластичности привлекает внимание широкого круга ученых и инженеров; развертываются интенсивные теоретические и экспериментальные исследования во многих странах. Теория пластичности наряду с газовой динамикой становится наиболее энергично развивающимся разделом механики сплошных тел.
1. Основные уравнения.
1.1. Общие положения. При плоской деформации перемещения частиц тела параллельны плоскости
Подобное состояние возникает в длинных призматических телах при нагрузках, нормальных к боковой поверхности и не зависящих от
Как обычно, считаем тело изотропным и однородным. В любом сечении
В теории упругости приведенные условия достаточны для формулировки проблемы плоской деформации. В теории пластичности необходимы дополнительные упрощения, так как иначе невозможно получить приемлемую математическую формулировку вопроса.
В дальнейшем используется схема жесткопластического тела. Эта концепция вносит погрешность, которую трудно оценить. Однако сколько-нибудь последовательный анализ плоской задачи затруднителен, если отказаться от схемы жесткопластического тела.
Гораздо целесообразнее исходить из схемы жесткопластического тела, которая позволяет одновременно рассматривать поле напряжений и поле смещений, связывая последнее со смещениями жестких областей. Тем самым строится в известном смысле и приближенное решение упругопластических задач.
1.2. Основные уравнения. Из (1) вытекает, что
откуда
Как уже отмечалось,
Отсюда
Очевидно, что
Интенсивность касательных напряжений также равна
Таким образом, главные напряжения равны
т. е. напряженное состояние в каждой точке характеризуется наложением гидростатического давления
Рис. 1. Значения косинусов, определяющих первое (пусть
Исключая
Направления площадок, на которых действуют максимальные касательные напряжения, составляют угол
1.3. Линии скольжения. Линия скольжения – линия, в каждой точке своей касающаяся площадки максимального касательного напряжения. Очевидно, что имеются два ортогональных семейства линий скольжения, характеризуемые уравнениями:
Рис. 2.
Условимся фиксировать направления линий
Дифференциальные уравнения семейств
Рис. 3.
1.4. Состояние текучести. Пусть среда находится в состоянии идеальной пластичности. Тогда должно выполняться условие текучести
или
Обозначая
Сюда следует присоединить два дифференциальных уравнения равновесия (объемные силы отсутствуют):
Если на границе тела заданы напряжения, то мы располагаем полной системой уравнений для определения напряженного состояния (притом независимо от деформации). Задачи этого типа называются статически определимыми.
К приведенным уравнениям следует присоединить соотношения, связывающие компоненты напряжения с приращениями компонент деформации; это будут соотношения (7), в которых нужно отбросить слагаемые, относящиеся к упругой деформации, т. е. соотношения теории пластичности Сен-Венана-Мизеса (12). В случае плоской деформации остаются лишь три соотношения (для
утверждающее, что направление площадки максимального касательного напряжения совпадает с направлением площадки, испытывающей максимальную скорость деформации сдвига. Кроме того, должно выполняться условие несжимаемости
Для пяти неизвестных
1.5. Полуобратный метод. Если задача статически определима, то напряжения
Если задача статически неопределима, то необходимо совместное решение уравнений для напряжений и скоростей, что связано с известными трудностями. В таких задачах часто используют полуобратный метод: пытаются подобрать такое поле линий скольжения, для которого распределение скоростей было бы в согласии с граничными условиями. При этом приходится в той или иной мере задавать контуры пластической зоны и дополнять граничные условия для напряжения. Подобные приемы, несмотря на их очевидную ограниченность, позволили найти много важных решений. В связи с этим, в частности, имеет большое значение анализ системы уравнений (8), (9) для напряжений. Обратимся к подробному изучению свойств решений этой системы уравнений.
2. Линии скольжения, их свойства.
2.1. Характеристические линии. Рассмотрим уравнения в напряжениях (8), (9).
Возьмем известные формулы теории напряжений:
заменим в них полусумму главных напряжений через
Очевидно, что при этом условие текучести (8) удовлетворяется.
Внося эти значения в уравнения равновесия, получаем систему двух нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно неизвестных функций
Методы построения и свойства решения полученной системы дифференциальных уравнений прежде всего определяются ее типом. Покажем, что эта система гиперболического типа.
Пусть вдоль некоторой линии
Рис. 4.
Будем разыскивать решение
Если
причем угол
Если же
Таким образом, характеристические линии совпадают с линиями скольжения; очевидно, что существуют два различных вещественных семейства характеристических линий, следовательно, исходная система – гиперболического типа.
Если координатные оси
где
Эти уравнения имеют простой механический смысл; они являются дифференциальными уравнениями равновесия бесконечно малого элемента пластической среды, образованного сеткой линий скольжения (элемента скольжения; рис. 3), которая является как бы естественной координатной сеткой данной задачи.
Так как
Эти соотношения для плоской задачи теории пластичности впервые были выведены Г. Генки (
При переходе от одной линии скольжения семейства
Если известны поле линий скольжения и на них – значения параметров
2.2. Свойства линий скольжения. Линии скольжения обладают рядом замечательных свойств, изученных в основном Генки. Рассмотрим эти свойства.
1) Вдоль линии скольжения давление изменяется пропорционально углу линии скольжения с осью
2) Если переходить от одной линии скольжения семейства
В самом деле, из соотношений
вытекает, что
Возьмем две какие-либо линии скольжения
Внося эти значения в формулы (18) для точек пересечения
т. е.
Очевидно, что мы придем к аналогичным выводам, если будем переходить от одной линии скольжения семейства
3) Если известно значение
Рис. 5. Рис. 6.
Пусть в точке
Далее, в точке
4) Если некоторый отрезок линии скольжения – прямой, то вдоль него постоянны
Если в некоторой области прямолинейны оба семейства линий скольжения, то в этой области напряжения распределены равномерно, причем параметры
5) Если некоторый отрезок линии скольжения семейства
Рис. 7.
В такой области напряжения
По доказанному вдоль каждого из прямолинейных отрезков оба параметра
6) Прямые отрезки, отсекаемые линиями скольжения другого семейства, имеют одинаковую длину. В самом деле, рассмотрим линии скольжения
7) Будем передвигаться вдоль некоторой лини скольжения; тогда радиусы кривизны линий скольжения другого семейства в точках пересечения изменяются на пройденные расстояния (вторая теорема Генки).
Радиусы кривизны
Радиус кривизны
Вычислим производную от
По доказанному угол
Второе соотношение выводится подобно первому.
Точки пересечения
Радиус кривизны
|
Рис. 8. Рис. 9.
Теорема Генки может быть представлена также и в другой форме (Прандтль): центры кривизны
8) Теорема Генки показывает, что радиус кривизны линий скольжения
Если пластическое состояние простирается достаточно далеко, то радиус кривизны линий
Имея в
как для линий
9) Если производные компонент напряжения испытывают разрывы при переходе через линию скольжения (например, через некоторую линию
В локальной системе
Производная
На
т. е. кривизна также изменяется скачком.
Таким образом, ортогональная сетка линий скольжения может быть скомпонована из кусков различных аналитических кривых; в местах склейки касательная непрерывно поворачивается, кривизна же испытывает, вообще говоря, разрывы.
Список литературы
1. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М., 1969.