Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики (Технический университет)
Гуманитарный факультет

Индивидуальная работа по дисциплине Эконометрика

на тему

Дискретное преобразование Фурье

Выполнил: студент

Рогов Ш.В., группа 4071

Руководитель: Коростелева Т.А.

Санкт – Петербург

2010

Дискретное преобразование Фурье
Существует две формы преобразования Фурье - интегральное преобразование  (1)

и

 (2),

которое определено на бесконечном интервале непрерывных значений времени и отображает непрерывную временную функцию в частотную область, и непрерывно-дискретное преобразование

(3),

которое определено на бесконечном интервале дискретных значений времени и тем самым дает возможность определять частотный состав сигнала, заданного бесконечным временным рядом. Для вычислений на ЭВМ применяется третья форма записи - дискретное преобразование Фурье, в которой как X(
f), так и x(
t) дискретны и пределы суммирования конечны:

                            (4)

Дискретные значения частот в преобразовании (4) обусловлены конечной длиной записи, т.е. конечностью временного ряда. Здесь для краткости, как и в случае непрерывно-дискретного преобразования, вместо x(
iT) используется обозначение x(
i). Точно также вместо X(
bk) записано X(
k). Величина b зависит  от  интервала  дискретизации: b=(
NT)^Г1.
К форме записи (4) можно перейти от непрерывно-дискретного преобразования Фурье (3), полагая x(
i)=0 для i<0 и i>(
N-1), а также определяя дискретные значения частот следующим образом: f_k=
bk  . Покажем это.
 
Укажем некоторые особенности дискретного преобразования Фурье, знание которых необходимо для правильного составления алгоритма вычисления на ЭВМ.

1. Согласно теореме Котельникова, максимально возможной частотой в спектре является частота Найквиста F_n=(2
T)^Г1, поэтому соответствующее значение k в формуле (4) определяется из условия f_k=
F_n:

                                                  
Отсюда следует, что частота Найквиста соответствует середине последовательности X(
k). Это означает, что значениям индексов k в промежутке 0,…,
N/2 соответствуют частоты, непревосходящие частоту Найквиста. Какой же смысл имеют величины X(
k) при k>
N/2? Оказывается, что этим величинам соответствуют отрицательные частоты. Покажем это. В формуле (4) заменим индекс k на -p :
                                               
Далее умножим экспоненту на единицу, записанную в виде:  :
                                           

т.е. X(-p)=X(N-p) . Таким образом, при вычислении дискретного преобразования Фурье, подобно случаю непрерывного преобразования, в спектре с необходимостью появятся отрицательные частоты, которые однако отсутствуют в реальном спектре и появление которых и в дискретном, и в непрерывном случаях обусловлено математической операцией преобразования Фурье. Поэтому для N значений данных получается примерно вдвое меньше значений спектральных составляющих.
2. Дискретное преобразование Фурье является периодическим. Покажем это. Предположим, например, что i=
pN+
q; p,
q, - целые числа, причем 0 ≤
q ≤
N-1. Подставим новое значение i в выражение обратного преобразования Фурье:
                           
Последнее в этом выражении равенство обусловлено тем, что множитель  равен единице. Аналогичное доказательство можно провести для функции X(
k). Таким образом, если попытаться продолжить вычисления для индексов k>
N, то полученные значения X(
k) полностью повторят уже имеющиеся: X(
k+
N) =
X(
k) . Поэтому для вычисления функций x(
i) и X(
k) вне множества 0,…,(
N-1) следует брать значения их индексов по модулю N.