Введение
Наиболее естественной формой представления сигнала является задание закона его изменения в функции времени – X(t). Однако для анализа и синтеза систем и сигналов могут быть использованы различные формы их представления. Любой сигнал можно представить в виде суммы некоторых элементарных сигналов. Такое представление возможно при разложении временной функции в ряд по ортогональным (базисным) функциям, что равносильно представлению сигнала в различных системах координат.
В общем виде любой сигнал может быть представлен в виде ряда:
, (1)
где j_k(t) – представляет собой единичные орты, а а_к – проекции функций на соответствующие оси или спектральные коэффициенты, которые определяются по формуле
. (2)
Система функций {j_k(t)} называется базисной, а представление сигнала в форме (1) его разложением по системам базисных функций (СБФ). Для выбранной СБФ сигнал полностью определяется набором (вектором) спектральных коэффициентов {a_k}, т.е. его спектром.
СБФ должна удовлетворять условиям ортогональности и ортонормированности.
Условия ортогональности двух базисных функций заключаются в равенстве нулю их взаимных мощностей

. (3)
Условия ортонормированности заключаются в равенстве единице мощности всех базисных функций
 (4)
Любую СБФ можно нормировать, если разделить каждую базисную функцию на ее мощность.
Существует бесконечное множество СБФ, при этом различным СБФ соответствует различная физическая интерпретация сигнала, а значит и практическая реализация. Выбор СБФ зависит от специфики решаемой задачи (например: анализ фильтров, оценка точности, быстродействия и т.д.), используемых методов (временные, частотные, операторные и т.д.) и других факторов.
Наиболее часто используются следующие СБФ:
– Системы единичных непрерывных и дискретных функций.
– Системы тригонометрических базисных функций:
.
Эти функции широко используются при частотном представлении сигналов в рядах Фурье.
– Системы комплексных экспоненциальных функций- . Эти функции используются в преобразованиях Фурье и Лапласа.
– Системы комплексных дискретных экспоненциальных, базисных функций- . Эти функции используются в дискретных преобразованиях Фурье и Лапласа, быстром преобразовании Фурье.
– Полиномиальные СБФ, использующие полиномы Чебышева и Лежандра. Эти функции часто используются для анализа и синтеза цифровых фильтров.
– Двоично – ортогональные СБФ Уолша, Хаара, Радемахера. Эти функции широко используются в вычислительной технике для анализа и синтеза цифровых автоматов.
Базисные функции составляют ядро различных интегральных преобразований, используемых для исследования сигналов и систем (Фурье, Лапласа, Карсона, Хэвисайда, Уолша, Хаара и др.), которые имеют следующую структуру записи:
, . (5)
При этом, различным СБФ соответствует различная интерпретация сигналов.

1. Ряд Фурье и интегральное преобразование Фурье
Любая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле (ограниченная, кусочно-непрерывная и имеющая на протяжении периода конечное число экстремумов), может быть разложена в ряд Фурье:
,
где  – постоянная составляющая функции f(t);
 – круговая частота основной (первой) гармоники;
 – частота первой гармоники;
- амплитуда, частота и начальная фаза к – той гармоники;
;
; ;
; .
Ряд Фурье можно представить в комплексной форме:
; . (6)

Пример 1. Дана периодическая последовательность импульсов, приведенная на рис. 1. Найти сумму ряда.
f(t)
T
t
h

Рис. 1. Периодическая последовательность импульсов

Определим выражение для спектральных коэффициентов
.
Периодическую последовательность импульсов можно представить в виде суммы ряда:
.

Интеграл Фурье

Для апериодических процессов вместо разложения в ряд Фурье используется разложение в интеграл Фурье при выполнении следующих условий: функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле и является абсолютно интегрируемой т.е.
. (7)
Формулы прямого и обратного преобразования Фурье имеют вид:
, . (8)
Пример 2. Определим спектральную плотность для одиночного прямоугольного импульса, приведенного на рис. 2.
 

f(t)
 

h
 

 0  t

Рис. 2. Одиночный прямоугольный импульс

Одиночный прямоугольный импульс может быть представлен следующим выражением:
.
Спектральная плотность для одиночного прямоугольного импульса имеет вид:

Пример Определим спектральную плотность низкочастотного шума корреляционная функция которого имеет вид:

Спектральная плотность при этом равна:


Проверка: Выполним обратное преобразование

Определим оригинал как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции
,
где s_k – значения полюсов; n – количество полюсов; m – кратность полюсов.
При этом, корреляционная функция равна

2. Дискретное преобразование Фурье
В цифровой технике для обработки дискретной информации широко используются ряды Фурье и дискретное преобразование Фурье. При этом, используются комплексные экспоненциальные СБФ, для которых характерны свойства ортогональности, ортонормированности, полноты и мультипликативности
, при k = m+n. (9)

Ряд Фурье может быть представлен в виде
 (10)
где nT (или n) – дискретное время; (2p/N) k – круговая частота w.

Если учесть что x(n)=0 при n<0 то, можно изменить пределы суммирования.

Прямое дискретное преобразование Фурье (ДПФ) имеет вид:
 0 £ k £ N‑1 (11)
Обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ), т.е. спектральные коэффициенты вычисляются по формуле:
 0 £ n £ N‑1 (12)
где N – количество отсчетов N=T/Dt+1; T- интервал времени; Dt – шаг дискретности; n – номер отсчета.
Для сокращения записи преобразований введен поворачивающий множитель:
. (13)

Дискретное преобразование Фурье удобно представить в матричной форме:
, (14)
где X – вектор отсчетов сигнала; x – вектор спектральных коэффициентов; W – квадратичная матрица (N´N) отсчетов базисных функций; W^-1 – обратная W;
 (15)
При реализации алгоритмов вычисления ДПФ необходимо учитывать количество выполняемых арифметических операций и их тип (умножение, сложение и т.д.), процедуры обращения к памяти и ее объем для хранения коэффициентов. В дискретном преобразовании Фурье необходимо выполнить N² умножений и N² сложений.
Если число точек N небольшое или большое число точек с нулевыми значениями, то целесообразно использовать ДПФ, в противном случае целесообразно использовать так называемое быстрое преобразование Фурье (БПФ). Сущность БПФ заключается в прореживании исходной выборки сигнала по времени – n или по частоте – k.
При этом, для вычисления спектральных коэффициентов требуются одни и те же промежуточные спектры, что существенно сокращает объем вычислений. В некоторых случаях оказывается удобная БПФ с прореживанием по времени, в других случаях по частоте.
Пример 4. Определить дискретную спектральную плотность, если спектральная плотность непрерывного сигнала равна

.
Решение: Алгоритм решения задачи можно представить в виде
.
1. Для заданной спектральной плотности определим корреляционную функцию


2. Определим дискретную корреляционную функцию

Определим дискретную спектральную плотность

4. Определим дискретную спектральную плотность в форме Z‑преобразования, выполнив подстановку z = e^pT.


Проверка: Определим дискретную корреляционную функцию

Для выражения спектральной плотности определим значения полюсов – z_k, их количество и кратность – m

Используя теорему Коши о вычетах, корреляционную функцию можно определить как сумму вычетов по полюсам подынтегральной функции

Так как корреляционная функция является четной, то ее можно представить в виде


Выводы
При реализации алгоритмов БПФ возможно распараллеливание вычислений (специализированные процессоры), что позволяет ускорить выполнение преобразований.
Области применения дискретного преобразования Фурье:
дискретный спектральный анализ;
моделирование цифровых фильтров;
распознавание образов;
дискретный анализ речевых сигналов;
исследование дискретных систем управления.

Список использованной литературы
1. Шеннон К. Математическая теория связи. – В сб. «Работы по теории информации и кибернетике». М., «Иностранная литература», 1963.
2. Фано К. Передача информации. Статистическая теория связи. М., «Мир», 1965.
3. Балюкевич Э.Л. Элементы теории кодирования. М., МЭСИ, 1976.
4. Стратонович Р.Л. Теория информации. М., «Советское радио», 1975.
5. Лапа В.Г. Математические основы кибернетики. Киев, «Вища школа», 1974.
6. Гринченко А.Г. Теория информации и кодирование: Учебн. пособие. – Харьков: ХПУ, 2000.
7. Цымбал В.П. Теория информации и кодирование. – М.: Высш. шк., 1986.
8. Гойфман Э.Ш., Лосев Ю.И. Передача информации в АСУ. – М.: Связь, 1976.