Реферат

Реферат Основные элементарные функции, их свойства и графики

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 22.11.2024





Национальный научно-исследовательский университет

-ИрГТУ-

Кафедра прикладной геологии


Реферат по высшей математике

На тему: «Основные элементарные функции,

их свойства и графики»
Выполнил:
.

Проверил:

преподаватель

Коваленко Е.В.
Иркутск 2010

Содержание:
Показательные функции: - 3 -

Степенные функции: - 3 -

Логарифмические функции: - 3 -

Тригонометрические функции: - 3 -

Обратные тригонометрические функции: - 3 -

Список использованной литературы: - 3 -

Список рисунков: - 3 -
Показательные функции:
Определение. Функция, заданная формулой у=ах (где а>0, а≠1), называется показательной функцией с основанием а.

Сформулируем основные свойства показательной функции :

1.     Область определения — множество (R) всех действительных чисел.

2.     Область значений — множество (R+) всех положительных действительных чисел.

3.     При а > 1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<а<1 функция убывает.

4.     Является функцией общего вида.


Рис. 1 График функции , на интервале x Î [-3;3]


Рис. 2 График функции , на интервале x Î [-3;3]
Степенные функции:
Функция вида у(х)=хn, где n – число Î R, называется степенной функцией. Число n может принимать раличные значения: как целые, так и дробные, как четные, так и нечетные. В зависимости от этого, степенная функция будет иметь разный вид. Рассмотрим частные случаи, которые являются степенными функциями и отражают основные свойства данного вида кривых в следующем порядке: степенная функция у=х² (функция с четным показателем степени – парабола), степенная функция у=х³ (функция с нечетным показателем степени – кубическая парабола) и функция у=√х (х в степени ½) (функция с дробным показателем степени), функция с отрицательным целым показателем (гипербола).

Степенная функция у=х²

1.     D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

2.     E(y)=[0;∞) - функция принимает положительные значения на всей области определения;

3.     При х=0 у=0 - функция проходит через начало координат O(0;0).

4.     Функция убывает на промежутке (-∞;0] и возрастает на промежутке [0;∞).

5.     Функция является четной (симметрична относительно оси Оу).

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х², функция может быть уже/шире и направлена вверх/вниз.



Рис. 3 График функции , на интервале x Î [-3;3]
Степенная функция у=х³

1.     График функции у=х³ называется кубической параболой. Степенная функция у=х³ обладает следующими свойствами:

2.     D(x)=R – функция определена на все числовой оси;

3.     E(y)=(-∞;∞) – функция принимает все значения на своей области определения;

4.     При х=0 у=0 – функция проходит через начало координат O(0;0).

5.     Функция возрастает на всей области определения.

6.     Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат).



Рис. 4 График функции , на интервале x Î [-3;3]

В зависимости от числового множителя, стоящего перед х³, функция может быть крутой/пологой и возрастать/убывать.

Степенная функция с целым отрицательным показателем:

Если показатель степени n является нечетным, то график такой степенной функции называется гиперболой. Степенная функция с целым отрицательным показателем степени обладает следующими свойствами:

1.     D(x)=(-∞;0)U(0;∞) для любого n;

2.     E(y)=(-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=(0;∞), если n – четное число;

3.     Функция убывает на всей области определения, если n – нечетное число; функция возрастает на промежутке (-∞;0) и убывает на промежутке (0;∞), если n – четное число.

4.     Функция является нечетной (симметрична относительно начала координат), если n – нечетное число; функция является четной, если n – четное число.

5.     Функция проходит через точки (1;1) и (-1;-1), если n – нечетное число и через точки (1;1) и (-1;1), если n – четное число.



Рис. 5 График функции , на интервале x Î [-3;3]
Степенная функция с дробным показателем
Степенная функция с дробным показателем вида (картинка) имеет график функции, изображенный на рисунке. Степенная функция с дробным показателем степени обладает следующими свойствами: (картинка)

1.     D(x) Î R, если n – нечетное число и D(x)=[0;∞), если n – четное число ;

2.     E(y) Î (-∞;0)U(0;∞), если n – нечетное число; E(y)=[0;∞), если n – четное число;

3.     Функция возрастает на всей области определения для любого числа n.

4.     Функция проходит через начало координат в любом случае.


Рис. 6 График функции , на интервале x Î [0;3]


Рис. 7 График функции , на интервале x Î [0;5]



Рис. 8 График функции , на интервале x Î [-3;3]
Логарифмические функции:
Логарифмическая функция у = loga x обладает следующими свойствами :

1.     Область определения D(x) Î (0; + ∞).

2.     Область значений E(y) Î ( - ∞; + ∞)

3.     Функция ни четная, ни нечетная (общего вида).

4.     Функция возрастает на промежутке (0; + ∞) при a > 1, убывает на (0; + ∞) при 0 < а < 1.

График функции у = loga x может быть получен из графика функции у = ах с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 9 построен график логарифмической функции для а > 1, а на рисунке 10 - для 0 < a < 1.



Рис. 9 График функции  ; на интервале x Î [0;5]



Рис. 10 График функции  ; на интервале x Î [0;5]

Тригонометрические функции:
Функции y = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg х называют тригонометрическими функциями.

Функции у = sin х, у = tg х, у = ctg х нечетные, а функция у = соs х четная.
Функция y = sin (х).

1.     Область определения D(x) Î R.

2.     Область значений  E(y) Î [ - 1; 1].

3.     Функция периодическая; основной период равен 2π.

4.     Функция нечетная .

5.     Функция возрастает на промежутках [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] и убывает на промежутках [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n Î Z.

График функции у = sin (х) изображен на рисунке 11.



Рис. 11 График функции  ; на интервале x Î [-2;2]
Функция y = cos(х).

1.     Область определения D(x) Î R.

2.     Область значений E(y) Î [ - 1; 1].

3.     Функция периодическая с основным периодом 2π.

4.     Функция четная.

5.     Функция убывает на промежутках [2πn; π+ 2πn] и возрастает на промежутках [-π+ 2πn; 2πn], nπZ.

График функции у = соs (х) изображен на рисунке 12.


Рис. 12 График функции  ; на интервале x Î [-2;2]

Функция y = tg х.

1.     Область определения: D(x) Ï π/2 + πk, kÎZ.

2.     Область значений E(y) Î (- ∞; + ∞)

3.     π- основной период функции.

4.     Функция нечетная.

5.     Функция возрастает на промежутках ( -π/2 +πn;π/2 +πn).

График функции у = tg х изображен на рисунке 13.



Рис. 13 График функции  ; на интервале x Î (- ;)

Функция y = ctg х.

1.     Область определения функции: D(x) Ï  xπ/2 +πk, kÎZ.

2.     Область значений функции E(y) Î (- ∞; + ∞).

3.     Функция периодическая с основным периодом π.

4.     Функция нечетная.

5.     Функция у = ctg х убывает на промежутках (πn;π+πn).

График функции у = ctg х изображен на рисунке 14.



Рис. 14 График функции  ; на интервале x Î (-𝜋;)
Обратные тригонометрические функции:
Функции y = arcsin (х), у = arccos (х), у = arctg (х), у = arcctg (х) называют обратными тригонометрическими функциями.

Функция
y
=
arcsin
(
x
):


Свойства функции y = arcsin (x):

1. Область определения D(x)Î[−1;1]

2. Область значения  E(y)Î [−π/2;π/2]

3. y=arcsin(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D

5. График y = arcsin(x) симметричен графику y = sin(x) относительно линии y=x

6. y=arcsin(x) нечетная функция т.е. x[−1;1] arcsin(−x)=−arcsin(х)

График функции y = arcsin (x)  изображен на рисунке 15.



Рис. 15 График функции  ; на интервале x Î [- ;]

Функция
y
=
arccos
(
x
):


Свойства функции y = arccos (x):

1. Область определения D(x)Î[−1;1]

2. Область значения  E(y)Î [0;π]

3. y=arccos(x)- непрерывная строговозрастающая функция на D

5. График y = arccos(x) симметричен графику y = cos(x) относительно линии y=x

6. y=arccos(x) функция общего вида

График функции y = arccos (x)  изображен на рисунке 16.





Рис. 16 График функции  ; на интервале x Î [- ;]

Функция
y
=
arctg
(
x
):


Свойства функции y = arctg (x):

1.     Область определения D(x)Î(- ∞;+∞)

2.     Область значения  E(y)Î [−π/2;π/2]

3.     y=arctg (x)- непрерывная строговозрастающая функция на D

4.     График y = arctg(x) симметричен графику y = tg(x) относительно линии y=x

5.     y=arctg (x) нечетная функция.

График функции y = arctg (x)  изображен на рисунке 17.


Рис. 17 График функции  ; на интервале x Î [- 5; 5]

Функция
y
=
arc
с
tg
(
x
):


Свойства функции y = arcсtg (x):

1.     Область определения D(x)Î(- ∞;+∞)

2.     Область значения  E(y)Î [0 ; π]

3.     y=arctg (x)- непрерывная строгоубывающая функция на D

4.     График y = arcсtg(x) симметричен графику y = сtg(x) относительно линии y=x

5.     y=arcctg (x) функция общего вида.

График функции y = arcctg (x)  изображен на рисунке 18.



Рис. 18 График функции .
Список использованной литературы:

1.     Алгебра и начала анализа, учебник для 10 класса общеобразовательных учреждений ; С.М. Никольский; М. Просвещение, 2001

2.     Конспект лекции по высшей математике.

Некоторые изображения взяты из сети Интернет, графики функции построены в программе Microsoft Office Exel.

Список рисунков:

Рис. 1 График функции , на интервале x Î [-3;3] ………………………- 3 -

Рис. 2 График функции , на интервале x Î [-3;3] ..…………………..- 3 -

Рис. 3 График функции , на интервале x Î [-3;3] ………………………- 3 -

Рис. 4 График функции , на интервале x Î [-3;3]……………………… - 3 -

Рис. 5 График функции , на интервале x Î [-3;3] …………………......- 3 -

Рис. 6 График функции , на интервале x Î [0;3] ……………………..- 3 -

Рис. 7 График функции , на интервале x Î [0;5]…..………………..- 3 -

Рис. 8 График функции , на интервале x Î [-3;3] …………………...…..- 3 -

Рис. 9 График функции  ; на интервале x Î [0;5]…………………... - 3 -

Рис. 10 График функции  ; на интервале x Î [0;5] …………..……...- 3 -

Рис. 11 График функции  ; на интервале x Î [-2;2] …………..- 3 -

Рис. 12 График функции  ; на интервале x Î [-2;2] …………..- 3 -

Рис. 13 График функции  ; на интервале x Î (- ;) ………..- 3 -

Рис. 14 График функции  ; на интервале x Î (-𝜋;) ……………- 3 -

Рис. 15 График функции  ; на интервале x Î [- ;] ………...- 3 -

Рис. 16 График функции  ; на интервале x Î [- ;] ………..- 3 -

Рис. 17 График функции  ; на интервале x Î [- 5; 5] ………….- 3 -

Рис. 18 График функции . ……………………………………..- 3 -



1. Реферат на тему Культура Древнего Ирана
2. Реферат на тему Les Paul Essay Research Paper Who could
3. Курсовая на тему Творческий путь Александра Сергеевича Пушкина как журналиста
4. Реферат на тему Irony A Tale Of Two Cities Essay
5. Доклад на тему Эфир в теории относительности за и против
6. Реферат Основные определения маркетинга
7. Реферат Унг
8. Реферат Великобритания Изменение структуры хозяйства и проблемы старых отраслей
9. Реферат на тему Segregation And Discrimination In Texas Essay Research
10. Реферат Політичне життя в Україні 1993-2000 років