Типовые динамические звенья и их характеристики

Динамическим звеном называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.
Любую систему можно представить в виде ограниченного набора типовых элементарных звеньев, которые могут быть любой природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно представить в виде дробно-рациональной функции:
 (1)
Таким образом, передаточную функцию любой системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и динамические свойства.
Как видно из разложения, можно выделить следующие звенья:
1.                Усилительное (безынерционное).
2.                Дифференцирующее.
3.                Форсирующее звено 1-го порядка.
4.                Форсирующее звено 2-го порядка.
5.                Интегрирующее.
6.                Апериодическое (инерционное).
7.                Колебательное.
8.                Запаздывающее.
При исследовании систем автоматического управления она представляется в виде совокупности элементов не по их функциональному назначению или физической природе, а по их динамическим свойствам. Для построения систем управления необходимо знание характеристик типовых звеньев. Основными характеристиками звеньев являются дифференциальное уравнение и передаточная функция.
Рассмотрим основные звенья и их характеристики.
Усилительное звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:
 (2)
или передаточной функцией:
 (3)
При этом переходная функция усилительного звена (рис. 1а) и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:
 

t

t

0

h(t)

0

k.1(t)

k(t)

k.d(t)

 

а) б)
Рис. 1
Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:

.

+j

k   +

АФХ

АЧХ

ФЧХ

0

0

k

0

w0w

w0w

j(w)

A(w)

h(t)

 

Рис. 2
Логарифмическая частотная характеристика усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением .

L(w)

w

k<1

0

k>1

k=1

ЛАЧХ

 

Рис. 3
Примеры звена:
1.                Усилители, например, постоянного тока (рис. 4а).
2.                Потенциометр (рис. 4б).

Æ

Æ

Æ

Æ

Uвых

Uвх

R

Æ

Roc

Æ

Rвх

Uвых

Uвх

 

а) б)
Рис. 4

3. Редуктор (рис. 5).

wвых

wвх

			K(p)=i=wвых /wвх.

 

Рис. 5
Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:
 (4)
или передаточной функцией:
 (5)
где Т – постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k – коэффициент передачи.
При этом переходная функция апериодического звена (рис. 6а) и его функция веса (рис. 6б) соответственно имеют вид:
 

h(t) k×1(t)                    0                                     t              T             а)

k/T

k(t)

			0                             t                                          б)

 

Рис. 6
Частотные характеристики апериодического звена (рис. 7а-в) опреде-ляются соотношениями:

-k/2

-p/4

-p/2

k/2          k    +

ФЧХ

0

w0w

j(w)

wc=1/T

+j

АФХ

wc = 1/T

k  k Ö2

АЧХ

0

w0w

A(w)

wc  =1/T

h(t)

 

а) б)                              в)
Рис. 7
Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле


При

+20     0 -20

w

ЛАЧХ

L(w)

-20 дБ/дек

wс

0.1    1     10  100

 

Рис. 8
Это асимптотические логарифмические характеристики, истинная характеристика совпадает с ней в области больших и малых частот, а максимальная погрешность будет в точке, соответствующей сопряженной частоте, и равна около 3 дБ. На практике обычно используют асимптотические характеристики. Их основное преимущество в том, что при изменении параметров системы (k и T) характеристики перемещаются параллельно самим себе.
Примеры звена:
1. Апериодическое звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 9).

K(p) = k/(Tp+1); T = RосCос; k = RосRвх.

Rвх

Uвых

Uвх

Сoc

Rос

 

Æ Æ
Рис. 9

2. Звенья на RLC-цепях (рис. 10).

	L

 

R

Uвх

С

Uвх

Æ Æ Æ Æ

			R
									Uвых
	Uвых

 

Æ Æ Æ Æ
Рис. 10
4. Механические демпферы (рис. 11).

X

		Y

 

Рис. 11
Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:
 (6)
или передаточной функцией:

 (7)
При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 12а) и его функция веса (рис. 12б) соответственно имеют вид:
 

0                                                                 t                  а)

h(t)

1/Т

1/T

k(t)

0                                                          t             6)

 

Рис. 12
Частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 13) определяются соотношениями:

w=¥

+j

+

АФХ

0                  w

-p/2

АЧХ

A(w)

0                      w

ФЧХ

j(w)

h(t)

 

Рис. 13

Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 14) определяются по формуле:

w

0

ЛАЧХ

L(w)

-20 дБ/дек

wс

+20

-20

0.1    1     10  100

 

Рис. 14
Пример звена. Интегрирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 15).

Rвх

Uвых

Uвх

Сoc

			K(p) =  1/Tp; T = RвхCос.

 

Æ Æ
Рис. 15
Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением: