1.Основные свойств и упрощённые способы исчисления средних величин

Понятие средней величины. Область применения средних величин в статистическом исследовании

Средние величины используются на этапе обработки и обобщения полученных первичных статистических данных. Потребность определения средних величин связана с тем, что у различных единиц исследуемых совокупностей индивидуальные значения одного и того же признака, как правило, неодинаковы.

Средней величиной называют показатель, который характеризует обобщенное значение признака или группы признаков в исследуемой совокупности.

Если исследуется совокупность с качественно однородными признаками, то средняя величина выступает здесь как типическая средняя. Например, для групп работников определенной отрасли с фиксированным уровнем дохода определяется типическая средняя расходов на предметы первой необходимости, т.е. типическая средняя обобщает качественно однородные значения признака в данной совокупности, каковым является доля расходов у работников данной группы на товары первой необходимости.

При исследовании совокупности с качественно разнородными признаками на первый план может выступить нетипичность средних показателей. Такими, к примеру, являются средние показатели произведенного национального дохода на душу населения (разные возрастные группы), средние показатели урожайности зерновых культур по всей территории России (районы разных климатических зон и разных зерновых культур), средние показатели рождаемости населения по всем регионам страны, средние температуры за определенный период и т.д. Здесь средние величины обобщают качественно разнородные значения признаков или системных пространственных совокупностей (международное сообщество, континент, государство, регион, район и т.д.) или динамических совокупностей, протяженных во времени (век, десятилетие, год, сезон и т.д.). Такие средние величины называют системными средними.

Таким образом, значение средних величин состоит в их обобщающей функции. Средняя величина заменяет большое число индивидуальных значений признака, обнаруживая общие свойства, присущие всем единицам совокупности. Это, в свою очередь, позволяет избежать случайных причин и выявить общие закономерности, обусловленные общими причинами.

Виды средних величин и методы их расчета

На этапе статистической обработки могут быть поставлены самые различные задачи исследования, для решения которых нужно выбрать соответствующую среднюю. При этом необходимо руководствоваться следующим правилом: величины, которые представляют собой числитель и знаменатель средней, должны быть логически связаны между собой.

Первая категория степенных средних включает: среднюю арифметическую, среднюю гармоническую, среднюю квадратическую и среднюю геометрическую.

Введем следующие условные обозначения:

- величины, для которых исчисляется средняя;

- средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;

- частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

Различные средние выводятся из общей формулы степенной средней:



при k = 1 - средняя арифметическая; k = -1 - средняя гармоническая; k = 0 - средняя геометрическая; k = -2 - средняя квадратическая.

Средние величины бывают простые и взвешенные. Взвешенными средними называют величины, которые учитывают, что некоторые варианты значений признака могут иметь различную численность, в связи с чем, каждый вариант приходится умножать на эту численность. Иными словами, «весами» выступают числа единиц совокупности в разных группах, т.е. каждый вариант «взвешивают» по своей частоте. Частоту f называют статистическим весом или весом средней.

Средняя арифметическая - самый распространенный вид средней. Она используется, когда расчет осуществляется по несгруппированным статистическим данным, где нужно получить среднее слагаемое. Средняя арифметическая - это такое среднее значение признака, при получении которого сохраняется неизменным общий объем признака в совокупности.

Формула средней арифметической (простой) имеет вид



где n - численность совокупности.

Например, средняя заработная плата работников предприятия вычисляется как средняя арифметическая:



Определяющими показателями здесь являются заработная плата каждого работника и число работников предприятия. При вычислении средней общая сумма заработной платы осталась прежней, но распределенной как бы между всеми работниками поровну. К примеру, необходимо вычислить среднюю заработную плату работников небольшой фирмы, где заняты 8 человек:



При расчете средних величин отдельные значения признака, который усредняется, могут повторяться, поэтому расчет средней величины производится по сгруппированным данным. В этом случае речь идет об использовании средней арифметической взвешенной, которая имеет вид



Так, нам необходимо рассчитать средний курс акций какого-то акционерного общества на торгах фондовой биржи. Известно, что сделки осуществлялись в течение 5 дней (5 сделок), количество проданных акций по курсу продаж распределилось следующим образом:

1 - 800 ак. - 1010 руб.

2 - 650 ак. - 990 руб.

3 - 700 ак. - 1015 руб.

4 - 550 ак. - 900 руб.

5 - 850 ак. - 1150 руб.

Исходным соотношением для определения среднего курса стоимости акций является отношение общей суммы сделок (ОСС) к количеству проданных акций (КПА):

ОСС = 1010 ·800+990·650+1015·700+900·550+1150·850= 3 634 500;

КПА = 800+650+700+550+850=3550.

В этом случае средний курс стоимости акций был равен



Необходимо знать свойства арифметической средней, что очень важно как для ее использования, так и при ее расчете. Можно выделить три основных свойства, которые наиболее всего обусловили широкое применение арифметической средней в статистико-экономических расчетах.

Свойство первое (нулевое): сумма положительных отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна сумме отрицательных отклонений. Это очень важное свойство, поскольку оно показывает, что любые отклонения (как с +, так и с -), вызванные случайными причинами, взаимно будут погашены.

Доказательство:



Свойство второе (минимальное): сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа (а), т.е. есть число минимальное.

Доказательство.

Составим сумму квадратов отклонений от переменной а:



Чтобы найти экстремум этой функции, необходимо ее производную по «а» приравнять нулю:



Отсюда получаем:





Следовательно, экстремум суммы квадратов отклонений достигается при . Этот экстремум - минимум, так как функция не может иметь максимума.

Свойство третье: средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:  при а = const.

Кроме этих трех важнейших свойств средней арифметической существуют так называемые расчетные свойства, которые постепенно теряют свою значимость в связи с использованием электронно-вычислительной техники:

• если индивидуальное значение признака каждой единицы умножить или разделить на постоянное число, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
• средняя арифметическая не изменится, если вес (частоту) каждого значения признака разделить на постоянное число;
• если индивидуальные значения признака каждой единицы уменьшить или увеличить на одну и ту же величину, то средняя арифметическая уменьшится или увеличится на ту же самую величину.

Средняя гармоническая. Эту среднюю называют обратной средней арифметической, поскольку эта величина используется при k = -1.

Простая средняя гармоническая используется тогда, когда веса значений признака одинаковы. Ее формулу можно вывести из базовой формулы, подставив k = -1:



К примеру, нам нужно вычислить среднюю скорость двух автомашин, прошедших один и тот же путь, но с разной скоростью: первая - со скоростью 100 км/ч, вторая - 90 км/ч. Применяя метод средней гармонической, мы вычисляем среднюю скорость:



В статистической практике чаще используется гармоническая взвешенная, формула которой имеет вид



Данная формула используется в тех случаях, когда веса (или объемы явлений) по каждому признаку не равны. В исходном соотношении для расчета средней известен числитель, но неизвестен знаменатель.

Например, при расчете средней цены мы должны пользоваться отношением суммы реализации к количеству реализованных единиц. Нам не известно количество реализованных единиц (речь идет о разных товарах), но известны суммы реализаций этих различных товаров. Допустим, необходимо узнать среднюю цену реализованных товаров:

Вид товара	Цена за единицу, руб.	Сумма реализаций, руб.
а	50	500
б	40	600
с	60	1200

Получаем



Если здесь использовать формулу средней арифметической, то можно получить среднюю цену, которая будет нереальна:



Средняя геометрическая. Чаще всего средняя геометрическая находит свое применение при определении средних темпов роста (средних коэффициентов роста), когда индивидуальные значения признака представлены в виде относительных величин. Она используется также, если необходимо найти среднюю между минимальным и максимальным значениями признака (например, между 100 и 1000000). Существуют формулы для простой и взвешенной средней геометрической.

Для простой средней геометрической



Для взвешенной средней геометрической



Средняя квадратическая величина. Основной сферой ее применения является измерение вариации признака в совокупности (расчет среднего квадратического отклонения).

Формула простой средней квадратической



Формула взвешенной средней квадратической



В итоге можно сказать, что от правильного выбора вида средней величины в каждом конкретном случае зависит успешное решение задач статистического исследования. Выбор средней предполагает такую последовательность:

а) установление обобщающего показателя совокупности;

б) определение для данного обобщающего показателя математического соотношения величин;

в) замена индивидуальных значений средними величинами;

г) расчет средней с помощью соответствующего уравнения.

Численность официально зарегистрированных безработных в области характеризуется по следующим данным

	оба пола	в том числе
		мужчин	женщин
число безработных всего	20,6	6,4	14,2
городское население	16,5	5,2	11,3
сельское население	4,1	1,2	2,9

определите:

а) удельный вес мужчин и женщин в общей численности безработных;

б)удельный вес городского населения в численности безработных;

в) сколько безработных города приходится на 100 безработных сельской местности;

г)сколько женщин приходится на 100 мужчин.
а)У_мб= М_б:О_{б *}100,
где

У_мб – удельный вес мужчин безработных,

М_б – мужчины безработные,

О_б – общее количество безработных.

У_мб = 6,4:20,6_*100=31,07(%);



У_жб = Ж_б:О_б*100
, где

У_жб – удельный вес женщин безработных,

Ж_б – женщины безработные,

У_жб= 14,2:20,6_*100=68,93(%);
б) У_гб = Г_б:О_б*100
, где

У_гб – удельный вес городского населения безработных,

Г_б – городское население безработных,

У_гб= 16,5:20,6_*100=80,10(%);



У_сб = С_б:О_б*100
, где

У_сб – удельный вес сельского населения безработных,

С_б – сельское население безработных,

У_сб = 4,1:20,6_*100=19,90(%).
в) К= Г_б: С_б*100, где

К – количество безработных города на 100 безработных сельской местности,

К = 16,5:4,1_*100=402,439(чел.);
г) Р= Ж_б: М_б*100
, где

Р – количество женщин на 100 мужчин;

Р = 14,2:6,4_*100=221,875(жен)

Ответ:

а) У_мб = 31,07%; У_жб= 68,93%; б) У_гб= 80,10%; У_сб = 19,90%; в) К = 402,439(чел.);  г)Р =221,875(жен).

3. Задача

 Имеются данные об обороте розничной торговли потребительского общества до и после ввода в эксплуатацию новых торговых площадей.   (тыс. руб)

	розничный товарооборот
	1994	1995	1996	1997	1998	1999
до открытия новых магазинов	550	570	630	----	----	----
после открытия новых магазинов	----	----	780	820	910	925

Приведите ряды динамики к сопоставимому виду. Сомкните ряды.

(базисный)

годы	товарооборот	А	±тр%	Δтр%	Δтр1%
1994	550	----	100,00	----	----
1995	570	20	103,63	3,63	5,5
1996	630	80	114,54	14,54	5,5

годы	товарооборот	А	±тр%	Δтр%	Δтр1%
1996	780	----	100,00	----	----
1997	820	40	105,12	5,12	7,8
1998	910	130	116,66	16,66	7,8
1999	925	145	118,58	18,58	7,8

(цепной)

годы	товарооборот	А	±тр%	Δтр%	Δтр1%
1994	550	----	100,00	----	----
1995	570	20	103,63	3,63	5,50
1996	630	60	110,52	10,52	5,70

годы	товарооборот	А	±тр%	Δтр%	Δтр1%
1996	780	----	100,00	----	----
1997	820	40	105,12	5,12	7,81
1998	910	90	110,97	10,97	8,20
1999	925	15	101,64	1,64	9,14

в таблице приведены данные о реализации товаров:

товарная группа	количество (кг)		цена за кг (руб)
	январь	февраль	январь	февраль
картофель	12000	20000	5,00	6,50
морковь	10000	18000	7,00	8,00
свекла	8000	11000	5,50	5,50

Определите:

а) общий индекс физического объёма;

б) общий индекс цен;

в) общий индекс фактического товарооборота розничной торговли.

Решение.
Используемая литература:

1.      Книга. Статистика учебное пособие. Толстик Н. В., Матегорина Н. М. 2000г.

2.      Книга. Основы общей теории статистики. Л. И. Кожухарь  1999г.

3.      Книга. Статистика Лекции. Панкратова Ю. П. 1998г.

4.      Книга. Статистика сборник задач. Панкратова Ю. П. 2000г.