Министерство образования и науки Российской Федерации

Кафедра «Теоретическая механика и сопротивление материалов»
Расчетная работа по теоретической механике №1

По теме: «Статика. Кинематика точки»

Вариант 15
Выполнил:
Проверил:
2011
С-1 Вариант 15.

Дано:  Р=10 кН

            М=5 кН*м

            q=2кН/м

 

Найти: Хa, Ya, Yb_.










Решение.

1. Разложим силы.

Px=P*cos45

Py=P*cos45

Q1=q*2

Q2=q*4
2. Покажем реакции в опорах.

Х_A, У_A, У_B.
3. Составим уравнения равновесия.
1) ∑x=0;             Xa+Q1+Px=0.

2) ∑y=0;             Ya-Py-Q2+Yb=0.

3) ∑Ma(Fk)=0;  -Q1*1-Q2*2+Yb*4-Px*2-M=0.

4. Расчет

            Из 1) Xa= -Q1-P*cos45= -4-10*0,707= -11,07

            Из 3) Yb= (Q1+Q2*2+2*P*cos45+M)/4 = (4+8*2+2*10+0,707+5)/4=9,78

            Из 2) Ya= P*cos45+Q2-Yb= 10*0,707+8-9,78=5,29
5.Проверка

∑Md(Fk)=0;  -Ya*4+Xa*2+Q1*1+P*cos45*4+Q2*2-M=0.

                        -5,29*4+(-11,07*2)+4+7,07*4+16-5=-21,15-22,13+4+28,28+16-5=0.

                        0=0.
Ответ: Xa=-11,07.  Ya=5,29.  Yb=9,78.
            C-3. Вариант 15.
Дано:  Р1=5 кН

            P2=8 кН

            М=22 кН*м

            q=3,6 кН/м

 

Найти: Mb.










Решение.

1. Укажем систему отсчета из точки А, (х,у).

2. Разобьем схему на 2 части.

                                          

3. Разложим силы и покажем реакции в опорах.

P2x=P2*cos45

P2y=P2*cos45

Q=q*2

Rax=Ra*cos30

Ray=Ra*cos60

Mb – реактивный момент.

Xc=X¹c;  Yc=Y¹c


4. Составим уравнения равновесия по частям.

     

     I

1) ∑x=0;             Rax+Xc=0.

2) ∑y=0;             Ray-Q+Yc=0.

3) ∑Ma(Fk)=0;  M-2*Q+3*Yc=0.

    

     II

4) ∑x=0;             -X¹c-P2x+Xb=0.

5) ∑y=0;             -Y¹c-P1+Yb-P2y=0.

6) ∑Mc(Fk)=0;  -P1*2-P2y*4-P2x*3+Yb*4+Mb=0.
5. Расчет
Из 3) Yc= (2*Q-M)/3= (14,4-22)/3= -2,53

            Из 2) Ra=(Q-Yc)/cos60=(7,2-(-2,53))/0,5=19,46

            Из 1) Xc= -Ra*cos30=-16,85

            Из 4) Xb=X¹c+P2x=-16,85+5,656=-11,19

            Из 5) Yb=Y¹c+P1+P2y=-2,53+5+5,656=8,126

            Из 6) Mb=P1*2+P2y*4+P2x*3-Yb*4=10+22,62+16,968-32,504=17,084.

           
5.Проверка по I части.
∑Mc(Fk)=0;  -Ray*3+q+m=0.

                        --29.2+7,2+22=0.

                        0=0.
Ответ: Mb=17,084.
С-7. Вариант 15.



Дано:  Q=3 кН

            G=2 кН

            R=0,20 м

            а=0,6 м

            b=0,2 м

            c=0,4 м

            r=0,05 м
Найти: Za, Xa,

Zb,Xb,P.










Решение.

1. Разложим силы.

Qx=Q*cos60

Qz=Q*cos30

Px=P*cos30

Pz=P*cos60
2. Покажем реакции в опорах.

Za, Xa, Zb, Xb.
3. Составим уравнения равновесия.
1) ∑x_к=0;            Xa+Xb-Qx+Px=0.

2) ∑z_к=0;            Za+Zb+Qz-G-Pz=0.

3) ∑Mx(Fk)=0;  Qz*(a+b)+Zb*(a+3b)-G*(a+3b+c)-Pz*(a+3b+c)=0.

4) ∑My(Fk)=0;  -Qz*r+P*R=0.

5) ∑Mz(Fk)=0;  Qx*(a+b)-Xb*(a+3b)-Px*(a+3b+c)=0.
4. Расчет.

            Из 4) P=(Qz*r)/R=(3*0,866*0,05)/0,2=0,65

            Из 3) Zb=(-Qz*(a+b)+G*(a+3b+c)+Pz*(a+3b+c))/(a+3b)=1,6415/1,2=1,386

            Из 5) Xb=(Qx*(a+b)-Px*(a+3b+c))/(a+3b)=(1,2-0,9)/1,2=0,25

Из 1) Xa= -Xb+Qx-Px=-0,25+3*0,5+0,65*0,866=1,8129

Из 2) Za= -Zb-Qz+G+Pz=-1,378-2,598+2+0,65*0,5=-1,641

           

5.Проверка

∑Mx¹(Fk)=0;  -Za*0,8+Zb*0,4-G*0,8-Pz*0,8=0.

                        -1,3128+0,5472-1,6-0,26=0.

                        0=0.
Ответ: P=0,65 кН, Zb=1,368 кН, Xb=0,25 кН, Xa=1,8129 кН, Za= -1,641 кН.

К-1. Вариант 15.
Дано:  x=4cos(πt/3)

                        y=-3sin(πt/3)

                        t₁= 1 c.
Задание: по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t₁ найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории.
Решение.

1. Траектория движения точки y=f(x).

sin(πt/3)=-y/3 +  cos(πt/3)=x/4

получаем

1=x²/16+y²/9     траектория движения точки – эллипс. 
2. Найдем точку М в момент времени t₁= 1 c.

М: x₁=4cos(π/3)=2

    y₁=-3sin(π/3)=-2,6
3. Найдем скорость точки в момент времени t₁:
Vx= х = (4cos(πt/3)) = 4π/3*(-sin(πt/3))

Vy= у = (-3sin(πt/3)) = -π*cos(πt/3)
Vx₁=(-4*3,14)/3*0.866=-3,622

Vy₁= -3,14*0,50=-1,57
Определим модуль скорости:

V=   V²x +V²y=  13,12+2,46= 3,94 см/с
4. Найдем ускорение точки в момент времени t₁:
ax= x = (-4π/3*sin(πt/3)) =-4π²/9*cos(πt/3)

ay= y = (-π*cos(πt/3)) =π²/3*sin(πt/3)
ax₁=-2,191

ay₁=2,846

Определим полное ускорение:

a=  ax²+ay² = 12,9 = 3,6 см/с²

Найдем касательное ускорение точки:

a_T= | (Vx*ax+Vy*ay)/V |= | (7,93-4,468)/3,94|=0,88 см/с²

Найдем нормальное ускорение точки:

a_n= | Vx*ay-Vy*ax| / V= |-10,3 -3,43|/3,94=3,48 см/с²

5. Найдем радиус кривизны траектории

p=V²/a_n=15,52/3,48=4,46 см
Результат вычислений для заданного момента времени t₁.

Координаты точки, см		Скорость, см/с			Ускорение см/с2					Радиус кривизны траектории, см
x	y	Vx	Vy	V	ax	ay	a	aT	an	P
2	-2,6	-3,622	-1,57	3,94	-2,191	2,846	3,6	0,88	3,48	4,46