Реферат Методы прямоугольников и трапеций
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Методы прямоугольников и трапеций. Простейшим методом численного интегрирования является метод прямоугольников. Он непосредственно использует замену определенного интеграла интегральной суммой (3.20). В качестве точек ξi могут выбираться левые (ξ = x
i
-1
) или правые (ξi
=
xi
) границы элементарных отрезков. Обозначая f{xi) = yi, ∆xi = hi, получаем следующие формулы метода прямоугольников соответственно для этих двух случаев:
∫
f(x) dx
+ ... + hnyn-1 (3.24)
∫
f(x) dx
+ ... + hnyn (3.25)
Широко распространенным и более точным является вид формулы прямоугольников, использующий значения функции в средних точках элементарных отрезков (в полуцелых узлах):
∫
f{x)dx
Xi-1/2 = (xi-1 + xi)/2 = xi-1 + hi/2, i = 1,2,... ,n.
В дальнейшем под методом прямоугольников будем понимать последний алгоритм (он еще называется методом средних).
В рассмотренных методах прямоугольников используется кусочно постоянная интерполяция: на каждом элементарном отрезке функция f
(
x
) приближается функцией, принимающей постоянные значения (константой). При этом площадь всей фигуры (криволинейной трапеции) приближенно складывается из площадей элементарных прямоугольников. На рис. 3.2 верхняя, средняя и нижняя горизонтальные штриховые линии относятся к элементарным прямоугольникам, которые соответствуют формулам (3.25), (3.26) и (3.24).
Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т. е. график функции у = f
(
x
) представляется в виде ломаной, соединяющей точки (xi
,
yi
). В этом случае площадь всей фигуры приближенно складывается из площадей элементарных прямолинейных трапеций (рис. 3.2). Площадь каждой такой трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
σi =
Складывая все эти равенства, получаем формулу трапеций для численного интегрирования:
∫
f{x)dx
xi-1 xi-1/2 xi
Рис. З.2. Вычисление σi в методах
прямоугольников и трапеций
Важным частным случаем рассмотренных формул является их применение при численном интегрировании с постоянным шагом hi
=
h
=
const
(
i
= 1,2,...,
n
). Формулы прямоугольников и трапеций в этом случае принимают соответственно вид
∫ f{x)dx
∫ f{x)dx
Погрешность численного интегрирования определяется шагом разбиения. Уменьшая этот шаг, можно добиться большей точности. Правда, увеличивать число точек не всегда возможно. Если функция задана в табличном виде, приходится, как правило, ограничиваться данным множеством точек. Повышение точности может быть в этом случае достигнуто за счет повышения степени используемых интерполяционных многочленов. Рассмотрим два таких способа численного интегрирования: использование квадратичной интерполяции (метод Симпсона) и интерполирование с помощью сплайнов.
Метод Симпсона. Разобьем отрезок интегрирования [а, b
] на четное число п равных частей с шагом h
. На каждом отрезке [х0,х2], [х2,х4],... , [хi
-1
,х
i
+1
], ... , [х
n
-2
,
xn
] подынтегральную функцию f
(
x
) заменим интерполяционным многочленом второй степени:
f(x)
(x) = aix2+bix+ci, xi-1
Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках хi, соответствующим табличным данным уi. В качестве φ
i
(х) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки Mi-1(xi-1,yi-1), Mi(xi,yi), Mi+1(xi+1, yi+1):
φ
i
(x)=
Сумма элементарных площадей σi и σi
+1 (рис. 3.3) может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства xi
+1
–
xi
=
xi
-
xi
-1
=
h
, получаем
σi + σi+1=
∫
φ
i
(x)dx=1/2h2
∫
= h/3(yi-1+4yi+yi+1)
Проведя такие вычисления для каждого элементарного отреза [хi-1,хi+1], просуммируем полученные выражения:
S = h/3(y0+4y1+2y2+4y3+2y4+...+2yn-2+4yn-1+yn).
Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:
∫
f(x)dx
Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол.
Эту формулу можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а, b
] на части с шагами h
и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций (см. п. 5).
Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения п произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид
∫
f(x)dx
Легко видеть, что формула (3.31) совпадет с (3.30), если формулу (3.30) применить для числа отрезков разбиения 2п и шага h
/2.
Пример. Вычислить по методу Симпсона интеграл I
=
∫
Значения функции при п =
10, h
= 0.1 приведены в табл. 3.3.
Применяя формулу (3.30), находим
I=0.1/3[y0+4(y1+y3+y5+y7+y9)+2(y2+y4+y6+y8)+y10]=...=0.785398.
Результат численного интегрирования с использованием метода Симпсона оказался совпадающим с точным значением (шесть значащих цифр).
Один из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона представлен на рис. 3.4. В качестве исходных данных задаются границы отрезка интегрирования [а, b
], погрешность ε, а также формула для вычисления значений подынтегральной функции у = f
(х). Первоначально отрезок [а, b
] разбивается на две части с шагом h
= (
b
— а)/2. Вычисляется значение интеграла 11. Потом число шагов удваивается, вычисляется значение 12 с шагом h
/2. Условие окончание счета принимается в виде | I
1
—12 | < е. Если это условие не выполнено, происходит новое деление шага пополам и т. д.
Отметим, что представленный на рис. 3.4 алгоритм не является оптимальным: при вычислении каждого приближения I
2
не используются значения функции f
(х), уже найденные на предыдущем этапе.
