Реферат Средние величины 3
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
от 25%
договор
Тема 5. СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
5.1. Понятие о средней величине
Средняя величина является обобщающей количественной характеристикой изучаемого признака в исследуемой совокупности. В статистике используются различного рода средние величины.
Средняя арифметическая – частное от деления суммы вариант на их число. Она бывает следующих видов: простая или взвешенная.
Средняя арифметическая простая, рассматривается в случае, когда известны все значения признаков х1, х2, , хп и рассчитывается по формуле
где n – число вариант;
х – значение признака.
Средняя арифметическая взвешенная, исчисляется, если известны отдельные значения признаков и их частоты, по следующей формуле:
где х – значение признака;
f – частота, которая может быть абсолютной (в разах) и относительной (доля, удельный вес частот во всей совокупности) величиной.
Средняя арифметическая имеет следующие свойства:
произведение средней арифметической на сумму частот равно сумме произведений вариант на соответствующие им частоты;
если все варианты уменьшить или увеличить на одно и то же постоянное число, то средняя арифметическая из этих вариант уменьшится или увеличится на то же самое число;
если все варианты увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая увеличится или уменьшится во столько же раз;
если все частоты одинаково увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя арифметическая не изменится;
сумма отклонений вариант от их средней арифметической величины равна нулю.
Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Данный показатель применяется тогда, когда неизвестна численность совокупности и приходится взвешивать варианты по объемам признака. Средняя гармоническая также может быть простой и взвешенной.
Средняя гармоническая простая исчисляется по формуле
Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:
где W = xf – вес средней гармонической.
Средняя квадратическая (и т. д. для любой степени) рассчитывается по следующим формулам:
простая:
взвешенная:
Средняя геометрическая определяется по следующим формулам:
простая: ,
где Π – знак перемножения.
взвешенная: .
Пример 1. Имеются следующие данные о размере торговой площади магазинов, входящих в районное потребительское общество (табл. 9).
Таблица 9
Магазин | 1-й | 2-й | 3-й | 4-й | 5-й | 6-й | 7-й | 8-й | 9-й | 10-й |
Площадь магазина, м2 | 60 | 100 | 80 | 60 | 60 | 80 | 80 | 80 | 100 | 100 |
Необходимо определить среднюю площадь магазина.
Решение
Так как известна площадь каждого магазина, то для вычисления средней площади магазина следует применить среднюю арифметическую простую:
м2.
Средняя площадь магазина составляет 80 м2.
Пример 2. Приведенные данные в предыдущем примере могут быть представлены в сгруппированном виде (табл. 10).
Площадь магазинов, м2 (признак – х) | 60 | 80 | 100 |
Число магазинов (частота – f ) | 3 | 4 | 3 |
Необходимо определить среднюю площадь магазина.
Решение
Если известны отдельные значения признака и соответствующие ему частоты, то применяется средняя арифметическая взвешенная:
м2.
Средняя площадь магазина составляет 80 м2.
Пример 3. Имеются следующие данные о распределении магазинов по торговой площади (табл. 11).
Таблица 11
Группировка магазинов по торговой площади, м2 (признак – х) | Удельный вес магазинов в общей численности, % (частость – f ) |
40–60 | 20 |
60–80 | 50 |
80–100 | 30 |
Итого | 100 |
Следует определить среднюю площадь магазина.
Решение
Известны отдельные значения признака и их частоты, следовательно, следует применять среднюю арифметическую взвешенную:
.
Так как варианты представлены в виде интервального ряда распределения, то, чтобы воспользоваться указанной формулой, необходимо выразить их одним числом, т. е. следует перейти к дискретному ряду распределения (в этом случае находят середину каждого интервала).
Для первого интервала м2 и т. д. по остальным интервалам. Расчеты следует производить в табл. 12.
Таблица 12
Группировка магазинов по торговой площади, м2 (х) | Удельный вес магазинов в общей численности, % ( f ) | Середина интервала (х) | xf |
40–60 | 20 | 50 | 1000 |
60–80 | 50 | 70 | 3500 |
80–100 | 30 | 90 | 2700 |
Итого | 100 | – | 7200 |
Таким образом, м2.
Средняя площадь магазина равна 72 м2.
Пример 4. Имеются следующие данные о распределении магазинов по площади (табл. 13).
Таблица 13
Площадь магазинов, м2 (признак – х) | Общая площадь магазинов, входящих в данную группу, м2 (w = xf ) |
60 | 180 |
80 | 320 |
100 | 300 |
Итого | 800 |
Необходимо определить среднюю площадь магазина.
Решение
Так как весами является площадь W = xf, то следует применять среднюю гармоническую взвешенную:
м2.
Таким образом, средняя площадь магазина равна 80 м2.
5.2. Вычисление средней из вариационного ряда
«способом моментов»
«Способ моментов» применяется в рядах с равными интервалами на основе свойств средней арифметической. Средняя арифметическая исчисляется по формуле
,
где i – размер интервала;
m1 – момент первого порядка (средняя арифметическая из новых упрощенных вариант ; – новые упрощенные варианты; f – частота);
А – постоянное число (лучше всего взять его равным варианте, у которой наибольшая частота).
Определим среднее значение признака «способом моментов» на следующем примере.
Пример 5. Имеются следующие данные о распределении магазинов облпотребсоюза по торговой площади (табл. 14).
Таблица 14
Группировка магазинов по торговой площади, м2 (х) | Удельный вес магазинов, % ( f ) |
До 40 | 5 |
40–60 | 30 |
60–80 | 40 |
80–100 | 20 |
Свыше 100 | 5 |
Итого | 100 |
Следует определить среднюю площадь магазинов, применив «способ моментов».
Решение
Данные распределения магазинов по торговой площади представлены в виде интервального ряда распределения с равными интервалами (i = 20 м2), следовательно, расчет средней площади магазина можно провести по формуле , применив «способ моментов».
Первый и последний интервалы даны открытыми, т. е. не имеют границ нижней и верхней соответственно. Для определения среднего значения в них границы интервалов следует закрыть. Для первой группы с размером площади до 40 м2 условно считаем, что интервал также равен 20 м2, затем вычитаем 20 м2 из 40 м2 и находим условную нижнюю границу первого интервала (20 – 40). Условную верхнюю границу последнего интервала определяем аналогично (100 – 120).
Расчеты следует проводить в табл. 15.
Таблица 15
Группировка мага- зинов по торговой площади, м2 (х) | Удельный вес магазинов, % (f) | Середина интервала (х) | х – А | | xf |
20–40 | 5 | 30 | –40 | –2 | –10 |
40–80 | 30 | 50 | –20 | –1 | –30 |
60–80 | 40 | 70 | 0 | 0 | 0 |
80–100 | 20 | 90 | 20 | 1 | 20 |
100–120 | 5 | 110 | 40 | 2 | 10 |
Итого | 100 | – | – | – | –10 |
Наибольшая частота f равна 40, следовательно, в качестве постоянной величины А принимаем 70.
Определяем момент первого порядка: .
Среднее значение признака равно: + 70 =
= 68 м2.
Следовательно, средняя площадь магазина составляет 68 м2.
5.3. Структурные средние
В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды и медианы. Мода (Мо) – наиболее часто повторяющееся значение признака. Медиана (Ме) – величина признака, которая делит упорядоченный ряд на две равные по численности части.
Если расчет моды и медианы проводится в дискретном ряду, то он опирается на их понятия. В интервальном ряду распределения для расчета моды и медианы применяют следующие формулы.
Мода рассчитывается по формуле
,
где хМо – нижнее значение модального интервала;
iМо – размер модального интервала;
fМо – частота модального интервала;
fМо–1 – частота, предшествующая модальной частоте;
fМо+1 – частота, последующая за модальной частотой.
Модальному интервалу соответствует наибольшая (модальная) частота. Медиана рассчитывается по формуле
,
где хМе – нижнее значение медианного интервала;
iМе – размер медианного интервала;
f – сумма частот;
SМе–1 – сумма частот, предшествующих медианной частоте;
fМе – медианная частота.
Медианному интервалу соответствует медианная частота. Таким интервалом будет интервал, сумма накопленных частот которого равна или превышает половину суммы всех частот.
Рассмотрим определение моды и медианы на следующих примерах.
Пример 6. В результате статистического обследования области получены следующие данные по распределению семей по числу детей (табл. 16).
Таблица 16
Число детей (х) | Количество семей, в % к итогу ( f ) |
0 | 5 |
1 | 32 |
2 | 34 |
3 | 16 |
4 | 6 |
5 | 4 |
6 и более | 3 |
Итого | 100 |
Следует определить моду и медиану.
Решение
В дискретных рядах модой является варианта с наибольшей частотой. Наибольшая частота – 34, следовательно мода равна 2.
Для вычисления медианы определим сумму частот ряда (f = 100), затем рассчитаем полусумму .
Так как сумма накопленных частот 5 + 32 + 34 = 71 превышает полусумму (71 > 50), то варианта, имеющая значение 2 и соответствующая этой накопленной сумме частот, и есть медиана.
Пример 7. В результате статистического обследования получены следующие данные распределения продавцов магазинов облпотребсоюза по возрасту (табл. 17).
Таблица 17
Группировка продавцов по возрасту, лет (х) | Удельный вес продавцов, % ( f ) |
До 20 | 6 |
20–30 | 24 |
30–40 | 35 |
Окончание табл. 17 | |
Группировка продавцов по возрасту, лет (х) | Удельный вес продавцов, % ( f ) |
40–50 | 26 |
Свыше 50 | 9 |
Итого | 100 |
Необходимо определить моду и медиану.
Решение
В интервальных рядах мода и медиана определяются по вышеприведенным формулам.
Сначала определим модальный интервал, он соответствует наибольшей частоте. Так как наибольшая частота равна 35 и является модальной, то интервал 30–40 является модальным интервалом. Затем подставим данные в следующую формулу:
лет.
Определим медианный интервал. Полусумма частот равна 50 . Накапливая частоты, определим интересующий интервал. Так как сумма накопленных частот 6 + 24 + 35 = 65 превышает полусумму (65 > 50), значит 35 является медианной частотой, а интервал 30–40 является медианным интервалом.
Затем подставим данные в формулу
.
Таким образом, мода равна 35,5 лет (больше всего продавцов
в возрасте 35,5 лет), медиана – 35,7 лет (50 % продавцов достигли возраста 35,7 лет).