Содержание

Задача 1

Полуфабрикаты поступают на предприятие в виде листов фанеры. Всего имеется две партии материала, причем первая партия содержит 400 листов, а вторая – 250 листов. Из поступающих листов фанеры необходимо изготовить комплекты, включающие 4 детали 1 вида, 3 детали 2 вида, и 2 детали 3 вида. Лист фанеры каждой партии может раскраиваться различными способами. Количество деталей каждого типа, которое получается при раскрое одного листа соответствующей партии по тому или иному способу раскроя, представлено в таблице. Требуется раскроить материал так, чтобы обеспечить изготовление максимального числа комплектов.

Первая партия					Вторая партия
Детали	Способ раскроя				Детали	Способ раскроя
		1	2	3			1	2
	1	0	6	9		1	6	5
	2	4	3	4		2	5	4
	3	10	16	0		3	8	0

Решение

Обозначим через х_ij число единиц из i-й партии (1,2) фанеры, которые намечено раскроить j -м способом (1,2,3) , так что из i -й партии при j -м способе раскроя будет получено а_ijkх_ij деталей к -го вида. Всего из всей i -й партии деталей к -го вида будет получено , а из всех m партий их будет получено:

Из первой партии фанеры:

Деталей первого вида: 400(0х₁₁+6х₁₂+9х₁₃)

Деталей второго вида: 400(4х₁₁+3х₁₂+4х₁₃)

Деталей третьего вида: 400(10х₁₁+16х₁₂+0х₁₃)

Из второй партии фанеры:

Деталей первого вида: 250(6х₂₁+5х₂₂)

Деталей второго вида: 250(5х₂₁+4х₂₂)

Деталей третьего вида: 250(8х₂₁+0х₂₂)

Всего из двух партий фанеры:

Деталей первого вида: 400(6х₁₂+9х₁₃)+ 250(6х₂₁+5х₂₂)

Деталей второго вида: 400(4х₁₁+3х₁₂+4х₁₃)+ 250(5х₂₁+4х₂₂)

Деталей третьего вида: 400(10х₁₁+16х₁₂)+ 2000х₂₁

Число полных комплектов, которое можно выпустить по данному плану, будет равно:

Введем дополнительную переменную х – отходы при используемом способе раскроя. В результате, получим задачу линейного программирования:

z = x → min,

при ограничениях:







х₁₁+х₁₂+х₁₃=400

х₂₁+х₂₂+х₂₃=250

, где х, х_ij – целые числа.

Задача 2

Решить графическим методом.

Решить графическим методом

Z= 3 х₁-4х₂ → max при условиях:

-х₁ +х₂≤1

-х₁ +2х₂≥-2

х₁ +х₂≥-1

-3х₁+2х₂ ≤6;

2х₁– х₂≤2

х₁ ≥0; х₂≥0

Решение

Запишем ограничения в виде равенств и построим соответствующие им линии уровня в системе координат. Строим область допустимых значений решения, удовлетворяющую начальным условиям. Семи заданным неравенствам соответствует множество точек плоскости, образующие пятиугольник АВСDE. Неравенства х₁ ≥-4; х₁ +5х₂≥4 могут быть исключены, так как они определяют граничные прямые, не имеющие с АВСDE общих точек.

Строим на плоскости вектор целевой функции . Через начало координат перпендикулярно проводим линию уровня целевой функции Z=0. Линия уровня перемещается в направлении параллельно самой себе, пока не встретится с вершиной области допустимых значений АВСО т. В. Значение Z в точке В является минимальным.

При дальнейшем перемещении линия уровня пройдет через другую вершину ОДР, выходя из области решений – точку С. Значение Z в точке С является максимальным. Значение целевой функции Z_mах в т. С. Найдем её координаты:
2х₁– х₂ =2

х₂=0

С(0; 1)

Z_mах=3*1-4*0=3

Ответ: Z_mах=3.


А

В

С

Z

Задача 4

Удельные затраты С_ij на перевозку 1 т груза вида i транспортом j (руб.) представлены матрицей

С_ij=

Мощности поставщиков А₁=30 тыс.т; А₂=10 тыс.т; А₃=40 тыс.т; А₄=70 тыс.т. Спрос потребителей: В₁=30 тыс.т; В₂=10 тыс.т; В₃=20 тыс.т; В₄=10 тыс.т.

Определить объемы перевозок груза транспортом j (руб.), чтобы суммарные издержки были бы минимальными, построить матрицу объемов перевозок.

Решение

1. Определяем тип задачи. Так как . Задача является открытой. Введем фиктивного потребителя с объемом потребления В_ф.

2. Строим расчетную матрицу с фиктивным потреблением В_ф и удельными затратами на перевозку фиктивного груза С_iф=0.

3. Сформируем опорный план по критерию наименьших удельных затрат на перевозку единицы груза , т. е. min С_iф.

Оставшиеся мощности относятся к фиктивному потребителю: х_iф=А_ii-

Опорный план

	В1=30 тыс.т	В2=10 тыс.т	В3=20 тыс.т	В4=10 тыс.т	Вф	Ui
А1=30 тыс.т	1,2 30	1,6	1,7	1,5 0	0	1,5
А2=10 тыс.т	1,4	1 10	1,2	1,5	0	1
А3=40 тыс.т	1,6	1,4	1,2 20	1,4	0 20	1,2
А4=70 тыс.т	1,5	1,2 0	1,4	1,2 10	0 60	1,2
Vj	1,2	1,2	1,2	1,2	0

4. Проверим полученный план перевозок на вырожденность. Так как

4 столбца + 5 строк-1 > 7 поставок. То задача вырожденная. Для приведения плана к невырожденному состоянию введем в клетки (4;2) и (1,4) фиктивные нулевые поставки.

5. Оптимизируем план, используя метод потенциалов.

С_ij= U_i+ V_j, где U_i– потенциал строки; V_j– потенциал столбца.

Пусть V₄=0. пересчитаем все остальные U_i и V_j и зафиксируем их в опорном плане. U₄=1,2; V_ф =0; V₄ =0-1,2=-1,2; V_ф=0-1,2=-1,2; U₃ =0-(-1,2)=1,2; V₃=1,2-1,2=0; U₁ =1,5-0=1,5; V₁ =1,2-1,5=-0,3; V₂ =0; U₂ =1-0=1.

6. Определяем характеристики свободных клеток: Е_ij= С_ij-(U_i+ V_j)≥0.

Е₁₂=1,6-0-1,5=0,1; Е₁₃=1,7-0-1,5=0,2; Е_1ф=1,2-1,5=-0,3; Е₂₁=1,4+0,3-1=0,7; Е₂₃=1,2-1=0,2; Е₂₄=1,5-1=0,5; Е_2ф=0+1,2-1=0,2; Е₃₁=1,6+0,3-1,2=0,7; Е₃₂=1,4-0-1,2=0,2; Е₃₄=1,4-0-1,2=0,2; Е₄₁=1,5+0,3-1,2=0,5; Е₄₃=1,4-0-1,2=0,2.

7. Характеристики клеток (3,ф) и (4,2) отрицательны, следовательно найденное решение не является оптимальным. Оптимизируем план. Для клетки к (1,ф) строим контур перераспределения.

х_1ф= min{0; 60}=60

0 -	+				0
10 +	60 -			10	60

Перенесем полученные результаты в новый план перераспределения.

	В1=30 тыс.т	В2=10 тыс.т	В3=20 тыс.т	В4=10 тыс.т	Вф	Ui
А1=30 тыс.т	1,2 30	1,6	1,7	1,5	0 0	1,5
А2=10 тыс.т	1,4	1 10	1,2	1,5	0	1
А3=40 тыс.т	1,6	1,4	1,2 20	1,4	0 20	1,2
А4=70 тыс.т	1,5	1,2 0	1,4	1,2 10	0 60	1,2
Vj	1,2	1,2	1,2	1,2	0

Характеристики свободных клеток матрицы неотрицательны, следовательно найденное решение является оптимальным.

Задача решена.

Определим значение целевой функции:

F=30*1,2+10*1+20*1,2+1,2*10=82 (тыс.р.)

Задача 5

Для расчета мощности i-го вида транспорта необходимо воспользоваться значениями: S= 2 смены; z=8 часов; d= 25 дней.

Представлена грузоподъемность транспорта Р₁=10т; Р₂=5т; Р₃=10т; Р₄=15т.

АТП располагает m=4 видами транспортных средств различной грузоподъемности. Их количество n₁=20; n₂=30; n₃=30; n₄=20. На j-й вид продукции приходится Вj(m) спрос: В₁= 120 тыс.р.; В₂= 50 тыс.р.; В₃= 80 тыс.р.; В₄= 100 тыс.р. Известно, что среднее время транспортировки для каждого вида транспорта и вида груза:

Т=

Даны себестоимости перевозок j-го груза i-ым видом транспорта.

С=

Определить такие объемы перевозок, чтобы суммарные месячные издержки перевозок были бы минимальными.

Решение

1. Определяем мощность А_i=d t S n_i

d– количество рабочих дней (d=25) в месяце;

t – количество часов в смене (t=8);

S– количество смен (S=2) в сутки

n_i– количество машин i-го типа.

А₁=25*8*2*20=8000 маш.ч.; А₂=25*8*2*30=12000 маш.ч.; А₃=12000 маш.ч.; А₄=8000 маш.ч.

2. Рассчитаем показатель удельной производительности (т/маш.ч.); λ_ij=P_i/t_ij.

λ=

3. Рассчитаем критерий формирования опорного плана: k_ij= λ_ij/ С_ij.

K=

4. Строим опорный план перевозок, клетки распределения выбираем по max k_ij. Это клетки Х₃₁и Х_43.

Расчетная матрица

	В1= 120 тыс.р.	В2= 50 тыс.р.	В3= 80 тыс.р.	В4= 100 тыс.р.	Ui
А1=8 тыс.р.	3 3,3 8	4 2,5	5 4	6 2,5	3
А2=12 тыс.р.	5 1	6 0,8	7 1	4 1,25 12	4
А3=12 тыс.р.	2 5 12	3 3,33	4 2,5	3 2,5	2
А4=8 тыс.р.	5 3,7	4 5	2 5 8	2 3,75	2
Аф	0 1 33,3	0 1 50	0 1 40	0 1 85	0
Vj	0	0	0	0

5. Итак, все мощности использованы, но не все потребности удовлетворены – введем фиктивный вид транспорта (строка) с С_iф=0 и λ_iф=1. произведем расчет фиктивных поставок.

6. Проверяем план на вырожденность:

5 строк + 4 столбца -1=8 поставок. Задача невырожденная.

Оптимизируем опорный план.

Определяем потенциалы строк и столбцов по выражению:

С_ij= U_i+V_j λ_ij, откуда U_i= С_ij-V_j λ_ij; V_j= (С_ij -U_i)/ λ_ij

Зададимся потенциалом фиктивной троки: U_ф=0.

Тогда: V₃=V₂= V₁= V₄=0; U₄=4-5∙0=4; U₃=2-0=2; U₂=4-0=4; U₁=3-0=3

Определяем характеристики свободных клеток по формуле:

Е_ij= С_ij-(U_i+ λ_ij V_j);

Е₁₂ =4-3-0>0; Е₁₃=5-3-0>0; Е₁₄=6-3-0>0; Е₂₁=5-4-0>0; Е₂₂=6-4>0; Е₂₃=7-4>0; Е₃₂=3-2>0; Е₃₃=4-2>0; Е₃₄=3-2>0; Е₄₁=5-2>0; Е₄₂ =4-2>0; Е₄₄=2-2=0.

Так как все Е_ij≥0, то план оптимальный (но не единственный, так как Е₄₄=0)

Целевая функция затрат на перевозку:

F=8*3+12*4+12*2+8*2=112 (тыс.р.)

Задача 6

Для обслуживания потребителей предприятие может выделить 3 вида транспорта А₁, А₂, А_3, получая прибыль, зависящую от спроса на них (В_1,В_2,В₃).

	В1	В2	В3	В4
А1	1	3	3	2
А2	4	2	0	2
А3	3	1	0	1

Определить оптимальную пропорцию транспортных средств (состояние спроса полностью неопределенное). Прибыль должна гарантироваться при любом состоянии спроса.

Решение

Определим верхнюю и нижнюю цену игры.

А=



Игра не имеет Седловой очки, а значит ни один из участников н может использовать один план в качестве своей оптимальной стратегии, игроки переходят на «смешанные стратеги». Составим двойную пару задач линейного программирования. Для 1 игрока (предложения):



Освобождаясь от переменной V (цена игры), разделим уравнения системы на V. Приняв у/V за новую переменную Z, получим новую систему ограничений и целевую функцию.



Z=

Аналогично для второго игрока (спрос)



Приведем данные уравнения к форме без переменной V:

(*)

Нам необходимо определить стратегию первого игрока (т.е. предприятия), т.е. относительную частоту использования его стратегий (х₁,х₂,…,х_m) будем определять, используя модель второго игрока, так как эти переменные находятся в его модели выигрыша. Приведем (*) к канонической форме:



Решаем задачу симплексным методом.

итерация 0	базис	d1	d2	d3	d4	d5	d6	d7	bi	bi / a
	d4	1	4	3	1	0	0	0	1	1/3
	d5	3	2	1	0	1	0	0	1	1
	d6	3	0	0	0	0	1	0	1
	d7	2	2	1	0	0	0	1	1	1
	ψ	-1	-1	-1	0	0	0	0	0
1	d3	1/3	4/3	1	1/3	0	0	0	1/3	1
	d5	8/3	2/3	0	-1/3	1	0	0	2/3	1/4
	d6	3	0	0	0	0	1	0	1	1/3
	d7	5/3	2/3	0	-1/3	0	0	1	2/3	2/5
	Ψ	-2/3	1/3	0	1/3	0	0	0	1/3
2	d3	0	1,25	1	0,375	-0,125	0	0	0,25
	d1	1	0,25	0	-0,125	0,375	0	0	0,25
	d6	0	-0,75	0	0,375	-1,125	1	0	0,25
	d7	0	0,25	0	-0,125	-0,625	0	1	0,25
	Ψ	0	0,5	0	0,25	0,25	0	0	0,5

Базисное решение Б₁ (0,25; 0; 0,25; 0; 0; 0,25; 0,25). Цена игры , так как 0,25+0,25+0=0,5 то V=2.

Исходные параметры относительно частот применения стратегий: х₁=0,5; х₂=0; х₃=0,5; х₄=0; х₅=0; х₆=0,5; х₇=0,5.

Задача 7

На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 300 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с производством изделий х на I предприятии, равны 4x₁² руб., а затраты, обусловленные изготовлением х₂ изделий на II предприятии, составляют 48х₂ + 8х²₂ (руб.).

Определить, сколько изделий на каждом из предприятий следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленных изготовлением необходимой продукции, были минимальными.

Решение

f=4x₁²+48х₂ + 8х²₂→min

х₁+х₂=300

Составим функцию Лагранжа: F=f+λg









х₁+х₂=300

; х₂=300-х₁

16(300-х₁)-8х₁+48=0

Тогда (деталей)

х₂ =300-202=88 (деталей)

Ответ: на первом предприятии следует произвести 202 детали, а на втором – 88 деталей.

Задача 9

Интервал планирования Т=5 лет. Функция затрат на ремонт а дальнейшую эксплуатацию К(τ)= 0,2τ+τ² (р.). Функция замены Р(τ)=10+0,05τ²(р.). Определить оптимальные планируемые затраты по годам пятилетки, если количество оборудования по возрастным группам n(τ=0)=10; n(τ=1)=12; n(τ=2)=8; n(τ=3)=5.

Решение

Рассчитаем переходы (затраты на замену и ремонт) оборудования для каждого из возможных состояний τ.

τ	0	1	2	3	4	5	6	7	8
К	-	1,2	4,4	9,6	16,8	26	37,2	50,4	65,6
Р	10	10,05	10,2	10,45	10,8	11,25	11,8	12,45	-

Произведем пошаговую оценку альтернативных вариантов затрат для возможных различных состояний τ на каждом шаге t, т.е.



Начало оценивается с последнего t=5 шага.

Шаг 1; t=5.

Все состояния на последнем интервале приравниваются к 0:

F₈₅=0; F₇₅=0; F₆₅=0; F₅₅=0; F₄₅=0; F₃₅=0; F₂₅=0; F₁₅=0.

Шаг 2; t=4.















Шаг 3; t=3.













Шаг 4; t=2.











Шаг 5; t=1.








Шаг 6; t=0.









Функции затрат F₀₀, F₁₀, F₂₀, F₃₀ – затраты на единицу оборудования соответственно для возраста τ=0,1,2,3 года. Определим стратегию замены и ремонта оборудования каждого возраста. На схеме стратегии выделены стрелками (только оптимальные шаги). Определяем затраты по годам планирования:

t=1; Q₁= 10*11,2+12*4,4+8*11,4+5*11,65=314,25

t=2; Q₂= (10+8+5)*4,4+12*11,4=238

t=3; Q₃= (10+8+5)*11,4+12*4,4=315

t=4; Q₄= (10+8+5)*4,4+12*11,4=238

t=5; Q₅=(10+8+5)* 9,6+12*4,4=237,6

Проверка: сумма затрат для оборудования каждого возраста должна равняться сумме затрат на них по годам планирования. Затраты на каждый возраст:



=41*10+36*12+41,2*8+41,45*5=1378,85

Сумма затрат по годам:

Q₁+ Q₂+ Q₃+ Q₃=314,25+238+315+238+237,6=1375,85

Задача 11

Дана схема движения транспорта с n=5 пунктами и расстояниями между ними. Построить кольцевой маршрут объезда всех пунктов наименьшей длины.

∞	13	12	11	7
10	∞	6	9	4
13	10	∞	12	7
9	6	14	∞	8
12	13	9	10	∞

Решение

Стоим приведенную матрицу с целью получения в каждой строке и столбце не меньше 1 кратчайшего маршрута (0 приведенного значения). Коэффициенты приведения

по строкам: К₁=7+4+7+6+9=33

∞	6	5	4	0
6	∞	2	5	0
6	3	∞	5	0
3	0	8	∞	2
3	4	0	1	∞

по столбцам (у приведенной матрицы): К₂=3+1=4

К_пр=33+4=37 (сумма самых коротких маршрутов).

∞	6	5	3	0
3	∞	2	4	0
3	3	∞	4	0
0	0	8	∞	2
0	4	0	0	∞

Для нулевых значений определяем коэффициенты значимости:

К₄₁=0; К₅₁=0; К₄₂=3; К₅₃=2; К₂₅=2; К₁₅= К₃₅=3; К₅₄=3.

Выбираем а_ij=0 с максимальным К_ij, например, К₁₅=3.

В матрице назначения присваиваем Х₁₅=1. В полученную матрицу в клетку (5,1) вводим запрет.

Приведем матрицу.

	2	3	4	1
2	∞	0	2	1
3	0	∞	1	0
4	0	8	∞	0
5	4	0	0	∞

Подсчитаем новое значение К_пр: 37+2+3=42.

Определяем коэффициенты значимости для нулевых значений.

К₃₂=К₄₂= К₅₃=К₄₁=К₃₁=0; К₂₃= К₅₄=1.

Выбираем а_ij=0 с максимальным К_ij, например, К₂₃=1.

В матрице назначения присваиваем Х₂₃=1. В полученную матрицу в клетку (3,2) вводим запрет.

	2	4	1
3	∞	1	0
4	0	∞	0
5	4	0	∞

Так как матрица уже приведена, определяем коэффициенты значимости для нулевых значений.

К₄₂=4; К₄₁=0; К₃₁=1; К₅₄=5.

Присваиваем в матрице назначения Х₅₄=1. В полученную матрицу в клетку (4,1) вводим запрет.

	2	1
3	∞	0
4	0	∞

В полученной матрице осталось два маршрута, которые и вносим в кольцевой маршрут: Х₃₁=1; Х₄₂=1.

Введем все маршруты в матрицу назначения.

				1
		1
1
	1
			1

Длина полученного маршрута:



Условие оптимальности F=К_пр.=42 выполняется, то полученный кольцевой маршрут является оптимальным.

Задача 13

Рассматривается круглосуточная работа пункта проведения профилактического осмотра автомашин. Пункт состоит из n=3 каналов; на осмотр каждой машины затрачивается При осмотре группа выявляет дефект с вероятностью р=0,7; на осмотр поступает в среднем . Обслуживание одной заявки приносит среднюю прибыль С₁=3 руб./час, создание 1 канала требует среднего расхода С₂=18000 тыс.р., эксплуатация 1 канал в единицу времени требует среднего расхода С₃=8 руб./час. Определить характеристики работы пункта. Установить, при каких соотношениях С₁,С₂, С₃ система будет рентабельна, и если система не рентабельна при заданных С₁,С₂, С₃ , то при каких она будет рентабельна? Через какое время эксплуатации система будет приносить прибыль?

Решение

Характеристики работы системы:

1. Среднее число занятых каналов



2. Вероятность выявления скрытого дефекта

Р_абс.=(1-Р₀)Р=

3. Абсолютная пропускная способность, считая все осмотренные машины:



4. Полная абсолютная пропускная способность, считая все осмотренные машины:



5. Вероятность того, что канал занят:

П_з.к.=

6. Среднее время простоя канала:



7. Вероятность того, что все группы будут заняты осмотром



8. Среднее время неполной занятости системы (простоя хотя бы одной группы)



9. Средняя прибыль за сутки (t=24 часа)



10 Средняя стоимость в сутки:



11. Прибыль, которую система начнет приносить через время, определяется условием:

Условие рентабельности:

У нас .

Преобразуем это выражение с учетом того, что ; получим условие оптимальности:

Система будет рентабельна, если:

Из найдем время, через которое система начинает приносить прибыль:

(дней) или (лет)

Список используемой литературы

1. 
   Данко П.Е. и др. Высшая математика в примерах и задачах. Ч2: Учебник для втузов. – М.: Высшая школа, 1986. – 415 с.
   
2. 
   Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. – СПб.: Питер, 2002. – 208 с.
   
3. 
   Мельник М.М. Экономико-математические методы и модели в планировании МТС. – М.: Высшая школа, 1990. – 352 с.
   

Министерство образования Российской Федерации

«Тихоокеанский государственный университет»
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПО МЕТОДАМ И МАДЕЛЯМ В ЭКОНОМИКЕ
Выполнил: студент 3-го курса з/о

Специальность:________________

№ зач. книжки_________________

Ф.И.О._______________________
2010г.