Содержание



Для чего нужна математика

Когда речь идёт о чём-нибудь очень простом, понятном мы часто говорим: «Дело ясно, как дважды два - четыре!»

А ведь прежде чем додуматься до того, что дважды два - четыре, людям пришлось учиться много-много тысяч лет.

Конечно, учение шло не за партой. Человек постепенно учился жить: строить жилища, находить дорогу в дальних походах, обрабатывать землю. И одновременно он учился считать. Потому что даже в самые далёкие времена, когда люди жили в пещерах и одевались в звериные шкуры, они не могли обойтись без счёта и меры.

Многие правила из ваших школьных учебников математики и геометрии были известны древним грекам две с лишним тысячи лет назад. Другие древние народы - египтяне, вавилоняне, китайцы, народы Индии - в третьем тысячелетии до нашего летосчисления имели знания по геометрии и арифметике, которых не хватает некоторым ученикам пятого или шестого класса.

Что было бы с людьми без математики даже представить трудно!!!

Пальцы и зарубки

Учиться считать люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь.

Древние люди добывали себе пищу главным образом охотой. Чтобы добыча не ушла, её надо было окружить, ну вот хотя бы так: пять человек справа, семь сзади, четыре слева. Тут уж без счёта никак не обойдёшься! И вождь первобытного племени справлялся с этой задачей. Даже в те времена, когда человек не знал таких слов, как «пять» или «семь», он мог показать числа на пальцах рук.

Есть и сейчас на земле племена, которые при счёте не могут обойтись без помощи пальцев. Вместо числа пять они говорят «рука», десять – «две руки», а двадцать – «весь человек», - тут уж присчитываются и пальцы ног.

Пять — рука; Шесть — один на другой руке; Семь — два на другой руке; Десять — две руки, полчеловека; Пятнадцать — нога Шестнадцать — один на другой ноге Двадцать — один человек Двадцать два — два на руке другого человека Сорок — два человека Пятьдесят три — три на первой ноге у третьего человека.

Раньше люди чтобы пересчитать стадо из 128 оленей должны были взять семь человек.

Так люди начинали считать, пользуясь тем, что им дала сама природа – собственной пятернёй. Часто говорят: «Знаю, как свои пять пальцев». Не с того ли времени пошло это выражение, когда знать, что пальцев пять, значило то же, что уметь считать?

Несколько десятков лет назад учёные-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нём они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанёс пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам.


Узор на каждой кости состоял из одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Позднее в Сибири и других местах были найдены сделанные в ту же далёкую эпоху каменные орудия и украшения, на которых тоже были чёрточки и точки, сгруппированные по 3. по 5 или по 7.

Много тысячелетий прошло с того времени. Но и сейчас швейцарские крестьяне, отправляя молоко на сыроварню, отмечают число фляг такими же зарубками. До сих пор в русском языке сохранилось слово «бирка». Теперь так называют дощечку с номером или с надписью, которую привязывают к кулям с товарами, ящикам, тюкам и т. д. А ещё двести-триста лет тому назад это слово обозначало совсем иное. Так называли куски дерева, на которых зарубками отмечали сумму долга или подати. Бирку с зарубками раскалывали пополам, после чего одна половинка оставалась у должника, а другая – у заимодавца или сборщика податей. При расчёте половинки складывали вместе, и это позволяло определить сумму долга или податей без споров и сложных вычислений.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические действия. Без подсчёта дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда надо начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.

И вот более 8 тысяч лет тому назад древние пастухи стали делать из глины кружки – по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шёл спать. Но в его стаде были не только овцы – он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось делать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учёт собственного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Иногда в большой мешок клали столько камешков, сколько было животных. Чем больше животных, тем больше камешков. Слово «калькулятор» произошло от латинского «калькулюс», что 

означало «камень»! Так, ещё не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Имя чисел

Перекладывать каждый раз глиняные кружки с места на место было довольно утомительным занятием. Да и при обмене рыб на каменные ножи или антилоп на каменные топоры удобнее было сначала пересчитывать товары, а уж потом приступать к обмену. Но прошло много тысячелетий, прежде чем люди научились считать предметы. Для этого им пришлось придумать названия для чисел. Не даром ведь говорят: «Без названия нету знания».

О том, как появились имена у чисел, учёные узнают, изучая языки разных племён и народов. Например, оказалось, что у нивхов, живших в Сахалине и в низовьях Амура, числительные зависят от того, какие предметы считают. Важную роль играют форма предмета, так что по-нивсхи в сочетаниях «два яйца», «два камня», «два одеяла», «два глаза» и т. д. числительные различны. Одному русскому слову «два» соответствует несколько десятков различных слов. Много различных слов для одного и того же числительного применяют некоторые негритянские племена и племена, живущие на островах тихого океана.

И должно пройти много столетий, а может быть и тысячелетий, прежде чем одни и те же числительные стали применяться к предметам любого вида. Вот тогда и появились общие названия для чисел.

Учёные считают, что сначала названия получили только числа 1 и 2.

Когда древние римляне (в древности они говорили по латыни) придумывали имя числу 1, они исходили из того, что солнце на небе всегда одно. А название числа 2 во многих языках связано с предметами, встречающимися попарно, - крыльями, ушами и т. д. Но бывало, что числами 1 и 2 давали иные имена. Иногда их связывали с местоимениями «я» и «ты», были языки, где «один» звучало так же, как «мужчина», а «два» - как «женщина».

У некоторых ещё совсем недавно не было других числительных, кроме «один» и «два». А всё, что шло после двух называлось «много». Но потом понадобилось называть и другие числа. Ведь и собак у охотника, и стрел у него, и овец у пастуха может быть больше, чем две. И тут придумали замечательный выход: числа стали называть, повторяя несколько раз названия для единиц и двоек.

Например, некоторых папуасских племён (а живут папуасы на острове Новая Гвинея в Тихом океане) числительное «один» и сейчас звучит, «урапун», а числительное «два» - «окоза». Число 3 они называли «окоза-урапун», а число 4 – «окоза-окоза». Так они дошли до числа 6, которое получило имя «окоза-окоза-окоза». А дальше у них шло знакомое нам – «много» (конечно по - папуасски). И 10 у них «много», и 100 тоже «много».



Позднее другие племена дали особое имя числительному, которое мы называем «три». А так как до этого они считали «один», «два», «много», то это новое числительное стали применять вместо слова «много».

Новый способ записи чисел.

Мы с вами уже знаем, что первым способом «записи чисел» были зарубки на палке. Хорошо. Если число маленькое – десятки, Или, в крайнем случае, сотни. А если тысячи? Пока считаешь зарубки, чтобы «прочитать» число, пройдёт больше часа! Очень неудобная «запись»! И вот примерно пять тысяч лет назад почти одновременно в разных странах – Вавилоне, Египте, Китае – родился новый способ записи чисел.

Люди додумались до того, что числа можно записывать не просто зарубками-единицами. А по разрядам: отдельно единицы, отдельно десятки, отдельно сотни. Это было очень важным открытием. Считать и записывать числа теперь стало гораздо легче.

Новая, или арабская нумерация

Настоящая родина самой распространённой нумерации - Индия. В различных районах Индии существовали разнообразные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна. В ней цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке - санскрите, использующем алфавит "Деванагари".

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но в последствии был введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация "Деванагари" превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой переход - до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации 

получает широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию.

Решающую роль в распространении индийской нумерации в арабских странах сыграло руководство, составленное в начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми. Оно было переведено в Западной Европе на латинский язык в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав у арабов эту нумерацию, называли ее "арабской". Это исторически неправильное название удерживается и поныне.

Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" (перевод санскритского слова "сунья", имеющего тот же смысл). Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто). Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения.

Один, два, три…

Уже в три, четыре года, поднимаясь по лестнице, мы уверенно считаем ступеньки: «Раз. Два, три, четыре, пять…» А в первом классе пишем в тетради цифры:

Эти цифры называются арабскими, хотя арабы лишь передали в Европу индийскую десятеричную систему счисления с её цифрами.

«девять индусских знаков следующие: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.С помощью этих знаков и знака 0, который называется по-арабски «сифр», можно написать какое угодно число. («Книга об абаке» одного из первых математиков Эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, получившего прозвище Фибоначчи)». Фибоначчи, издавший свою книгу в 1202 году, многое почерпнул из знакомства с математическими трудами арабов. Любопытно, что сам порядок цифр при их перечислении – 9, 8, 7, 6,… - отражает их заимствование у арабов, поскольку арабы пишут справа налево, а не слева направо.

Наверное, вы уже поняли, что слово «цифра», произошло от нуля у арабов, А в России ещё очень долго слово «цифра» означало значок нуля. Вот что говорится в «Арифметике» Магницкого 1703 год издания: «Нумерация есть счёт или способ представлять совершенно все числа с помощью десяти знаков, которые изображаются так: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из них девять значащие, а

Последний же ноль (который цифрой или ничем именуется) сам по себе ничего не значит.



«Нумерация есть счет или способ представлять совершенно все числа с помощью десяти знаков, которые изображаются так: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Из них девять – значащие, а последний же 0 (который цифрой или ничем именуется) сам по себе ничего не значит».

«Нумерацiо есть счисление еже совершенно всz числа речию именовати, яже в десzту знаменованияхъ, или изwбражениz содержатсz, и изwбражаютсz сице: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, из нихже девzть назнаменователны суть, послёднее же 0 (еже цыфрою или ничемъ именуетсz) егда uбо (оно) едино стоитъ, тогда само w себе ничтоже значитъ».

Обратим внимание, что буквы в старинном тексте еще сильно отличаются от современных, а цифры – те же, что и в ваших учебниках. Но, конечно же, они не сразу стали такими. Вот как они выглядели в Индии в 200 году:

Тогда не было еще нуля и позиционной записи чисел, но со временем написание цифр совершенствовалось, причем по–разному и в разных местностях Индии. Появился нуль – и возникла позиционная система записи чисел. Арабы выбрали из этих различных видов цифр наиболее удачные. От них цифры продолжили свой путь по земле. Вот в каком виде они публикуются у римского писателя Боэтия (600 год):

В 1350 году в сочинениях греческого монаха Максима Плануда мы видим их такими:

В 1480 году в книге «Зеркало вселенной» англичанина Какстона они изображаются следующим образом:

И лишь в 1522 году в книге итальянца Тонсталля приобретают более–менее современный вид:

Любопытно, что в самой Индии цифры тоже видоизменялись и к началу ХХ века стали выглядеть так:

Хотя в XVI веке в Европе уже было развито книгопечатание, цифры в книгах того времени, как мы видим, очень похожи на рукописные. Многие художники работали над созданием разнообразных типографских шрифтов – формой букв и цифр, стараясь придать им красивый вид (при этом каждый 

знак должен был достаточно сильно отличаться от другого). Вот один из цифровых шрифтов:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Но история цифр на этом не кончается. Недавно в ряде стран стали использовать следующую запись:

5 6 7 8 9

Чем эти цифры лучше обычных? А тем, что у четных цифр «хвостики» идут вверх, а у нечетных – вниз. Теперь уже труднее спутать, скажем, цифры 2 и 5. Правда, это нововведение широко не привилось, но приведенное ниже начертание цифр знакомо каждому из нас:

Подобные цифры мы видим на микрокалькуляторах и ручных электронных часах. С помощью набора семи отрезков удается изобразить каждую из десяти цифр.

Еще одно изображение цифр, связанное с потребностями техники, мы находим на обороте почтового конверта:

Здесь в написании цифры участвуют уже девять отрезков. Эти цифры предназначены для электронной машины, сортирующей корреспонденцию. Жирные черточки над индексом на конверте нужны для того, чтобы машина смогла точно настроиться на написанный нами индекс:

Если мы заговорили об электронных машинах, отметим, что хотя они получают числа в десятичной записи и в том же виде выдают нам результаты вычислений, но для «внутренних нужд» пользуются двоичной системой счисления. На перфоленте, используемой в ЭВМ для хранения информации, первые девять цифр выглядят так:

Цифре 0 соответствует пробел. Маленькие пробитые точки посредине перфоленты служат для ее перемещения и фиксации.

Двоичная система счисления, как и десятичная, является позиционной системой: значение величины числа зависит от входящих цифр и их мест в написании числа. И если в десятичной системе десять единиц предыдущего разряда составляют единицу следующего разряда, то в двоичной системе единицу следующего разряда составляют две единицы предыдущего. 

Поэтому для записи чисел в двоичной системе достаточно всего двух цифр – 0 и 1:

1=12, 2=102, 3=112,

4=1002, 5=1012, 6=1102,…

(Маленькая цифра 2 около числа означает, что запись произведена в двоичной системе счисления.)

Сравнив эти записи с перфолентой, мы увидим, что пробой на перфоленте соответствует цифре 1, а его отсутствие – цифре 0.

Машина читает запись на перфоленте с помощью фотоэлементов: они отмечают пробитые отверстия, регистрируя свет, проникающий через отверстия, а в непробитых участках лента загораживает фотоэлемент от источника света.

Похожий принцип заложен и в основу так называемого полосного кода.

Мы часто видим полосатый прямоугольник, встречающийся на разнообразных товарах:

Что означают эти полоски? Оказывается, с их помощью записано расположенное внизу число – код товара. Компьютер, находящийся в кассовом аппарате, с помощью фотоэлементов считывает код. Для этого било проводят табличку с кодом в специальном месте кассового аппарата, либо по коду проводят «считывающим карандашом», соединенным с кассовым аппаратом. Таким образом, компьютер получает информацию о продаваемом товаре. В соответствии с ней он выдает из своей памяти цену, а сам запоминает, что данный экземпляр куплен. В результате всегда известно, сколько какого товара куплено и на какую сумму, какой товар нужно еще доставить в торговый зал.

Но как устроен полосатый код?

С помощью полосок можно записывать число так, как на перфоленте: тонкая черная полоска – 0. Но представлять число можно по–разному. Можно просто записать его в двоичной системе счисления (например, число 5 762 752 950 запишется в двоичной системе так: 110101110111010010001101102).

А можно каждую цифру числа записать в двоичной системе – тогда на одну цифру будет достаточно четырёх полосок, а затем представить число набором получившихся полосок.

В таблице, приведённой чуть ниже, каждая цифра записывается так же отдельно, но не в двоичной системе, а по–другому. Каждой цифре соответствует семь значков 0 и 1. Код состоит из двух частей – левой и правой, – и цифры в левой и правой частях записываются в соответствии со следующей таблицей:

Левая часть кода		Правая часть кода
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	0001101 0011001 0010011 0111101 0100011 0110001 0101111 0111011 0110111 0001011	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9	1110010 1100110 1101100 1000010 1011100 1001110 1010000 1000100 1001000 1110100

Посмотрим сначала на левую часть таблицы. Запись каждого числа начинается с 0 и заканчивается 1. Эти знаки не характеризуют числа, а служат для отделения одного числа от другого. На само число приходится пять знаков, и они выбраны так, чтобы любые два числа различались не менее чем в двух местах. Запись чисел в правой части таблицы симметрична записи слева, а именно: вместо цифры 0 на соответствующем месте стоит цифра 1, а вместо 1 стоит 0.

На рисунке каждой цифре соответствует описанная комбинация из семи полосок, расположенная над ней. Все что мы говорили, относится к коротким полоскам. Первые три длинные полоски, средние и последние полоски (им соответствует набор 101) являются указателями начала, середины и конца шифра. Длинные полоски, следующие за тремя первыми, соответствуют цифре, расположенной сбоку слева, например цифре 0. Аналогично длинные полоски перед последними тремя полосками соответствуют цифре, расположенной сбоку справа, например цифре 6.

Эти боковые числа служат для защиты считывания от ошибок. Их значения таковы, чтобы утроенная сумма чисел, стоящих на четных местах, сложенная вместе с суммой чисел, стоящих на нечетных местах, делилась на 10. Суммирование производится слева направо: считается, что цифра, стоящая сбоку слева, находится на нулевой (значит, четном) месте. В нашем случае 3(0+7+2+5+9+0)+(5+6+7+2+5+6)=100.

Если компьютер неправильно прочтет одну из цифр, то сразу обнаружит ошибку. Он не сможет обнаружить ошибку лишь в том случае, если прочтет, по крайней мере, две цифры ошибочно, причем так, чтобы ошибки «скомпенсировались» и полученная сумма снова делилась на десять. Но вероятность этого чрезвычайно мала.

Такая защищенность от ошибок очень важна, иначе за батон хлеба компьютер мог бы потребовать от покупателя стоимость, скажем, большой коробки шоколадных конфет.

Защита от ошибок заложена и в стандартной форме написания почтового индекса. Любые две цифры отличаются не меньше, чем в пяти местах.



Надо сказать, что программисты ЭВМ в последнее время пишут ноль вот так:

О

Дело в том, что в программе ЭВМ буквы и цифры могут произвольно перемежаться. Чтобы отличить нуль от буквы О, была введена эта запись. Так сняты возможные ошибки при использовании латинского шрифта. А при использовании русского шрифта возникает возможность спутать букву З с цифрой 3, а букву Ч с цифрой 4. Может быть, и эти цифры будут изменяться? Посмотрим. Время покажет.

Рисские, арабские и другие

Выше мы говорили о записи чисел цифрами, вернее, об истории самих цифр, которые принято называть арабскими. Но часто мы пользуемся и другими цифрами. Записи «ХХ век», «Глава IV» не ставят нас в затруднительное положение. Здесь числа представлены римскими цифрами. Почему же до сих пор мы пользуемся этой системой записи чисел? Наверное, потому, что с ее помощью можно отделять одни числа от других. Так, запись 25.XI.1990 сразу говорит о том, что это – дата: 25 ноября 1990 года.

Итак, римские цифры. Что они означают?

I – Один

V – Пять

X – Десять

L – Пятьдесят

C – Сто

D – Пятьсот

M – Тысяча

Поэтому, увидев на фронтоне старого особняка запись MDCCLXXXIX, мы без труда прочтем дату его постройки – 1789 год.

Следует отметить, что существует и второй способ записи чисел римскими цифрами, при котором меньшая цифра не ставится впереди большей, и поэтому число 4 записывается как IIII, число 9 как VIIII, а число 99 как LXXXXVIIII.

Но как быть с очень большими числами в десятки и сотни тысяч? Например, как записать число 275748? Римляне поступали просто: CCLXXVmDCCXLVIII.

Буква m показывает, что число, стоящее впереди нее, выражает количество тысяч в данном числе. Но вернемся к арабским цифрам. Как уже говорилось, арабы, заимствовав индийскую десятичную систему счисления с ее цифрами, несколько изменили сами цифры. Дальнейшее изменение цифр происходило в Европы. В результате цифры стали не похожими на те, которыми пользовались индусы. Но самое интересное в том, что цифры, которыми пользуются арабы сейчас, также не похожи на «международные» арабские цифры. Сравним с записью арабских чисел. Разница велика.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0



Помимо «международной», собственную систему записи чисел используют не только арабы. Так, в Китае издавна существовала система записи чисел с помощью иероглифов.

Числа традиционно записывались вертикально, сверху вниз. При этом числа 20, 30, 40, … записывались столбиком из двух символов. Нижний символ означал, что речь идет о десятках, а верхний указывал их число. Такие числа, как 47, записывались столбиком из трех символов: к числу 40 снизу добавлялся иероглиф, обозначающий цифру 7. Аналогичная система использовалась для обозначения сотен, тысяч и т.д. Вот, например, как выглядит число 503 в этой записи:

Существовали и другие варианты вертикальной записи чисел, больших 20. Попробуем разгадать секреты двух таких записей, рассматривая два представления числа 28.

В начале XX столетия в Китае была введена обычная форма записи – слева направо. В этой записи число 47 выглядит так:


Иероглифы используются для записи цифр, например, в Китае, Японии и Корее. Однако традиционная вертикальная система записи сохранилась лишь на острове Тайвань.

На почтовых марках, монетах, бумажных денежных знаках многих стран национальные цифры часто располагаются радом с «международными». Такое соседство можно увидеть, к примеру, на почтовых марках Ливии.

Посмотрим на рисунок. Перед нами изображение двух сторон японской монеты в одну иену. Первый иероглиф правого изображения означает цифру 1, а второй означает слово «иена».

А вот банкнота, выпущенная в Камбодже. На ней мы видим цифры, принятые в этой стране:

Список использованной литературы

1. 
   За страницами учебника математики. (И.Я.Депман, Н.Я.Виленкин)
   
2. 
   Математические миниатюры. (А.П.Савин)
   
3. 
   С математикой в путь. (Н.Лэнгдон, Ч.Снейп).
   
4. 
   
   
5. 
   В мире чисел. (И.Я. Депман, составитель Ю.И. Смирнов)
   
6. 
   Энциклопедия.
   

14