Доклад

Доклад Задача Дирихле

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 9.11.2024



Задача Дирихле

1.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ


Решить численно задачу Дирихле для уравнения Лапласа :



 (x,y)D;       u|Г=xy2=f(x,y) ;

область D ограничена линиями:  x=2 , x=4 , y=x , y=x+4 ;

 (x0, y0 ) = (3, 5) .

Следует решить задачу сначала с шагом по x и по y : h=0.2, потом с шагом h=0.1  .  Точность решения СЛАУ =0.01  .
2.ОПИСАНИЕ МЕТОДА РЕШЕНИЯ ПОСТАВЛЕННОЙ ЗАДАЧИ

      Поставленная задача решается численно с помощью программы, реализующей метод сеток , разработанный для численного решения задачи Дирихле для уравнений эллептического типа.

Программа написана на языке C++ , в среде Borland C++ версии 3.1. Ниже описан алгоритм работы этой программы.

1.  На первом шаге область D дискретизируется. Она заменяется на область Dh путем разбиения области D параллельными прямыми по следующему правилу:   yi=y0 ih,   xj=x0 ih ,      i,j=0,1,2…. PР. Разбиение производится до тех пор, пока текущая прямая не будет лежать целиком вне области D.  Получается множество точек (xi,yj).

     2. За область Dh  принимают те точки множества (xi,yj) , которые попали внутрь области D, а также дополняют это множество граничными точками.

         3.Во всех точках области Dh вычисляются значения функции f(xi,yj) .

    4. За область Dh* принимаются все внутренние точки области Dh, т.е. удовлетворяющие требованию:

         (xi,yj) Dh*  , если  (xi+1,yj) Dh , (xi-1,yj) Dh , (xi,yj+1) Dh , (xi,yj-1) Dh .

    5. Во всех точках области  Dh*  вычисляется функция  F(N)*[i,j] ( индекс N обозначает номер итерации, на которой производится вычисление):                                                                              

                      F(N)*[i,j]=(f(xi+1,yj) + f(xi-1,yj) + f(xi,yj+1)f(xi,yj-1))/4

   6. Теперь если  max | F(N+1)*[i,j] - F(N)*[i,j]|< ,взятый по всем точкам области Dh*  ,то задача решена;

           если нет , то выполнять шаг 5 ( пересчитывать функцию F(N)*[i,j] через значения F(N-1)*[i,j]) до тех пор, пока не выполнится указанное условие.
3.ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

   #include <stdio.h>

#include <fstream.h>

#include <conio.h>

#include <iostream.h>

#include <math.h>
 int i,j,k;                // Variables

 float h,x,y,tmp,E1;

 struct point {

   float xx;

   float yy;

   int BelongsToDh_;

   int BelongsToDh;

   float F;

   float F_;

   } p0,arrayP[13][33];

 float arrayX[13];

 float arrayY[33];

 float diff[500];
   void CreateNet(void);               // Procedure Prototypes

   int  IsLineFit(float Param);

   void CrMtrD(void);

   void RegArrayX();

   void RegArrayY();

   void CreateDh_();

   int  IsFit(point Par);

   void FillF();

   void CreateDh();

   int  IsInner(int i,int j);

   void FillF_();

   void CountDif();

   void MakeFile();
   void main(void)        //MAIN

   {

     clrscr();

     p0.xx = 3;

     p0.yy = 5;

     h = 0.2;

     p0.BelongsToDh_=1;

     p0.BelongsToDh=1;

     CreateNet();

     RegArrayX();

     RegArrayY();

     CrMtrD();

     CreateDh_();

     FillF();

     CreateDh();

     FillF_();

     CountDif();

      while (E1>=0.005)  {

                      for(i=0;i<13;i++)

                        for(j=0;j<33;j++) arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].F_;

                        FillF_();

                        CountDif();

                        }

     cout<<(0-arrayP[7][17].F_);

     MakeFile();

     getchar();

   }                            //MAIN END

    int IsLineFit(float par,char Axis) // does the line belong to the defined area

     {

      switch(Axis) {

       case 'y': if ((par>8.0) || (par<2.0)) return 1;

                                                                        else return 0;

       case 'x': if (par<1.9) return 1;

                         else if (par>4.0) return 1;

                         else return 0;
                       }

     }

void CreateNet(void)         // Creation of Net (area D )

     {

      x = p0.xx;

      i=0;

      arrayX[i]=x;

      while (!IsLineFit(x,'x'))

      {

      x += h;

      i++;

      arrayX[i] = x;

      }

      x = p0.xx-h;

      i++;

      arrayX[i]=x;

      while (!IsLineFit(x,'x'))

      {

      x -= h;

      i++;

      arrayX[i] = x;

      }

      for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]); }

      printf("\n");

      y = p0.yy;

      i = 0;

      arrayY[i]=y;

      while (!IsLineFit(y,'y'))

      {

      y += h;

      i++;

      arrayY[i] = y;

      }

      y = p0.yy - h;

      i++;

      arrayY[i]=y;

      while (!IsLineFit(y,'y'))

      {

      y -= h;

      i++;

      arrayY[i] = y;

      }

      for(i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]);}

      printf("\n");

      }     // end CreateNet

   void RegArrayX()     // Regulation of arrays X & Y

         {

          int LastUnreg = 13 ;

          while (LastUnreg != 0)       {

                        for(i=0;i<LastUnreg-1;i++) {

                                    if (arrayX[i]>arrayX[i+1]) {double tmp=arrayX[i];

                                                                                         arrayX[i]=arrayX[i+1];

                                                                                         arrayX[i+1]=tmp;}}

          LastUnreg=LastUnreg-1;  }

          for (i=0;i<13;i++) { printf("%g ",arrayX[i]);

                   } printf("\n");

         }

   void RegArrayY()

         {

          int LastUnreg = 33 ;

          while (LastUnreg != 0)       {

                        for(i=0;i<LastUnreg-1;i++) {

                                    if (arrayY[i]>arrayY[i+1]) { tmp=arrayY[i];

                                                                                         arrayY[i]=arrayY[i+1];

                                                                                         arrayY[i+1]=tmp;}}

          LastUnreg=LastUnreg-1;  }

          for (i=0;i<33;i++) { printf("%g ",arrayY[i]); }

          printf("\n");}         // End of Regulation

   void CrMtrD(void)       //Create general Matrix

         {

                   for(i=0;i<13;i++)

                      for(j=0;j<33;j++) {arrayP[i][j].BelongsToDh_=0;

                                                         arrayP[i][j].BelongsToDh=0;}

                   for(i=0;i<13;i++)

                       for(j=0;j<33;j++)    {

                         arrayP[i][j].xx=arrayX[i];

                         arrayP[i][j].yy=arrayY[j];

                                                                    }

                      // printf("%g %g",arrayP[12][0].xx,arrayP[12][0].yy);

                      // printf("\n");

         }

   int  IsFit(point Par) //does point belong to area D?

        {

                   if ((Par.xx<=4) && (Par.xx>=1.99) &&  (Par.yy>=Par.xx)

                     && (Par.yy<=Par.xx+4))  return 1;

                                                    else return 0;

        }

void CreateDh_(void)     //Create area Dh_

                    {

                     for(i=0;i<13;i++)

                        for(j=0;j<33;j++)

                         if (IsFit(arrayP[i][j])) arrayP[i][j].BelongsToDh_=1;

                         cout << arrayP[1][1].BelongsToDh_<< "\n";

                         cout << arrayP[1][1].xx << " " << arrayP[1][1].yy<<"\n";

                    }

   void FillF(void) // calc function F(x,y) at area Dh_

   {

    for(i=0;i<13;i++)

       for(j=0;j<33;j++)

        if (arrayP[i][j].BelongsToDh_==1)

                   arrayP[i][j].F=arrayP[i][j].xx*pow(arrayP[i][j].yy,2);

                   else arrayP[i][j].F=0;

   }

   int IsInner(int i,int j)   //Is point inner?

         {

          if ((arrayP[i-1][j].BelongsToDh_==1) &&

                      (arrayP[i+1][j].BelongsToDh_==1) &&

                      (arrayP[i][j+1].BelongsToDh_==1) &&

                      (arrayP[i][j-1].BelongsToDh_==1)) return 1;

                      else return 0;
         }

   void CreateDh(void) //Create area Dh

                   {

                    for(i=0;i<13;i++)

                       for(j=0;j<33;j++)

                         if ((arrayP[i][j].BelongsToDh_==1) &&

                                      IsInner(i,j))

                                      arrayP[i][j].BelongsToDh=1;

                   }

   void FillF_()   //calc new appr. values of F

         {

          for(i=0;i<13;i++)

                     for(j=0;j<33;j++)        {

                        if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1)

                        arrayP[i][j].F_=(arrayP[i-1][j].F+arrayP[i+1][j].F+

                        arrayP[i][j-1].F+arrayP[i][j+1].F)/4;

                        else arrayP[i][j].F_=0; }

         }

   void CountDif() // find maximal difference abs(F-F_)

   {

    k=0;

    for(i=0;i<13;i++)

       for(j=0;j<33;j++)

          { if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1)  {

                    diff[k]=fabs(arrayP[i][j].F_-arrayP[i][j].F);

                    k++;}}

    E1=diff[0];

    for (k=1;k<500;k++) {

                                         if (diff[k]>E1) E1=diff[k];}
     }

  void MakeFile()
       {

   ofstream f;

   FILE *f1=fopen("surf.dat","w1");

        fclose(f1);

   f.open("surf.dat",ios::out,0);

    for(i=0;i<13;i++)

       for(j=0;j<33;j++) { if (arrayP[i][j].BelongsToDh==1) {

                                                   f<<arrayP[i][j].xx<<" "<<arrayP[i][j].yy<<

                                                   " "<<arrayP[i][j].F_<<"\n";}}

                                                   f.close()  ;

}

4.ГРАФИКИ РЕШЕНИЙ





РИС.1  шаг h=0.2


РИС.2   шаг h=0.1
5.ВЫВОД

   Функция f(x,y) является неотрицательной в области D. Полученное решение лежит целиком над плоскостью XOY . Для данного решения выполняется принцип максимума.

1. Контрольная работа на тему Tourism in Spain
2. Контрольная работа на тему Рынок олигополии
3. Контрольная работа на тему Понятие идеологии Республики Беларусь
4. Контрольная работа на тему Оценка экологической ситуации в Багратионовском районе
5. Биография на тему Кайе Огюст Рене Коилье
6. Задача Сделки, осуществление сделок и правильное их оформление
7. Курсовая на тему Ценообразование на рынках факторов производства
8. Реферат на тему Red October Essay Research Paper 2 OutlineMarko
9. Реферат на тему Mice
10. Курсовая Показ в экскурсии как основа принципа наглядности