Файл: FERMA-FIN © Н. М. Козий, 2008
Свидетельства Украины № 27312 и 28607
о регистрации авторского права
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ НЕЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
Аⁿ+ Вⁿ = Сⁿ*                                    /1/
где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n. Рассмотрим случай, когда показатель степени n- нечетное число. В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:
Аⁿ + Вⁿ = Сⁿ = (A+B)[A^n-1-A^n-2·B +A^n-3·B²- …-A·B^n-2+B^n-1] /2/
Полагаем, что A и B – целые положительные числа.
Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n.
* Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.
Уравнение /2/ действительно при любом нечетном значении показателя степени n. Следовательно, из уравнения /1/ при n =1 имеем:
А¹ + В¹ = С¹
А + В = С /3/
Следовательно, число (А + В) является делителем числа С .
Допустим, что число С - целое положительное число. Тогда с учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должно выполняться условие:
Сⁿ = Aⁿ + Bⁿ =(A+B)ⁿ∙ Dⁿ , /4/
где число D также должно быть целым числом.
Из уравнения /4/ следует:
 /5/
Из уравнения /4/ также следует, что число [Cⁿ = Aⁿ + Bⁿ] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число (A+B)ⁿ . Однако известно, что:
Aⁿ + Bⁿ < (A+B)ⁿ /6/
Следовательно:
- дробное число, меньшее единицы. /7/
- дробное число.
Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Доказательство строим аналогично вышеизложенному доказательству для нечетных показателей степени. Любое четное число, за исключением числа p=2^q, является произведением числа p на нечетные, простые или составные, числа. Следовательно, четный показатель степени можно записать следующим образом:
n= pkm = 2^q ∙km, /8/
где: p=2^q;
q =1, 2, 3,…;
k =1,3,5,7,9,…;
m=3,5,7,9,11,…
Тогда уравнение /1/ можно записать следующим образом:
Сⁿ = Aⁿ + Bⁿ =A^pkm + B^pkm= (A^pk )^m + (B^pk )^m /9/

Поскольку показатель степени m – нечетное число, то алгебраическое выражение /9/ преобразуется аналогично уравнению /2/ следующим образом:
Cⁿ = C^pkm = (A^pk + B^pk)∙[ (A^pk )^m-1 - (A^pk )^m-2 ∙B^pk +
+ (A^pk )^m-3 ∙(B^pk )² -…- A^pk ∙(B^pk )^m-2 + (B^pk )^m-1 ] /10/
При этом уравнения /4/ и /5/ преобразуются следующим образом:
Cⁿ = C^pkm = (A^pk + B^pk)^m ∙ D^pkm /11/
D^pkm = (A^pkm + B^pkm) / (A^pk + B^pk )^m /12/
В соответствии с уравнением /6/:
(A^pkm + B^pkm) < (A^pk + B^pk )^m /13/
Следовательно, число D^pkm – дробное число, меньшее единицы.
Отсюда следует, что и при четном показателе степени n= 2^q ∙km уравнение /1/ не имеет решения в целых положительных числах.
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах, как при нечетном, так и при четном показателе степени n >2 и не равном n ≠2^q.
Для показателя степени n =2^q существует иное доказательство великой теоремы Ферма.
Автор: Николай Михайлович Козий,
инженер-механик