Задача Механика 2

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 22.11.2024

№1 Механика. Механическое движение.

Механика — наука о движении материальных объектов и взаимодействии между ними. Важнейшими разделами механики являются классическая механика и квантовая механика. Объекты, изучаемые механикой, называются механическими системами. Механическая система обладает определённым числом k степеней свободы и описывается с помощью обобщённых координат q₁, … q_k. Задача механики состоит в изучении свойств механических систем, и, в частности, в выяснении их эволюции во времени.

Наиболее важными механическими системами являются:1) материальная точка 2)гармонический осциллятор 3)математический маятник 4)крутильный маятник 5)абсолютно твёрдое тело 6)деформируемое тело 7)абсолютно упругое тело 8)сплошная среда

Механическим движением тела называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени. При этом тела взаимодействуют по законам механики.

Виды механического движения

Механическое движение можно рассматривать для разных механических объектов:

Движение материальной точки полностью определяется изменением её координат во времени (например, двух на плоскости). Изучением этого занимается кинематика точки.

1)Прямолинейное движение точки (когда она всегда находится на прямой, скорость параллельна эта прямой)

2)Криволинейное движение это движение точки по траектории, не представляющей собою прямую, с произвольным ускорением и произвольной скоростью в любой момент времени (например, движение по окружности).

Движение твёрдого тела складывается из движения какой-либо его точки (например, центра масс) и вращательного движения вокруг этой точки. Изучается кинематикой твёрдого тела.

1)Если вращение отсутствует, то движение называется поступательным и полностью определяется движением выбранной точки. Заметим, что при этом оно не обязательно является прямолинейным.

2)Для описания вращательного движения — движения тела относительно выбранной точки, например закреплённого в точке, используют Углы Эйлера. Их количество в случае трёхмерного пространства равно трём.

3)Также для твёрдого тела выделяют плоское движение — движение, при котором траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, при этом оно полностью определяется одним из сечений тела, а сечение тела положением любых двух точек.

Движение сплошной среды. Здесь предполагается, что движение отдельных частиц среды довольно независимо друг от друга (обычно ограничено лишь условиями непрерывности полей скорости), поэтому число определяющих координат бесконечно (неизестными становятся функции).
№4 Основные законы динамики материальной точки

Второй закон Ньютона можно записать в другой форме. Согласно определению:

,тогда

или

Вектор

называется импульсом или количеством движения тела и совпадает по направлению с вектором скорости

, а

выражает изменение вектора импульса. Преобразуем последнее выражение к следующему виду:

Вектор

называется импульсом силы

. Это уравнение является выражением основного закона динамики материальной точки: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы.

Динамика – раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил. Осн.законы механики (зак-ны Галилея-Нютона): закон инерции (1-ый закон): материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние; основной закон динамики ( 2-ой закон (Ньютона)): ускорение матер.точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление ; закон равенства действия и противодействия (3-й закон (Ньютона)): всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие; закон независимости сил: несколько одновременно действующих на матер.точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме. В классической механике масса движущегося тела принимается равной массе покоящегося тела, – мера инертности тела и его гравитационных свойств. Масса = весу тела, деленному на ускорение свободного падения. m=G/g, g9,81м/с². g зависит от географической широты места и высоты над уровнем моря – не постоянная величина. Сила – 1Н (Ньютон) = 1кгм/с². Система отсчета, в которой проявляются 1-ый и 2-ой законы, назыв. инерциальной системой отсчета. Дифференциальные уравнения движения материальной точки: , в проекции на декартовы оси коорд.: , на оси естественного трехгранника: ma_=F_i; ma_n=F_in; ma_b=F_ib (a_b=0 – проекция ускорения на бинормаль), т.е. ( – радиус кривизны траектории в текущей точке). Вслучае плоского движения точки в полярных координатах: . Две основные задачи динамики: первая задача динамики – зная закон движения точки, определить действующую на нее силу; вторая задача динамики (основная) – зная действующие на точку силы, определить закон движения точки. – дифференциальное ур-ие прямолинейного движения точки. Дважды интегрируя его, находим общее решение x=f(t,C₁,C₂).

Постоянные интегрирования C₁,C₂ ищут из начальных условий: t=0, x=x₀, =V_x=V₀, x=f(t,x₀,V₀) – частное решение – закон движения точки.
№6 Закон изменения импульса механической системы

Физическое содержание понятия импульс или количество движения определяется предназначением этого понятия. Импульс – один из параметров, описывающих качественно и количественно движение механической системы.

Теорема об изменении импульса незамкнутой системы: Если система незамкнута, то ее импульс не сохраняется, и изменение количества движения такой системы с течением времени выражается формулой:

Вектор K называется главным вектором внешних действующих сил.

(Доказательство) Продифференцируем (4):

Воспользуемся уравнением движения незамкнутой системы:

ч.т.д.

Импульс Импульс тела (материальной точки) — векторная величина, равная произведению массы тела (материальной точки) на её скорость. Импульс системы тел (материальных точек) — векторная сумма импульсов всех точек. Импульс силы — произведение силы на время её действия (или интеграл по времени, если сила изменяется со временем). Закон сохранения импульса: в инерциальной системе отсчета импульс замкнутой системы сохраняется.

$\sum_{i=1}^N m_i\, \mathbf{v}_i = const$ Изменение импульса системы материальных точек — в инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса механической системы равна векторной сумме внешних сил, действующих на материальные точки системы. Силы, действующие на частицу в механической системе, можно подразделить на внутренние и внешние силы (рис. 5.2). Внутренними называются силы, которые обусловлены взаимодействием частиц системы между собой. Внешние силы характеризуют действие не входящих в систему (т.е. внешних) тел, на частицы системы. Система, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой.

№10 Механическая работа Механической работой или просто работой постоянной силы на перемещении называется скалярная физическая величина, равная произведению модуля силы, модуля перемещения и косинуса угла между этими векторами. Если работу обозначить буквой А, то по определению А=Fscos(a) α – угол между силой и перемещением. Произведение Fcosa
представляет собой проекцию силы на направление перемещения. Именно от величины этой проекции зависит то, какой будет работа силы на данном перемещении. Если, в частности, сила F
перпендикулярна перемещению, то эта проекция равна нулю и никакой работы при этом сила F
не совершает. При других значениях угла работа силы может быть как положительной (когда 0°≤α<90°), так и отрицательной (когда 90°<α≤180°). Единицей работы в СИ является 1 Дж (джоуль). 1 Дж — это работа, которую совершает постоянная сила в 1 Н на перемещении в 1 м в направлении, совпадающем с линией действия этой силы.

Работа любой постоянной силы обладает следующими двумя замечательными свойствами: 1.Работа постоянной силы на любой замкнутой траектории всегда равна нулю. 2.Работа постоянной силы, совершаемая при перемещении частицы из одной точки в другую, не зависит от формы траектории, соединяющей эти точки. По формуле А=Fscos(a) можно находить работу лишь постоянной силы. Если же действующая на тело сила меняется от точки к точке, то работа на всей территории определяется по формуле:A=A1+A2+…+An Когда какой-либо механизм совершает работу, надо отличать полную работу от полезной, т. е. от той работы, ради которой и используется данное устройство (механизм) Коэффициент полезного действия равен:

Мощность Для характеристики процесса совершения работы важно знать также время, за которое она совершается. Быстроту совершения работы характеризуют особой величиной, называемой мощностью. Мощностью называется скалярная физическая величина, равная отношению работы ко времени, в течение которого она была совершена. Обозначается буквой Р: P
=
A
/
t
=
Fv
Единицей мощности в СИ является 1 Вт (ватт). 1 Вт — это такая мощность, при которой за 1 с совершается работа в 1 Дж.

№11 Кинетическая энергия С понятием работы тесно связано другое фундаментальное физическое понятие — понятие энергии. Поскольку в механике изучается, во-первых, движение тел, а во-вторых, взаимодействие тел между собой, то принято различать два вида механической энергии: кинетическую энергию, обусловленную движением тела, и потенциальную энергию, обусловленную взаимодействием тела с другими телами. Кинетическая энергия, очевидно, должна зависеть от скорости движения тела v
, а потенциальная — от взаимного расположения взаимодействующих тел. Кинетической энергией частицы называется скалярная физическая величина, равная половине произведения массы этой частицы на квадрат ее скорости.

.

Теорема о кинетической энергии: Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на это тело,

Если - конечная кинетическая энергия, а -начальная кинетическая энергия, то .

Если движущееся вначале тело постепенно останавливается, например, ударившись о какую-либо преграду, и его кинетическая энергия E_k
обращается в нуль, то совершенная им при этом работа будет полностью определяться его начальной кинетической энергией.

Физический смысл кинетической энергии: кинетическая энергия тела равна работе, которую оно способно совершить в процессе уменьшения своей скорости до нуля. Чем больше «запас» кинетической энергии у тела, тем большую работу оно способно совершить.

№12 Потенциальная энергия

Вторым видом энергии является потенциальная энергия–энергия, обусловленная взаимодействием тел.

Величину, равную произведению массы тела т на ускорение свободного падения g и на высоту h тела над поверхностью Земли, называют потенциальной энергией взаимодействия тела и Земли. Условимся обозначать потенциальную энергию буквой Е_р.

Е_р= mgh. Величину, равную половине произведения коэффициента упругости k
тела на квадрат деформации х, называют потенциальной энергией упруго деформированного тела:

В обоих случаях потенциальная энергия определяется расположением тел системы или частей одного тела относительно друг друга.

Введя понятие потенциальной энергии, мы получаем возможность выразить работу любых консервативных сил через изменение потенциальной энергии. Под изменением величины понимают разность между ее конечным и начальным значениями

Эта формула позволяет дать общее определение потенциальной энергии. Потенциальной энергией системы называется зависящая от положения тел величина, изменение которой при переходе системы из начального состояния в конечное равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой с противоположным знаком. Знак «минус» в формуле не означает, что работа консервативных сил всегда отрицательна. Он означает лишь, что изменение потенциальной энергии и работа сил в системе всегда имеют противоположные знаки. Нулевой уровень – уровень отсчета потенциальной энергии. Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то только изменение энергии в механике имеет физический смысл. Поэтому можно произвольно выбрать состояние системы, в котором ее потенциальная энергия считается равной нулю. Этому состоянию соответствует нулевой уровень потенциальной энергии. Ни одно явление в природе или технике не определяется значением самой потенциальной энергии. Важна лишь разность значений потенциальной энергии в конечном и начальном состояниях системы тел. Обычно в качестве состояния с нулевой потенциальной энергией выбирают состояние системы с минимальной энергией. Тогда потенциальная энергия всегда положительна.

№25 Основы Молекулярно-Кинетической Теории Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) объясняет свойства макроскопических тел и тепловых процессов, протекающих в них, на основе представлений о том, что все тела состоят из отдельных, беспорядочно движущихся частиц. Основные понятия молекулярно-кинетической теории: Атом (от греческого atomos - неделимый) - наименьшая часть химического элемента, являющаяся носителем его свойств. Размеры атома порядка 10^-10 м. Молекула - наименьшая устойчивая частица данного вещества, обладающая его основными химическими свойствами и состоящая из атомов, соединенных между собой химическими связями. Размеры молекул 10^-10-10^-7м. Макроскопическое тело - тело, состоящее из очень большого числа частиц. Молекулярно-кинетическая теория (сокращённо МКТ) — теория, рассматривающая строение вещества с точки зрения трёх основных приближенно верных положений:

1)все тела состоят из частиц, размером которых можно пренебречь: атомов, молекул и ионов; 2)частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом); 3)частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений.

Основное уравнение МКТ

$<E_k> = \frac{i}{2}kT$ где k является отношением газовой постоянной R к числу Авогадро, а i - число степеней свободы молекул. Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление, объём, температура) газовой системы с микроскопическими (масса молекул, средняя скорость их движения).

Вывод основного уравнения МКТ

Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной l и одна частица массой m в нём. Обозначим скорость движения v_x, тогда перед столкновением со стенкой сосуда импульс частицы равен mv_x, а после - − mv_x, поэтому стенке передается импульс p = 2mv_x. Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой, равно $t = \frac{2l}{v_x}$ .

Отсюда следует: $F_x = \frac{p}{t} = \frac{2mv_x^2}{2l}$

поэтому давление $p_x = \frac{mv_x^2}{l^3} = \frac{mv_x^2}{V}$ .

Соответственно, $p_y = \frac{mv_y^2}{V}$ и $p_z = \frac{mv_z^2}{V}$ .

Таким образом, для большого числа частиц верно следующее: $P_x = N\frac{m\bar{v_x^2}}{V}$ , аналогично для осей y и z.

Поскольку

, то $\bar{v_x^2} = \bar{v_y^2} = \bar{v_z^2} = \frac{1}{3}\bar{v^2}$ .

Отсюда $P_x = P_y = P_z = P = \frac{Nm\bar{v^2}}{3V}$

или $PV = \frac{N}{3}m\bar{v^2}$ .

Пусть $\bar{\epsilon}$ — средняя кинетическая энергия молекул, а E_k — полная кинетическая энергия всех молекул, тогда:

$PV = \frac{2}{3}E_k = RT$ , откуда $E_k = \frac{3}{2}RT$ .

Уравнение среднеквадратичной скорости молекулыУравнение среднеквадратичной скорости молекулы легко выводится из основного уравнения МКТ для одного моля газа.

$E_k = \frac{1}{2}Nm\bar{v^2} = \frac{3}{2}RT$ , для 1 моля N = N_a, где N_a — постоянная Авогадро N_am = M_r, где M_r — молярная масса газа Отсюда окончательно

$\bar{v} = \sqrt{\frac{3RT}{M_r}}$ Изопроцессы - это процессы, протекающие при значении одного из макроскопических параметров. Существуют три изопроцесса: изотермический, изохорный, изобарный.

26 Термодинамическая система. Термодинамический процесс Термодинамическая система — это любая область пространства, ограниченная действительными или воображаемыми границами, выбранными для анализа её внутренних термодинамических параметров. Пространство, смежное с границей системы, называется внешней средой. У всех термодинамических систем есть среда, с которой может происходить обмен энергии и вещества. Границы термодинамической системы могут быть неподвижными или подвижными. Системы могут быть большими или маленькими, в зависимости от границ. Например, система может охватывать всю холодильную систему или газ в одном из цилиндров компрессора. Система может существовать в вакууме или может содержать несколько фаз одного или более веществ. Термодинамические системы могут содержать сухой воздух и водяной пар (два вещества) или воду и водяной пар (две стадии одного и того же вещества). Однородная система состоит из одного вещества, одной его фазы или однородной смеси нескольких компонентов. Системы бывают изолированными (замкнутыми) или открытыми. В изолированной системе не происходит никаких обменных процессов с внешней средой. В открытой системе и энергия и вещество могут переходить из системы в среду и обратно. При анализе насосов и теплообменников необходима открытая система, так как жидкости должны пересекать границы при анализе. Если массовый расход открытой системы устойчивый и однородный, систему называют открытой системой с постоянным расходом. Состояние термодинамической системы определяется физическими свойствами вещества. Температура, давление, объем, внутренняя энергия, энтальпия и энтропия — это термодинамические величины, определяющие те или иные интегральные параметры системы. Данные параметры строго определяются лишь для систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия.

Термодинамический процесс - всякое изменение, происходящее в термодинамической системе и связанное с изменением хотя бы одного ее параметра состояния.

36 Обратимые и необратимые процессы

Если внешнее воздействие на систему проводить в прямом и обратном направлениях, например, чередовать расширение и сжатие, перемещая поршень в цилиндре, то параметры состояния системы также будут меняться в прямом и обратном направлениях. Заданные извне параметры состояния называют внешними параметрами. В рассматриваемом нами простейшем случае роль внешнего параметра выполняет объем системы. Обратимыми называются такие процессы, для которых при прямом и обратном изменении внешних параметров система будет проходить через одни и те же промежуточные состояния. Поясним на примере, что это не всегда справедливо. Если мы будем двигать поршень вверх-вниз очень быстро, так что равномерность концентрации газа в цилиндре не будет успевать установиться, то при сжатии под поршнем будет возникать уплотнение газа, а при расширении - разрежение, то есть промежуточные состояния системы (газа) при одном и том же положении поршня будут различными в зависимости от направления его движения. Это пример необратимого процесса. Если же поршень двигается достаточно медленно, так что концентрация газа успевает выравняться, то при прямом и обратном движениях система будет проходить через состояния с одинаковыми параметрами при одинаковом положении поршня. Это - обратимый процесс. Из приведенного примера видно, что для обратимости необходимо, чтобы изменение внешних параметров осуществлялось достаточно медленно, так, чтобы система успевала вернуться к состоянию равновесия (установление равномерного распределения плотности газа), или, иначе говоря, чтобы все промежуточные состояния были равновесными (точнее - квазиравновесными). Обратим внимание, что в приведенном примере понятия "медленно" и "быстро" по отношению к движению поршня нужно брать в сравнении со скоростью звука в газе, так как именно она является характерной скоростью выравнивания концентраций (напомним, что звук - это волнообразное распространение чередующихся уплотнений и разрежений среды). Так что большинство используемых в технике двигателей удовлетворяют критерию "медленности" движения поршня с точки зрения обратимости происходящих процессов. Именно в этом смысле мы говорили о "медленном" движении поршня при введении понятия работы. Рассмотрим другие примеры необратимых процессов.
Пусть сосуд разделен перегородкой на две части. С одной стороны находится газ, а с другой - вакуум. В какой-то момент открывается кран и начинается необратимое перетекание газа в пустоту. Здесь мы также имеем дело с неравновесными промежуточными состояниями. После достижения равновесия перетекание газа прекратится. Приведем в тепловой контакт два тела с различными температурами. Полученная система будет неравновесной до тех пор, пока не выравняются температуры тел, что будет сопровождаться необратимым переходом тепла от более нагретого тела к менее нагретому.

39.
II
- закон термодинамики.

Первый закон термодинамики означает невозможность существования вечного двигателя первого рода – машины, которая создавала бы энергию. Однако этот закон не накладывает ограничений на превращение энергии из одного вида в другой. Механическую работу всегда можно превратить в теплоту (например, с помощью трения), но для обратного превращения имеются ограничения. Иначе можно было бы превращать в работу теплоту, взятую от других тел, т.е. создать вечный двигатель второго рода. Второй закон термодинамики исключает возможность создания вечного двигателя второго рода. Имеется несколько различных, но эквивалентных формулировок этого закона. Приведем две из них. 1. Постулат Клаузиуса. Процесс, при котором не происходит других изменений, кроме передачи теплоты от горячего тела к холодному, является необратимым, т.е. теплота не может перейти от холодного тела к горячему без каких-либо других изменений в системе. 2. Постулат Кельвина. Процесс, при котором работа переходит в теплоту без каких-либо других изменений в системе, является необратимым, т.е. невозможно превратить в работу всю теплоту, взятую от источника с однородной температурой, не производя других изменений в системе. В этих постулатах существенно, что в системе не происходит никаких других изменений, кроме указанных. При наличии же изменений превращение теплоты в работу в принципе возможно. Так, при изотермическом расширенн идеального газа, заключенного в цилиндр с поршнем, его внутренняя энергия не изменяется, так как она зависит только от температуры. Поэтому из первого закона термодинамики следует, что вся теплота, полученная газом от окружающей среды, преобразуется в работу. Это не противоречит постулату Кельвина, поскольку превращение теплоты в работу сопровождается увеличением объема газа. Из постулата Кельвина непосредственно следует невозможность существования вечного двигателя второго рода. Поэтому неудача всех попыток построить такой двигатель является экспериментальным доказательством второго закона термодинамики. Докажем эквивалентность постулатов Клаузиуса и Кельвина. Для этого нужно показать, что если постулат Кельвина неверен, то неверен и постулат Клаузиуса, и наоборот. Если постулат Кельвина неверен, то теплоту, взятую от источника с температурой T₂ можно превратить а работу, а затем, например, с помощью трения превратить эту работу в теплоту и нагреть тело, имеющее температуру T₁>T₂. Единственным результатот такого процесса будет передача теплоты от холодного тела к горячему, что противоречит постулату Клаузиуса.

Вторая часть доказательства эквивалентности двух постулатов основана на рассмотрении возможности преобразования теплоты в работу. Обсуждению этого вопроса посвящен следующий раздел.

№32 Барометрическая формула. Распределение Больцмана Барометрическая формула — зависимость давления или плотности газа от высоты в поле тяжести. Для идеального газа, имеющего постоянную температуру T и находящегося в однородном поле тяжести (во всех точках его объёма ускорение свободного падения g одинаково), барометрическая формула имеет следующий вид:

$p=p_0\exp\left[-Mg\frac{h-h_0}{RT}\right],$ где p — давление газа в слое, расположенном на высоте h, p₀ — давление на нулевом уровне (h = h₀), M — молярная масса газа, R — газовая постоянная, T — абсолютная температура. Из барометрической формулы следует, что концентрация молекул n (или плотность газа) убывает с высотой по тому же закону:

$n=n_0\exp\left[-Mg\frac{h-h_0}{RT}\right],$ где M — молярная масса газа, R — газовая постоянная. Барометрическая формула может быть получена из закона распределения молекул идеального газа по скоростям и координатам в потенциальном силовом поле. При этом должны выполняться два условия: постоянство температуры газа и однородность силового поля. Аналогичные условия могут выполняться и для мельчайших твёрдых частичек, взвешенных в жидкости или газе. Основываясь на этом, французский физик Ж. Перрен в 1908 году применил барометрическую формулу к распределению по высоте частичек эмульсии, что позволило ему непосредственно определить значение постоянной Больцмана. Барометрическая формула показывает, что плотность газа уменьшается с высотой по экспоненциальному закону. Величина $-m_0g\frac{h-h_0}{kT}$ , определяющая быстроту спада плотности, представляет собой отношение потенциальной энергии частиц к их средней кинетической энергии, пропорциональной kT. Чем выше температура T, тем медленнее убывает плотность с высотой. С другой стороны, возрастание силы тяжести mg (при неизменной температуре) приводит к значительно большему уплотнению нижних слоев и увеличению перепада (градиента) плотности. Действующая на частицы сила тяжести mg может изменяться за счёт двух величин: ускорения g и массы частиц m. Следовательно, в смеси газов, находящейся в поле тяжести, молекулы различной массы по-разному распределяются по высоте. Реальное распределение давления и плотности воздуха в земной атмосфере не следует барометрической формуле, так как в пределах атмосферы температура и ускорение свободного падения меняются с высотой и географической широтой. Кроме того, атмосферное давление увеличивается с концентрацией в атмосфере паров воды. Барометрическая формула лежит в основе барометрического нивелирования — метода определения разности высот Δh между двумя точками по измеряемому в этих точках давлению (p₁ и p₂). Поскольку атмосферное давление зависит от погоды, интервал времени между измерениями должен быть возможно меньшим, а пункты измерения располагаться не слишком далеко друг от друга. Барометрическая формула записывается в этом случае в виде: Δh = 18400(1 + at)lg(p₁ / p₂) (в м), где t — средняя температура слоя воздуха между точками измерения, a — температурный коэффициент объёмного расширения воздуха. Погрешность при расчётах по этой формуле не превышает 0,1—0,5 % от измеряемой высоты. Более точна формула Лапласа, учитывающая влияние влажности воздуха и изменение ускорения свободного падения. Распределение Больцмана — распределение вероятностей различных энергетических состояний идеальной термодинамической системы (идеальный газ атомов или молекул) в условиях термодинамического равновесия; открыто Л. Больцманом в 1868—1871. Согласно распределению Больцмана среднее чсло частиц с полной энергией

равно

где

— кратность состояния частицы с энергией

— число возможных состояний частицы с энергией

. Постоянная Z находится из условия, что сумма

по всем возможным значениям

равна заданному полному числу частиц

в системе (условие нормировки):

В случае, когда движение частиц подчиняется классической механике, энергию

можно считать состоящей из 1)кинетической энергии

(кин) частицы (молекулы или атома), 2)внутренней энергии

(вн) (например, энергии возбуждения электронов) и 3)потенциальной энергии

(пот) во внешнем поле, зависящей от положения частицы в пространстве:

45,46. Фазовые переходы первого и второго рода
Фазовый переход (фазовое превращение) в термодинамике — переход вещества из одной термодинамической фазы в другую при изменении внешних условий. С точки зрения движения системы по фазовой диаграмме при изменении её интенсивных параметров (температуры, давления и т. п.), фазовый переход происходит, когда система пересекает линию, разделяющую две фазы. Поскольку разные термодинамические фазы описываются различными уравнениями состояния, всегда можно найти величину, которая скачкообразно меняется при фазовом переходе. Поскольку разделение на термодинамические фазы — более мелкая классификация состояний, чем разделение по агрегатным состояниям вещества, то далеко не каждый фазовый переход сопровождается сменой агрегатного состояния. Однако любая смена агрегатного состояния есть фазовый переход. Наиболее часто рассматриваются фазовые переходы при изменении температуры, но при постоянном давлении (как правило равном 1 атмосфере). Именно поэтому часто употребляют термины «точка» (а не линия) фазового перехода, температура плавления и т. д. Разумеется, фазовый переход может происходить и при изменении давления, и при постоянных температуре и давлении, но при изменении концентрации компонентов (например, появление кристалликов соли в растворе, который достиг насыщения).           Классификация фазовых переходов                                 При фазовом переходе первого рода скачкообразно изменяются самые главные, первичные экстенсивные параметры: удельный объём (т.е. плотность), количество запасённой внутренней энергии, концентрация компонентов и т. п. Подчеркнём: имеется в виду скачкообразное изменение этих величин при изменении температуры, давления и т. п., а не скачкообразное изменение во времени (насчёт последнего см. ниже раздел Динамика фазовых переходов). Наиболее распространённые примеры фазовых переходов первого рода: 1)плавление и затвердевание 2)кипение и конденсация 3)сублимация и десублимация                                                    При фазовом переходе второго рода плотность и внутренняя энергия не меняются, так что невооружённым глазом такой фазовый переход может быть незаметен. Скачок же испытывают их вторые производные по температуре и давлению: теплоёмкость, коэффициент теплового расширения, различные восприимчивости и т. д.               Фазовые переходы второго рода происходят в тех случаях, когда меняется симметрия строения вещества (симметрия может полностью исчезнуть или понизиться). Описание фазового перехода второго рода как следствие изменения симметрии даётся теорией Ландау. В настоящее время принято говорить не об изменении симметрии, но о появлении в точке перехода параметра порядка, равного нулю в менее упорядоченной фазе и изменяющегося от нуля (в точке перехода) до ненулевых значений в более упорядоченной фазе.              Наиболее распространённые примеры фазовых переходов второго рода:1)прохождение системы через критическую точку 2)переход парамагнетик-ферромагнетик или парамагнетик-антиферромагнетик (параметр порядка — намагниченность) 3)переход металлов и сплавов в состояние сверхпроводимости (параметр порядка — плотность сверхпроводящего конденсата) 4)переход жидкого гелия в сверхтекучее состояние (п.п. — плотность сверхтекучей компоненты) 5)переход аморфных материалов в стеклообразное состояние    Современная физика исследует также системы, обладающие фазовыми переходами третьего или более высокого рода.                          В последнее время широкое распространение получило понятие квантовый фазовый переход, т.е. фазовый переход, управляемый не классическими тепловыми флуктуациями, а квантовыми, которые существуют даже при абсолютном нуле температур, где классический фазовый переход не может реализоваться вследствие теоремы Нернста.

47
. Строение жидкости

Жидкость занимает пpомежуточное положение между твеpдым телом и газом. В чем ее сходство с газом? Жидкость, как и газы, изотpопна. Кpоме того, жидкость обладает текучестью. В ней, как и в газах, отсутствуют касательные напpяжения (напpяжения на сдвиг). Пожалуй, только этими свойствами и огpаничивается сходство жидкости с газом. Значительно существеннее сходство жидкости с твеpдыми телами. Жидкости тяжелы, т.е. их удельные веса сpавнимы с удельными весами твеpдых тел. Жидкости, как и твеpдые тела, плохо сжимаемы. Вблизи темпеpатуp кpисталлизации их теплоемкости и дpугие тепловые хаpактеpистики близки к соответствующим хаpактеpистикам твеpдых тел. Все это говоpит о том, что по своему стpоению жидкости должны в чем-то напоминать твеpдые тела. Теоpия должна объяснить это сходство, хотя должна находить и объяснение отличий жидкостей от твеpдых тел. В частности, она должна объяснить пpичину анизотpопии кpисталлических тел и изотpопию жидкостей. Удовлетвоpительное объяснение стpоения жидкостей пpедложил советский физик Я.Фpенкель. Согласно теоpии Фpенкеля жидкости имеют так называемое квазикpисталлическое стpоение. Кpисталлическое стpоение хаpактеpизуется пpавильным pасположением атомов в пpостpанстве. Оказывается, в жидкостях тоже наблюдается до известной степени пpавильное pасположение атомов, но лишь в малых областях. В малой области наблюдается пеpиодическое pасположение атомов, но по меpе увеличения pассматpиваемой области в жидкости пpавильное, пеpиодическое pасположение атомов теpяется и на больших ее участках полностью исчезает. Пpинято говоpить, что в твеpдых телах имеет место "дальний поpядок" в pасположении атомов (пpавильная кpисталлическая стpуктуpа в больших областях пpостpанства, охватывающих очень большое число атомов), в жидкостях же - "ближний поpядок". Жидкость как бы pазбивается на мелкие ячейки, в пpеделах котоpых и наблюдается кpисталлическое, пpавильное стpоение. Четких гpаниц между ячейками не существует, гpаницы pазмыты. Такое стpоение жидкостей и называется квазикpисталлическим.
        Хаpактеp теплового движения атомов в жидкостях также напоминает движение атомов в твеpдых телах. В твеpдом теле атомы совеpшают колебательное движение около узлов кpисталлической pешетки. В жидкостях имеет место до известной степени аналогичная каpтина. Здесь атомы тоже совеpшают колебательное движение возле узлов квазикpисталлической ячейки, но в отличие от атомов твеpдого тела они вpемя от вpемени пеpескакивают от одного узла к дpугому. В pезультате движение атомов будет весьма сложным: оно колебательное, но вместе с тем центp колебаний вpемя от вpемени пеpемещается в пpостpанстве. Такое движение атомов можно уподобить движению "кочевника". Атомы не пpивязаны к одному месту, они "кочуют", но на каждом месте задеpживаются на опpеделенное, очень коpоткое вpемя, пpи этом совеpшая беспоpядочные колебания. Можно ввести пpедставление о "вpемени оседлой жизни" атома. Между пpочим, в твеpдых телах атомы тоже вpемя от вpемени кочуют, но в отличие от атомов в жидкостях их "сpеднее вpемя оседлой жизни" очень велико. Из-за малых значений "сpеднего вpемени оседлой жизни" атомов в жидкостях отсутствуют касательные напpяжения (напpяжения сдвига). Если в твеpдом теле касательное усилие действует длительное вpемя, то в нем тоже наблюдается некотоpая "текучесть". Наобоpот, если в жидкости касательная нагpузка действует очень коpоткое вpемя, то жидкость по отношению к таким нагpузкам "упpуга", т.е. обнаpуживает сопpотивление дефоpмации на сдвиг.
        Таким обpазом, пpедставления о "ближнем поpядке" в pасположении атомов и о "кочевом" движении атомов пpиближают теоpию жидкого состояния тела к теоpии твеpдого, кpисталлического состояния.
№8

Динамика   вращательного   движения   материальной точки -

никаких особенностей не имеет. Как обычно, центральное соотношение - это второй закон Ньютона для движущегося (по окружности) тела. Следует, конечно, помнить, что при вращательном движении векторное равенство, выращающее этот закон

F_i =ma,

почти всегда следует спроектировать на радиальное (нормальное) и на касательное (тангенциальное) направления:

                                                          F_n
=
ma_n
                                                    (*)


F
_t
=
ma
_t
                                                     (**)

При этом а_n =v²/R - здесь v - скорость тела в данный момент времени, а R - радиус вращения. Нормальное ускорение отвечает за изменение скорости только по направлению.

Иногда а_n = v²/R называют центростремительным ускорением. Происхождение такого названия понятно: это ускорение всегда направлено к центру вращения.
№3 Движение точки по окружности

Движение точки по окружности может быть очень сложным (рис. 17).

Рассмотрим подробно движение точки по окружности, при котором v = const. Такое движение называется равномерным движением по окружности. Естественно, вектор скорости не может быть неизменным (v не равно const), так как направление скорости постоянно меняется.

Время, за которое траектория точки опишет окружность, называется периодом обращения точки (Т). Число оборотов точки в одну секунду называется частотой обращения (v). Период обращения можно найти по формуле: T=1/v

dvijeniya_materialnoiy_tochki_po_okrujnosti_renamed_20190.jpg

Естественно, перемещение точки за один оборот будет равно нулю. Однако пройденный путь будет равен 2ПиR, а при числе оборотов п путь будет равен 2ПиRn или 2ПиRt/T, где t - время движения.

Ускорение при равномерном движении точки по окружности направлено к ее центру и численно равно а = v²/R.

Это ускорение называется центростремительным (или нормальным). Вывод этого равенства может быть следующим. Приведем векторы скорости к одной точке хотя бы за - Т (можно и за Т/2 или Т) (рис. 18).

dvijeniya_materialnoiy_tochki_po_okrujnosti_renamed_11484.jpg

Тогда сумма изменений векторов скоростей за малые промежутки времени будет равна длине дуги АВ, которая равна модулю |v₂ - v₁| за время t = 1/4*Т.

Определим длину дуги. Поскольку радиусом для дуги будет модуль вектора v₁=v₂=v, то длина дуги l может быть вычислена как длина четверти окружности с радиусом v:

После сокращения получим:

Если же движение равнопеременное, то v Ф const, тогда рассматривают другую составляющую ускорения, обеспечивающую изменение модуля скорости. Это ускорение называется тангенциальным:

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории, оно может совпадать по направлению со скоростью (движение равноускоренное) или быть противоположно направленным (движение равнозамедленное).

Рассмотрим движение материальной точки по окружности с постоянной по величине со скоростью. В этом случае, называемое равномерным движением по окружности , касательная составляющая ускорения отсутствует (a_k=0) и ускорение совпадает со своей центростремительной составляющей. За малый промежуток времени ^tточка прошла путь ^S, а радиус-вектор движущейся точки повернулся на малый угол

По величине скорость постоянна и угол ^AOB и ^BCD подобны, поэтому

(48) и

(49). Тогда,

(50) или учитывая, что v и R постоянны и a=a_n (51),получим

(52). При стремление

, поэтому

(53). Следовательно,

(54).
Равномерное движение материальной точки по окружности характеризуются с угловым скоростям

. Она определяется с отношению угла

поворота к промежутку времени

, за который этот поворот произошел:

(55).

Единица измерения в СИ [рад/c]. Линейная и угловая скорость связана с соотношением:

(56). Равномерное движение по окружности описывается периодической функцией:f=(f+T) (57). Здесь наименьшее время повторения Т называется периодом данного процесса. В нашем случае Т-время одного полного обращения. Если за время t сделано N полных оборотов, то время одного оборота в N раз меньше t:T=t/N (58). Для характеристики такого движения вводится число полных оборотов за единицу времени v (частота вращения). Очевидно, что Т и v - величины взаимно обратные: T=t/N (59). Единица измерения частоты в СИ [Гц]. При неравномерном движении материальной точки по окружности вместе с линейной скорости изменяется угловая. Поэтому вводится понятие углового ускорения. Средним угловым ускорением

называется отношение изменения угловой скорости

к промежутку времени

, за который это изменение произошло:

(60). При равнопеременном движении материальной точки по окружности

. Поэтому угловая скорость

и угла

поворота радиуса определяется уравнением:

(61)где

- начальная угловая скорость движения материальной точки.

Равномерное движение материальной точки по окружности - движение материальной точки по окружности, при котором модуль ее скорости не меняется. При таком движении материальная точка обладает центростремительным ускорением.

№2 Характеристики движения материальной точки Механическое движение материальной точки.

Простейшей формой движения материи является механическое движение, которое состоит в перемещении тел или их частей друг относительно друга. Основные характеристики движения.

Положение материальной точки М в Декартовой системе координат определяется тремя координатами (x, y, z) (рис.1) Иначе положение точки может быть задано радиус - вектором r, проведенным из начала отсчета координат 0 до точки М. При своем движение точка М описывает кривую, которая называется траекторией движения. В зависимости от Участок траектории, пройденный точкой за время t, называется длиной пути S. формы траектории движения бывают прямолинейными и криволинейными.
Пройденный путь S связан с временем движения функциональной зависимостью S=f(t)(1), которая является уравнением движения.

Простейшими видами механического движения тела, являются поступательное и вращательное движения. При этом любая прямая, соединяющая две произвольные точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Поступательно движется, например, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания.

При вращательном движении тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения.

Простейшим случаем механического движения является движение точки по прямой, при котором она за равные интервалы времени проходит равные отрезки пути. При равномерном движении скорость точки, т.е. величина, равная отношению пройденного пути S к соответствующему промежутку времени t:V=S/t (2)не изменяется со временем(V=const). При неравномерном движении скорость изменяется от одной точки траектории к другой. Для оценки неравномерного движения вводится понятие средней скорости. Для этого берется отношение всего пути s ко времени t, в течение которого он пройден: Vср=S/t(3).
Следовательно, средняя скорость неравномерного движения равна такой скорости равномерного движения при которое тело проходит такой же путь S и за то же время t , как и при заданном движении.

Рассмотрим движение точки М по произвольной траектории (рис. 2) . Пусть в момент времени t ее положение характеризуется радиусом-вектором r0 . Через промежуток времени ^t точка займет на траектории новое положение М1, характеризуемое радиусом- вектором r. При этом она прошла путь длиной (4), а радиус вектор получил превращение: ^r=r-ro(5).

Направленный отрезок прямой, соединяющий некоторое начальное положение точки с ее последующим положением, называется перемещением. Вектор перемещения точки ^r есть векторная разность радиусов-векторов начального r0 и конечного положений r точки. При прямолинейном движении точки перемещение равно пройденному пути, при криволинейном движении оно по модулю меньше пути. Средняя скорость на участке ММ1, равная отношению (6)

Движение на участке ММ1 характеризуется направлением вектора MM1 и значением скорости Vcp. Следовательно, можно ввести вектор, численно равный средней скорости и имеющий направление вектора перемещения: (7)

Беря бесконечно малый промежуток времени (^t->0), в течение которого происходит движение, получим, что отношение ^r/^t стремится к пределу, и тогда lim(^r/^t)=V(8)

Будет выражать вектор мгновенной скорости, т.е. скорости в данный момент времени. При бесконечном уменьшении ^t различие между^S и ^r будет уменьшатся и в пределе. Они совпадут, тогда на основании (4) можно записать, что модуль скорости: V=lim(^S/^t)=dS/dt (9) т.е. мгновенная скорость при неравномерном движении численно равна первой производной пути по времени.

При неравномерном движении необходимо узнать закономерность изменения скорости со временем. Для этого вводится величина, характеризующая быстроту изменения скорости со временем, т.е. ускорение. Ускорение, как и скорость, является векторной величиной. Отношение приращения скорости ^V к промежуток времени ^t, выражает среднее ускорение:acp=^V/^t(10). Мгновенная скорость численно равна пределу среднего ускорения при стремлении промежутка времени ^t к нулю: d=lim(^V/^t)=dV/dt=d^2S/dt^2(11)
Равномерное прямолинейное движение. При равномерном прямолинейном движении материальной точки мгновенная скорость не зависит от времени и и в каждой точке траектории направлена вдоль траектории. Средняя скорость за любой промежуток времени равна мгновенной скорости точки: (12). Таким образом, (13). График (15) при равномерном движении представляется прямой линией, параллельной оси времени Ot рис. Вид графиков (16), (17) и (18) зависит от направления вектора V и от выбора положительного направления той или иной координатной оси. При равномерном и прямолинейном движении со скоростью V вектор перемещения ^t материальной точки за промежуток времени: ^t=t-t0(19) равен: (20)

Путь S, пройденный материальной точкой при равномерном прямолинейном движении за промежуток времени ^t=t-t0(21), равен модулю ^t вектора перемещения точки за тот же промежуток времени. Поэтому

(22) или, если,t0=0 ,

(23)

Равнопеременное прямолинейное движение. Равнопеременное прямолинейное движение является частным случаем неравномерного движения, при котором ускорение остается постоянным и по модулю и по направлению(a=const). При этом среднее ускорение acp равно и мгновенному ускорению

(24). Если направление ускорения а совпадает с направлением скорости V точки, движение называется равноускоренным. Модуль скорости равноускоренного движения точки с течением времени возрастает. Если направления векторов а и V противоположны, движение называется равнозамедленным. Модуль скорости при равнозамедленном движении с течением времени уменьшается. Изменение скорости

(25) в течение промежутка времени

при равнопеременном прямолинейном движении равно

(26) или

(27). Если в момент начала отсчета времени

скорость точки равна V0 (начальная скорость) и ускорения а известно, то скорость V в произвольный момент времени t:

(28). Проекция вектора скорости на ось ОХ прямоугольной Декартовой системы координат связана с соответствующими проекциями векторов начальной скорости и ускорения уравнением:

(29).
Вектор перемещения Dr точки за промежуток времени

при равнопеременном прямолинейном движении с начальной скоростью

и ускорением а равен:

(30), а его проекция на ось ОХ прямоугольной декартовой системы координат при равна:

(31). Путь S, пройденный точкой за промежуток времени

в равноускоренном прямолинейном движении с начальной скоростью

и ускорением а , при

равен:

(32).При

путь равен:

(33).
При равнозамедленном прямолинейном движении формула пути:

(34).

№9 Момент инерции твердого тела

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться относительно некоторой оси (рис.). Момент импульса i-й точки тела относительно этой оси определяется формулой:

. (1.84) Выражая линейную скорость точки через угловую скорость тела и используя свойства векторного произведения, получим

(1.85) Спроектируем момент импульса на ось вращения: — эта проекция определяет момент относительно этой оси. Получим

(1.86) где z_i,- координата i—точки вдоль оси Z, a R_i, — расстояние точки от оси вращения. Суммируя по всем частицам тела, получим момент импульса всего тела относительно оси вращения:

(1.87) Величина

(1.88) является моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент импульса тела относительно данной оси вращения принимает, таким образом, вид: M_z=J·ω. (1.89) Полученная формула аналогична формуле P_z = mV_z для поступательного движения. Роль массы играет момент инерции, роль линейной скорости — угловая скорость. Подставив выражение (1.89) в уравнение для момента импульса (2.74), получим

J·β_z = N_z. (1.90) где β_z. — проекция на ось вращения углового ускорения

. Это уравнение эквивалентно по форме второму закону Ньютона. В общем случае несимметричного тела вектор M не совпадает по направлению с осью вращения тела и поворачивается вокруг этой ocи вместе с телом, описывая конус. Из соображений симметрии ясно что для однородного тела, симметричного относительно оси вращения, момент импульса относительно точки, лежащей на оси вращения, совпадает с направлением оси вращения. В этом случае имеет место соотношение:

. (1.91) Из выражения (1.90) следует, что при равенстве нулю момент внешних сил произведение Jω остается постоянным Jω = const и изменение момента инерции влечет за собой соответствующее изменение угловой скорости вращения тела. Этим объясняется известное явление, состоящее в том, что человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны либо прижимая их к туловищу, изменяет частоту вращения. Из полученных выше выражений ясно, что момент инерции является такой же характеристикой свойства инерции макроскопического тела в отношении вращательного движения, как инертная масса материальной точки в отношении поступательного движения. Из выражения (1.88) следует, что момент инерции вычисляется путем суммирования по всем частицам тела. В случае непрерывного распределения массы тела по его объему естественно перейти от суммирования к интегрированию, вводя плотность тела. Если тело однородно, то плотность определяется отношением массы к объему тела: p=m/V (1.92) Для тела с неравномерно распределенной массой плотность тела в некоторой точке определяется производной p=dm/dV (1.93) Момент инерции представим в виде:

, (1.94)

где V — микроскопический объем, занимаемый точечной массой. Поскольку твердое тело состоит из большого числа частиц, практически непрерывно заполняющих весь занимаемый телом объем, в выражении (1.94) микроскопический объем можно считать бесконечно малым, в то же время полагая, что точечная масса «размазана» по этому объему. Фактически мы производим сейчас переход от модели точечного распределения масс к модели сплошной среды, какой в действительности и является твердое тело благодаря большой его плотности. Произведенный переход позволяет в формуле (2.94) заменить суммирование по отдельным частицам интегрированием по всему объему тела: (1.95)

Рис. Вычисление момента инерции однородного диска Здесь величины ρ и r являются функциями точки, например, ее декартовых координат. Формула (1.95) позволяет вычислять моменты инерции тел любой формы. Вычислим в качестве примера момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис.). Поскольку диск однороден, плотность можно вынести из-под знака интеграла. Элемент объема диска dV = 2πr·b·dr, где b— толщина диска. Таким образом,

, (1.96) где R — радиус диска. Введя массу диска, равную произведению плотности на объем диска π·R² b, получим:

. (1.97) Нахождение момента инерции диска в рассмотренном примере облегчалось тем, что тело было однородным и симметричным, а момент инерции вычислялся относительно оси симметрии тела. В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J₀ относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: J=J
₀+ma
². (1.98)

№24 Основной закон релятивистской динамики.

Релятивистская энергия Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением v по закону

(5.8)

где

- масса покоя, т.е. масса материальной точки, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m – масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v.
Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует, что основной закон динамики Ньютона

оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная от релятивистского импульса:

   (5.9)

     или

     (5.10)

      где

(5.11)

Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условие

. Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая

. Таким образом, классическая механика – это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.
     Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
     Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость – закон взаимосвязи массы и энергии – установил А. Эйнштейн:

(5.13)

Из (5.13) следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся

) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя

     Энергия покоя является внутренней энергией тела, которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.
     В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.
     В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:

   (5.14)

     Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.
     Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.
     Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения:

В релятивистской динамике значение кинетической энергии Ек определяется как разность энергий движущегося Е и покоящегося Е0 тела:

(5.15)

При

уравнение (5.15) переходит в классическое выражение

Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:

      (5.16)

      Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

№30 Распределение молекул по скоростям. Распределение Максвелла

Распределение молекул по скоростям - функциональная зависимость относительного числа молекул газа от их скорости при тепловом движении.

Распределение Максвелла. Зафиксируем значения скоростей, которыми в данный момент обладают молекулы газа, а затем изобразим их в пространстве скоростей. Это обычное трехмерное пространство, но по осям которого отложены не пространственные координаты, а проекции скоростей на соответствующие направления (см. рис. 14.5). Вследствие равноправности всех направлений движения расположение точек в этом пространстве будет сферически симметричным и должна зависеть только от модуля скорости или величины v². Вероятность того, что молекулы имеют скорость в диапазоне от v до v + dv будет равна отношению числа молекул, обладающих данными скоростями dN_v, к общему числу молекул N:

dP_v = dN_v/N.     (14.23)

Исходя из определения плотности вероятности, имеем:

dN_v/N = f(v)·dV = f(v)·4··v²dv,     (14.24)
где dV - элемент объема в пространстве скоростей, равный объему шарового слоя (см. рис. 14.5).

Следовательно, вероятность того, что молекулы имеют скорость в диапазоне от v до v + dv можно рассчитать с помощью выражения:

dP_v = F(v)·dv,     (14.25)
где F(v) = f(v)·4··v²- функция распределения молекул по скоростям.

Максвелл, исходя из предположения о независимости распределения проекций скорости от ее направления, получил вид функции F(v), названной функцией распределения Максвелла (см. рис. 14.6). (14.26)Вид функции Максвелла зависит от температуры и от массы молекул. Заметим, что показатель экспоненты равен отношению кинетической энергии молекулы к тепловой энергии (m·v²/2)/(k·T).

Т.о. чем выше температура, тем более вероятным становится рост числа молекул с большими скоростями, чем больше масса молекулы, тем при большей температуре с соответствующей вероятностью молекула достигает заданной скорости.

Площадь под кривой на рис. 14.6 равна вероятности того, что скорость молекулы при данной температуре имеет произвольное значение от нуля до бесконечности равна 1. Зная выражение для функции Максвелла, можно найти наиболее вероятную, среднюю и среднеквадратичные скорости.

. (14.27)

Эти выражения предлагаем вам получить самостоятельно. Среднее значение скорости молекул газов при нормальных условиях составляют порядка 10³ м/с. Рис. 14.8. Экспериментальная проверка распределения молекул по скоростям. Одним из классических опытов, подтверждающих наличие распределения молекул по скоростям, является опыт Штерна. Схема опыта приведена на рис. 14.7.

Установка состоит из двух коаксиальных (имеющих одну ось симметрии) цилиндров между которыми создавался вакуум. Вдоль оси цилиндров натянута платиновая нить, покрытая серебром. При пропускании через нее электрического тока атомы серебра испарялись. Во внутреннем цилиндре вырезалась щель через, которую атомы серебра проникали на поверхность внешнего цилиндра, оставляя на ней след в виде узкой вертикальной полоски.

При приведении цилиндров во вращение с постоянной угловой скоростью w след, оставляемый молекулами серебра смещался и размывался (см. рис. 14.8). Действительно, на атомы серебра в неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающимися цилиндрами действует сила Кориолиса F_к

F_к = 2·m·[v·w].

Эта сила отклоняет атомы серебра от прямолинейного распространения. Средняя величина смещения атомов s равна:

s = w·R·t = w²·R/<v>. (14.28)

Измерив величину s из эксперимента, исходя из формулы (14.28), можно найти среднюю скорость движения молекул. Ее значение совпадает с теоретическим значением, полученным с помощью формулы Максвелла.

Более точно закон распределения молекул по скоростям был проверен в опыте Ламмерта.

48. Смачивание. Капиллярные явления
Из практики известно, что капля воды растекается на стекле и принимает форму, изображенную на рис. 98, в то время как ртуть на той же поверхности превращается в несколько сплюснутую каплю (рис. 99). В первом случае говорят, что жидкость смачивает твердую поверхность, во втором — не смачивает ее. Смачивание зависит от характера сил, действующих между молекулами поверхностных слоев соприкасающихся сред. Для смачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела больше, чем между молекулами самой жидкости, и жидкость стремится увеличить поверхность соприкосновения с твердым телом. Для несмачивающей жидкости силы притяжения между молекулами жидкости и твердого тела меньше, чем между молекулами жидкости, и жидкость стремится уменьшить поверхность своего соприкосновения с твердым телом.

К линии соприкосновения трех сред (точка О есть ее пересечение с плоскостью чертежа) приложены три силы поверхностного натяжения, которые направлены по касательной внутрь поверхности соприкосновения соответствующих двух сред (рис. 98 и 99). Эти силы, отнесенные к единице длины линии соприкосновения, равны соответствующим поверхностным

114

натяжениям s₁₂,
s₁₃, s₂₃. Угол q между касательными к поверхности жидкости и твердого тела называется краевым углом. Условием равновесия капли (рис. 98) является равенство нулю суммы проекций сил поверхностного натяжения на направление касательной к поверхности твердого тела, т. е.

-s₁₃+s₁₂+s₂₃cosq=0,

откуда

cosq=(s₁₃-s₁₂)/s₂₃. (67.1)

Из условия (67.1) вытекает, что краевой угол может быть острым или тупым в зависимости от значений s₁₃ и s₁₂. Если s₁₃>s₁₂, то cosq>0 и угол q — острый (рис. 98), т.е. жидкость смачивает твердую поверхность. Если s₁₃<s₁₂, то cosq<0 и угол q — тупой (рис. 99), т. е. жидкость не смачивает твердую поверхность.

Краевой угол удовлетворяет условию (67.1), если

|s₁₃-s₁₂|/s₂₃<1. (67.2)

Если условие (67.2) не выполняется, то капля жидкости 2 ни при каких значениях 6 не может находиться в равновесии. Если s₁₃>s₁₂+s₂₃, то жидкость растекается по поверхности твердого тела, покрывая его тонкой пленкой (например, керосин на поверхности стекла),— имеет место полное смачивание (в данном случае q=0). Если s₁₂>s₁₃+s₂₃, то жидкость стягивается в шаровую каплю, в пределе имея с ней лишь одну точку соприкосновения (например, капля воды на поверхности парафина),— имеет место полное несмачивание (в данном случае q=p).

Смачивание и несмачивание являются понятиями относительными, т. е. жидкость, смачивающая одну твердую поверхность, не смачивает другую. Например, вода смачивает стекло, но не смачивает парафин; ртуть не смачивает стекло, но смачивает чистые поверхности металлов.

Капиллярные явления

Если поместить узкую трубку (капилляр) одним концом в жидкость, налитую в широкий сосуд, то вследствие смачивания или несмачивания жидкостью стенок капилляра кривизна поверхности жидкости в капилляре становится значительной. Если жидкость смачивает материал трубки, то внутри ее поверхность жидкости — мениск— имеет вогнутую форму, если не смачивает — выпуклую (рис. 101).

Под вогнутой поверхностью жидкости появится отрицательное избыточное давление, определяемое по формуле (68.2). Наличие этого давления приводит к тому, что жидкость в капилляре поднимается, так как под плоской поверхностью жидкости в широком сосуде избыточного давления нет. Если же жидкость не смачивает стенки капилляра, то положительное избыточное давление приведет к опусканию жидкости в капилляре. Явление изменения высоты уровня жидкости в капиллярах называется капиллярностью. Жидкость в капилляре поднимается или опускается на такую высоту h
, при которой давление столба жидкости (гидростатическое давление) rgh
уравновешивается избыточным давлением Dр, т. е.

2s/R=rgh,

где r — плотность жидкости, g
— ускорение свободного падения.

Если m — радиус капилляра, q — краевой угол, то из рис. 101 следует, что (2scosq)/r=r
gh
, откуда

h=(2scosq)/(rgr). (69.1)

В соответствии с тем, что смачивающая жидкость по капилляру поднимается, а несмачивающая — опускается, из фор-

мулы (69.1) при q<p/2 (cosq>0) получим положительные значения Л, а при 0>p/2 (cosq<0) —отрицательные. Из выражения (69.1) видно также, что высота поднятия (опускания) жидкости в капилляре обратно пропорциональна его радиусу. В тонких капиллярах жидкость поднимается достаточно высоко. Так, при полном смачивании (6 = 0) вода (r=1000 кг/м³, s=0,073 Н/м) в капилляре диаметром 10 мкм поднимается на высоту h»3 м.

38. Циклические процессы. Теорема Карно
1. Рабочим телом (рабочим агентом) называется термодинамическая система, совершающая процесс и предназначенная для преобразования одной формы передачи энергии - теплоты или работы - в другую. Например, в тепловом двигателе рабочее тело, получая энергию в форме тепла, часть ее передает в форме работы.
2. Нагревателем (теплоотдатчиком) называется система, сообщающая рассматриваемой термодинамической системе энергию в форме тепла.
Холодильником (теплоприемником) называется система, получающая от рассматриваемой термодинамической системы энергию в форме тепла.
3. Круговые процессы изображаются в термодинамических диаграммах в виде замкнутых кривых. Работа против внешнего давления, совершаемая системой в обратимом круговом процессе, измеряется площадью, ограниченной кривой этого процесса в диаграмме V - р.
Прямым циклом называется круговой процесс, в котором система совершает положительную работу: А > 0. В диаграмме V - p прямой цикл изображается в виде замкнутой кривой, проходимой рабочим телом по часовой стрелке.
Обратным, циклом называется круговой процесс, в котором работа, совершаемая системой, отрицательна А < 0. В диаграмме V - p обратный цикл изображается в виде замкнутой кривой, проходимой рабочим телом против часовой стрелки.
В тепловом двигателе рабочее тело совершает прямой цикл, а в холодильной машине - обратный цикл.
4. Термическим (термодинамическим) коэффициентом полезного действия (к. п. д.)  называется отношение теплового эквивалента А работы, совершенной рабочим телом в рассматриваемом прямом круговом процессе, к сумме Q₁ всех количеств тепла, сообщенных при этом рабочему телу нагревателями:

 = A/Q₁ = (Q₁ - Q₂)/Q₁

где Q₂ - абсолютная величина суммы количеств тепла, отданных рабочим телом холодильникам. Термический к. п. д. характеризует степень совершенства преобразования внутренней энергии в механическую, происходящего в тепловом двигателе, который работает по рассматриваемому циклу.
5. Циклом Карно называется прямой круговой процесс (рис. 1), состоящий из двух изотермических процессов 1 - 1' и 2 - 2' и двух адиабатических процессов 1' - 2 и 2' - 1. В процессе 1 - 1' рабочее тело получает от нагревателя количество тепла Q₁ а в процессе 2 - 2' рабочее тело отдает холодильнику количество тепла Q₂.

Рис.1. Цикл Карно

Теорема Карно: термический к. и. д. обратимого цикла Карно не зависит от природы рабочего тела и является функцией только абсолютных температур нагревателя (T₁) и холодильника (T₂):

 = (T₁ - T₂)/T₁

40. Третий закон термодинамики

Значение аддитивной константы, возникающей при определении энтропии, устанавливается теоремой Нернста, которую часто называют третьим законом термодинамики: энтропия любой системы при абсолютном нуле температуры всегда может быть принята равной нулю.

Физический смысл теоремы состоит в том, что при T = 0 все возможные состояния системы имеют одинаковую энтропию. Поэтому состояние системы при T = 0 удобно взять в качестве начального состояния О и положить энтропию этого состояния равной нулю. Тогда энтропию произвольного состояния A можно определить интегралом (63) где интегрирование производится вдоль обратимого процесса, начинающегося от состояния при T = 0 и заканчивающегося состоянием A.

В термодинамике теорема Нернста принимается как постулат. Доказывается она методами квантовой статистики.

Из теоремы Нернста следует важный вывод о поведении теплоемкости тел при T→ 0. Рассмотрим нагревание твердого тела. При изменении его температуры T на dT тело поглощает количество теплоты δ Q = C(T) dT ,(64) где C(T) - его теплоемкость. Поэтому согласно определению (63) энтропию тела при температуре T можно представить в форме

(65)

Из этой формулы видно, что если бы теплоемкость тела при абсолютном нуле, C(0), отличалась от нуля, то интеграл (65) расходился бы на нижнем пределе. Поэтому при T = 0 теплоемкость должна равняться нулю: C(0) = 0 (66).            Этот вывод находится в согласии с экспериментальными данными по теплоемкости тел при T→ 0 .                                  Следет отметить, что (66) относится не только к твердым телам, но и к газам. Сделанное ранее утверждение о том, что теплоемкость идеального газа не зависит от температуры, справедливо только для не слишком низких температур. При этом нужно иметь в виду два обстоятельства.                          1. При низких температурах свойства любого газа сильно отличаются от свойств идеального газа, т.е. вблизи абсолютного нуля ни одно вещество не является идеальным газом.                                                     2. Если бы даже идеальный газ мог существовать вблизи нуля температуры, то строгое вычисление его теплоемкости методами квантовой статистики показывает, что она стремилась бы к нулю при T→ 0 .

15. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции

законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчета. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальной системы с ускорением, называются неинерциальными. В неинерциальных системах законы Ньютона, вообще говоря, уже несправедливы. Однако законы динамики можно применять и для них, если кроме сил, обусловленных воздействием тел друг на друга, ввести в рассмотрение силы особого рода — так называемые силы инерции.

Если учесть силы инерции, то второй закон Ньютона будет справедлив для любой системы отсчета: произведение массы тела на ускорение в рассматриваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инерции F_ин при этом должны быть такими, чтобы вместе с силами F, обусловленными воздействием тел друг на друга, они сообщали телу ускорение а', каким оно обладает в неинерциальных системах отсчета, т. е.

mа' = F+F_ин. (27.1)

Так как F=ma (a — ускорение тела в инерциальной системе отсчета), то

ma' = ma+F_ин.

Силы инерции обусловлены ускоренным движением системы отсчета относительно измеряемой системы, поэтому в общем случае нужно учитывать следующие случаи проявления этих сил: 1) силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета; 2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета; 3) силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.

Рассмотрим эти случаи.

1. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета. Пусть на тележке к штативу на нити подвешен шарик массой т (рис. 40). Пока тележка покоится или движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, занимает вертикальное положение и сила тяжести Р уравновешивается реакцией нити Т. Если тележку привести в поступательное движение с ускорением а₀, то нить начнет отклоняться от вертикали назад до такого угла а, пока результирующая сила F=P+T не обеспечит ускорение шарика, равное а₀. Таким образом, результирующая сила F направлена в сторону ускорения тележки а₀ и для установившегося движения шарика (шарик теперь движется вместе с тележкой с ускорением а₀) равна

F
=
mgtga=ma₀,

откуда угол отклонения нити от вертикали tga=a₀/g,

т. е. тем больше, чем больше ускорение тележки. Относительно системы отсчета, связанной с ускоренно движущейся тележкой, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F_и, которая является ничем иным, как силой инерции, так как на шарик никакие другие силы не действуют. Таким образом,

F_и=-ma₀. (27.2)

Проявление сил инерции при поступательном движении наблюдается в повседневных явлениях. Например, когда поезд набирает скорость, то пассажир, сидящий по ходу поезда, под действием силы инерции прижимается к спинке сиденья. Наоборот, при торможении поезда сила инерции направлена в противоположную сторону и пассажир отделяется от спинки сиденья. Особенно эти силы заметны при внезапном торможении поезда. Силы инерции проявляются в перегрузках, которые возникают при запуске и торможении космических кораблей.

2. Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета. Пусть диск равномерно вращается с угловой скоростью w(w=const) вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. На диске, на разных расстояниях от оси вращения, установлены маятники (на нитях подвешены шарики массой m
). При вращении маятников вместе с диском шарики отклоняются от вертикали на некоторый угол (рис.41).

В инерциальной системе отсчета, связанной, например, с помещением, где установлен диск, шарик равномерно вращается по окружности радиусом R
(расстояние от точки крепления маятника к диску до оси вращения). Следовательно, на него действует сила, равная F
= mw²R и направленная перпендикулярно оси вращения диска. Она является равнодействующей силы тяжести Р и силы натяжения нити Т: F
=
P
+
T
, Когда движение шарика установит-

ся, то F=mgtgalfa=mw²R, откуда tgalfa
=
w
²
R
/
g
,

т. е. углы отклонения нитей маятников будут тем больше, чем больше расстояние К от шарика до оси вращения диска и чем больше угловая скорость вращения w.

Относительно системы отсчета, связанной с вращающимся диском, шарик покоится, что возможно, если сила F уравновешивается равной и противоположно направленной ей силой F_и, которая является ничем иным, как силой инерции, гак как на шарик никакие другие силы не действуют. Сила F_ц, называемая центробежной силой инерции, направлена по горизонтали от оси вращения диска и равна

F_ц=-mw²R. (27.3)

Действию центробежных сил инерции подвергаются, например, пассажиры в движущемся транспорте на поворотах, летчики при выполнении фигур высшего пилотажа; центробежные силы инерции используются во всех центробежных механизмах: насосах, сепараторах и т. д., где они достигают огромных значений. При проектировании быстро вращающихся деталей машин (роторов, винтов самолетов и т. д.) принимаются специальные меры для уравновешивания центробежных сил инерции.

Из формулы (27.3) вытекает, что центробежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направлении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения и системы отсчета и радиуса R, но не зависит от скорости тел относительно вращающихся систем отсчета. Следовательно, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсчета на все тела, удаленные от оси вращения на конечное расстояние, независимо от того, покоятся ли они в этой системе (как мы предполагали до сих пор) или движутся относительно нее с какой-то скоростью.

3. Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета. Пусть шарик массой т движется с постоянной скоростью v
' вдоль радиуса равномерно вращающегося диска (v’ = const, w=const, v'┴w). Если диск не вращается, то шарик, направленный вдоль радиуса, движется по радиальной прямой и попадает в точку А, если же диск привести во вращение в направлении, указанном стрелкой, то шарик катится по кривой 0В (рис. 42, а), причем его скорость v
' относительно диска изменяет свое направление. Это возможно лишь тогда, если на шарик действует сила, перпендикулярная скорости v
'.

Для того чтобы заставить шарик катиться по вращающемуся диску вдоль радиуса, используем жестко укрепленный вдоль радиуса диска стержень, на котором шарик движется без трения равномерно и прямолинейно со скоростью v' (рис. 42,б). При отклонении шарика стержень действует на него с некоторой силой F. Относительно диска (вращающейся системы отсчета) шарик движется равномерно и прямолинейно, что можно объяснить тем, что сила F уравновешивается приложенной к шарику силой инерции F_K, перпендикулярной скорости v'. Эта сила называется кориолисовой силой инерции. Можно показать, что сила Кориолиса

Вектор f_k перпендикулярен векторам скорости v' тела и угловой скорости вращения w системы отсчета в соответствии с правилом правого винта.

Сила Кориолиса действует только на тела, движущиеся относительно вращающейся системы отсчета, например относительно Земли. Поэтому действием этих сил объясняется ряд наблюдаемых на Земле явлений. Так, если тело движется в северном полушарии на север (рис. 43), то действующая на него сила Кориолиса, как это следует из выражения (27.4), будет направлена вправо по отношению к направлению движения, т. е. тело несколько отклонится на восток. Если тело движется на юг. то сила Кориолиса также действует вправо, если смотреть по направлению движения, т. е. тело отклонится на запад. Поэтому в северном полушарии наблюдается более сильное подмывание правых берегов рек; правые рельсы железнодорожных путей по движению изнаши-
49

ваются быстрее, чем левые, и т. д. Аналогично можно показать, что в южном полушарии сила Кориолиса, действующая на движущиеся тела, будет направлена влево по отношению к направлению движения.

Благодаря силе Кориолиса падающие на поверхность Земли тела отклоняются к востоку (на широте 60° это отклонение должно составлять 1 см при падении с высоты 100 м). С силой Кориолиса связано поведение маятника Фуко, явившееся в свое время одним из доказательств вращения Земли. Если бы этой силы не было, то плоскость колебаний качающегося вблизи поверхности Земли маятника оставалась бы неизменной (относительно Земли). Действие же сил Кориолиса приводит к вращению плоскости колебаний вокруг вертикального направления.

Раскрывая содержание F_ин в формуле

(27.1), получим основной закон динамики для неинерциальных систем отсчета:

mа'=F+F_и+F_ц+F_K, где силы   инерции задаются формулами

(27.2) — (27.4).

35 Основные изопроцесыв идеальном газе

Изотермический процесс

     Закон Бойля – Мариотта справедлив для любых газов, а так же и их

смесей, например для воздуха. Лишь при давлениях, в несколько сотен раз

больше атмосферного, отклонение от этого закона становится существенным.

     Зависимость давления газа от объёма при постоянной температуре

графически изображается кривой, которая называется изотермой. Изотерма

газа изображает обратно пропорциональную зависимость между давлением и

объёмом. Кривую такого рода в математике называют гиперболой.

Изобарный процесс

     Этот закон был установлен экспериментально в 1802 году французским

учёным Ж. Гей-Люссаком (1778 – 1850) и носит название закона Гей-Люссака.

Согласно уравнению объём газа линейно зависит от температуры при постоянном

давлении: V=const T.

      Эта зависимость графически изображается прямой, которая называется

изобарой.

     Различным давлениям соответствуют разные изобары. С ростом давления

объём газа при постоянной температуре согласно закону   Бойля-Мариотта

уменьшается. Поэтому изобара, соответствующая более высокому давлению p2,

лежит ниже изобары, соответствующей более низкому давлению p1.

     В области низких температур все изобары идеального газа сходятся в

точке T=0. Но это не означает, что объём реального газа действительно

обращается в нуль. Все газы при сильном охлаждении превращаются в жидкость,

а к жидкостям уравнения состояния неприменимо.

     Изобарным можно считать расширение газа при нагревании его в цилиндре

с подвижным поршнем. Постоянство давления в   цилиндре   обеспечивается

атмосферным давлением на внешнюю поверхность поршня.
Изохорный процесс

Этот газовый закон был установлен в 1787 году французским физиком Ж.

Шарлем (1746 – 1823) и носит название закона Шарля. Согласно уравнению

[pic] =const при V=const давления газа линейно зависит от температуры при

постоянном объёме: p=const T.

     Эта зависимость изображается прямой, называемой изохоройРазным объёмам соответствуют разные изохоры. С ростом объёма газа при

постоянной температуре давление его согласно закону Бойля-Мариотта падает.

Поэтому изохора, соответствующая большему объёму V2, лежит ниже изохоры,

соответствующей меньшему объёму V1.

     В соответствии с уравнением все изохоры начинаются в точке T=0.

Значит, давление идеального газа при абсолютном нуле равно нулю.

     Увеличение давления газа в любой ёмкости или в электрической лампочке

при нагревании является изохорным процессом. Изохорный процесс используется

в газовых термостатах постоянного объёма.

Изопроцессом называют процесс, происходящий с данной массой газа при одном постоянном параметре — температуре, давлении или объеме. Из уравнения состояния как частные случаи получаются законы для изопроцессов.
     Изотермическим называют процесс, протекающий при постоянной температуре. Т = const. Он описывается законом Бойля—Мариотта: pV = const.
     Изохорным называют процесс, протекающий при постоянном объеме. Для него справедлив закон Шарля: V = const, p/T = const.
     Изобарным называют процесс, протекающий при постоянном давлении. Уравнение этого процесса имеет вид V/T = const прир = const и называется законом Гей-Люссака. Все процессы можно изобразить графически (рис. 15).
     Реальные газы удовлетворяют уравнению состояния идеального газа при не слишком высоких давлениях (пока собственный объем молекул пренебрежительно мал по сравнению с объемом сосуда,


     в котором находится газ) и при не слишком низких температурах (пока потенциальной энергией межмолекулярного взаимодействия можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией теплового движения молекул), т. е. для реального газа это уравнение и его следствия являются хорошим приближением.

41.ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ, ф-ции параметров состояния макроскопич. системы (т-ры Т, давления р, объема V, энтропии S, чисел молей компонентов n_i, хим. потенциалов компонентов m, и др.), применяемые главным образом для описания термодинамического равновесия. Каждому термодинамические потенциалы соответствует набор параметров состояния. наз. естественными переменными.                     Важнейшие термодинамические потенциалы: внутренняя энергия U (естественные переменные S, V, n_i); энтальпия Н= U — (— pV) (естественные переменные S, p, n_i); энергия Гельмгольца (свободная энергия Гельмгольца, ф-ция Гельмгольца) F = = U — TS (естественные переменные V, Т, n_i); энергия Гиббса (своб. энергия Гиббса, ф-ция Гиббса) G=U — — TS — (— pV) (естественные переменные p, Т, n_i); большой термодинамич. потенциал(естественные переменные V, Т, m_i). термодинамические потенциалы могут быть представлены общей ф-лой

где L_k - интенсивные параметры. не зависящие от массы системы (таковы Т, p, m_i), X_k-экстенсивные параметры, пропорциональные массе системы (V, S, n_i). Индекс l = 0 для внутренней энергии U, 1-для H и F, 2-для G и W. термодинамические потенциалы являются ф-циями состояния термодинамической системы, т.е. их изменение в любом процессе перехода между двумя состояниями определяется лишь начальным и конечным состояниями и не зависит от пути перехода. Полные дифференциалы термодинамические потенциалы имеют вид:

Ур-ние (2) наз. фундаментальным ур-нием Гиббса в энергетич. выражении. Все термодинамические потенциалы имеют размерность энергии.                                                                        Условия равновесия термодинамич. системы формулируются как равенство нулю полных дифференциалов термодинамические потенциалы при постоянстве соответствующих естественных переменных:

Термодинамич. устойчивость системы выражается неравенствами:

Убыль термодинамические потенциалы в равновесном процессе при постоянстве естественных переменных равна максимальной полезной работе процесса А:

При этом работа А производится против любой обобщенной силы L_k, действующей на систему, кроме внеш. давления (см. Максимальная работа реакции).                                                   термодинамические потенциалы, взятые как ф-ции своих естественных переменных, являются характеристическими ф-циями системы. Это означает, что любое термодинамич. свойство (сжимаемость, теплоемкость и т. п.) м. б. выражено соотношением, включающим только данный термодинамические потенциалы, его естественные переменные и производные термодинамические потенциалы разных порядков по естественным переменным. В частности, с помощью термодинамические потенциалы можно получить уравнения состояния системы.                                           Важными свойствами обладают производные термодинамические потенциалы Первые частные производные по естественным экстенсивным переменным равны интенсивным переменным, например:

[в общем виде: (9Y_l/9Х_i) = L_i]. И наоборот, производные по естественным интенсивным переменным равны экстенсивным переменным, например:

[в общем виде: (9Y_l/9L_i) = X_i]. Вторые частные производные по естественным переменным определяют мех. и термич. свойства системы, например:

Т.к. дифференциалы термодинамические потенциалы являются полными, перекрестные вторые частные производные термодинамические потенциалы равны, например для G(T, p, n_i):

Соотношения этого типа называются соотношениями Максвелла.                      термодинамические потенциалы можно представить и как ф-ции переменных, отличных от естественных, например G(T, V, n_i), однако в этом случае свойства термодинамические потенциалы как характеристич. ф-ции будут потеряны. Помимо термодинамические потенциалы характеристич. ф-циями являются энтропия S (естественные переменные U, V, n_i), ф-ция Массье Ф₁ = (естественные переменные 1/Т, V, n_i), ф-ция Планка (естественные переменные 1/Т, p/Т, n_i). термодинамические потенциалы связаны между собой ур-ниями Гиббса-Гельмгольца. Напр., для H и G

В общем виде:

термодинамические потенциалы являются однородными ф-циями первой степени своих естественных экстенсивных переменных. Напр., с ростом энтропии S или числа молей n_i пропорционально увеличивается и энтальпия Н. Согласно теореме Эйлера, однородность термодинамические потенциалы приводит к соотношениям типа:

№5 Виды сил в механике                                                            Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела. Невесомость.

    Исаак Ньютон выдвинул предположение, что между любыми телами в природе существуют силы взаимного притяжения. Эти силы называют силами гравитации, или силами всемирного тяготения. Сила всемирного тяготения проявляется в Космосе, Солнечной системе и на Земле. Ньютон обобщил законы движения небесных тел и выяснил,

     что сила F равна:

     массы взаимодействующих тел, R — расстояние между ними, G — коэффициент пропорциональности, который называется гравитационной постоянной. Численное значение гравитационной постоянной опытным путем определил Кавендиш, измеряя силу взаимодействия между свинцовыми шарами. В результате закон всемирного тяготения звучит так: между любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки.
     Частным видом силы всемирного тяготения является сила притяжения тел к Земле (или к другой планете). Эту силу называют силой тяжести. Под действием этой силы все тела приобретают ускорение свободного падения. В соответствии со вторым законом Ньютона g = Ft*m следовательно, Ft = mg. Сила тяжести всегда направлена к центру Земли. В зависимости от высоты h над поверхностью Земли и географической широты положения тела ускорение свободного падения приобретает различные значения. На поверхности Земли и в средних широтах ускорение свободного падения равно 9,831 м/с2.
     В технике и быту широко используется понятие веса тела. Весом тела называют силу, с которой тело давит на опору или подвес в результате гравитационного притяжения к планете (рис. 6). Вес тела обозначается Р. Единица веса — Н. Так как вес равен силе, с которой тело действует на опору, то в соответствии с третьим законом Ньютона по величине вес тела равен силе реакции опоры. Поэтому, чтобы найти вес тела, необходимо определить, чему равна сила реакции опоры.

    Р = N = mg

Силы упругостиПри деформациях твердого тела его частицы (атомы, молекулы, ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению противодействуют силы взаимодействия между частицами твердого тела, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому при любом виде упругой деформации в теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации. Силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные против направления смещения частиц тела, вызываемого деформацией, называют силами упругости. Силы упругости действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформации. В случае одностороннего растяжения или сжатия сила упругости направлена вдоль прямой, по которой действует внешняя сила, вызывающая деформацию тела, противоположно направлению этой силы и перпендикулярно поверхности тела. Природа упругих сил электрическая Силы трения. Рассматривая до сих пор силы, мы не интересовались их происхождением. Однако в механических процессах действуют различные силы: трения, упругости, тяготения. Рассмотрим силы трения. Из опыта известно, что всякое тело, движущееся по горизонтальной поверхности другого тела, при отсутствии действия на него других сил с течением времени замедляет свое движение и в конце концов останавливается. С механической точки зрения, это можно объяснить существованием некоторой силы, которая препятствует движению. Это сила трения – сила сопротивления, направленная противоположно относительному перемещению данного тела и приложенная по касательной к соприкасающимся поверхностям. Сила трения покоя. Она определяется проекцией равнодействующей силы на направление соприкасающихся поверхностей. Увеличивается пропорционально этой силе до тех пор, пока не начнется движение. График зависимости силы трения от проекции равнодействующей силы выглядит следующим образом. Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например между различными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою.

В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазочной прослойки ~ 0,1 мкм и меньше). Рассмотрим некоторые закономерности внешнего трения. Это трение обусловлено шероховатостью соприкасающихся поверхностей, в случае же очень гладких поверхностей трение обусловлено силами межмолекулярного притяжения.

Рассмотрим лежащее на плоскости тело (рисунок), к которому приложена горизонтальная сила

. Тело придет в движение лишь тогда, когда приложенная сила

будет больше силы трения

Французские физики Г. Амонтон и Ш. Кулон опытным путем установили следующий закон: сила F_тр трения скольжения пропорциональна силе N нормального давления:

F_тр = f N, где f – коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.

Довольно радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т.д.). Коэффициент трения качения в десятки раз меньше коэффициента трения скольжения. Сила трения качения определяется по закону Кулона:

,- радиус катящегося тела, f_к – коэффициент трения качения, имеющий размерность [f_к] = L. Из этой формулы следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

Постулаты специальной теории относительности.
     Преобразования Лоренца Специальная теория относительности представляет собой современную физическую теорию пространства и времени. В СТО, как и в классической механике, предполагается, что время однородно (инвариантность физических законов относительно выбора начала отсчета времени), а пространство однородно и изотропно (симметрично). Специальная теория относительности называется также релятивистской теорией, а явления, описываемые этой теорией – релятивистскими эффектами.
     В основу СТО легло положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не могут распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме, а скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения.
     Это положение формулируется в виде двух постулатов А. Эйнштейна: принципа относительности и принципа постоянства скорости света.
     Первый постулат является обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы и утверждает, что законы физики имеют одинаковую форму (инвариантны) во всех инерциальных системах отсчета: любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя, и в такой же системе, находящейся в состоянии равномерного прямолинейного движения. Состояние покоя или движения определяется здесь относительно произвольно выбранной инерциальной системы отсчета; физически эти состояния равноправны.
     Второй постулат утверждает: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

     Анализ явлений в инерциальных системах отсчета, проведенный А. Эйнштейном на базе сформулированных им постулатов, показал, что преобразования Галилея несовместимы с ними и, следовательно, должны быть заменены преобразованиями, удовлетворяющими постулатам СТО.
     Рассмотрим две инерциальные системы отсчета: К (с координатами x, y, z) и К΄ (с координатами x΄, y΄, z΄), движущуюся относительно К вдоль оси х со скоростью =const. Пусть в начальный момент времени (t = t΄ = 0), когда начала систем координат совпадают (0 = 0΄), излучается световой импульс. Согласно второму постулату Эйнштейна скорость света в обеих системах одна и та же и равна с. Поэтому если за время t в системе К сигнал дойдет до некоторой точки А, пройдя расстояние


    (5.6)

       то в системе К΄ координата светового импульса в момент достижения точки А будет равна


     (5.7)

       где t΄ - время прохождения светового импульса от начала координат до точки А в системе К΄. Вычитая (5.6) из (5.7), получим:


       Так как (система К΄ перемещается относительно К), то получается, что , т.е. отсчет времени в системах К΄ и К различен или имеет относительный характер (в классической механике считается, что время во всех инерциальных системах отсчета протекает одинаково, т.е. t = t΄).
     А. Эйнштейн показал, что в СТО классические преобразования Галилея при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой заменяются преобразованиями Лоренца (1904 г.), удовлетворяющими первому и второму постулатам


     Из преобразований Лоренца вытекает, что при малых скоростях (по сравнению со скоростью света) они переходят в преобразования Галилея. При v>c выражения для x, t, x΄ и t΄ теряют физический смысл, т.е. движение со скоростью, большей скорости света в вакууме, невозможно. Кроме того, из табл. 5.1 следует, что как пространственные, так и временные преобразования Лоренца не являются независимыми: в закон преобразования координат входит время, а в закон преобразования времени - пространственные координаты, т.е. устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Таким образом, релятивистская теория Эйнштейна оперирует не трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.
34 Теплоёмкость тела (обозначается C) — физическая величина, определяющая отношение бесконечно малого количества теплоты ΔQ, полученного телом, к соответствующему приращению его температуры ΔT:

$C = {\delta Q \over \delta T}$ Единица измерения теплоёмкости в системе СИ — Дж/К.                            Удельная теплоёмкость вещества — теплоёмкость единицы массы данного вещества. Единицы измерения — Дж/(кг К).                                                    Молярная теплоёмкость вещества — теплоёмкость 1 моля данного вещества. Единицы измерения — Дж/(моль К).                                                                  Если же говорить про теплоёмкость произвольной системы, то ее уместно формулировать в терминах термодинамических потенциалов — теплоёмкость есть отношение малого приращения количества теплоты Q к малому изменению температуры T:

$C = \frac{\delta Q}{dT}$    Понятие теплоёмкости определено как для веществ в различных агрегатных состояниях (твёрдых тел, жидкостей, газов), так и для ансамблей частиц и квазичастиц (в физике металлов, например, говорят о теплоёмкости электронного газа). Если речь идёт не о каком-либо теле, а о некотором веществе как таковом, то различают удельную теплоёмкость — теплоёмкость единицы массы этого вещества и молярную — теплоёмкость одного моля его.                                                          Для примера, в молекулярно-кинетической теории газов показывается, что молярная теплоёмкость идеального газа с i степенями свободы при постоянном объеме равна:

$c_v = \frac{i}{2}R\!$ R = 8.31 Дж/(моль К) — универсальная газовая постоянная.                        А при постоянном давлении $c_p = c_v + R = \frac{i+2}{2} R\!$                                                 Удельные теплоёмкости многих веществ приведены в справочниках обычно для процесса при постоянном давлении. К примеру, удельная теплоемкость жидкой воды при нормальных условиях — 4200 Дж/(кг К). Льда — 2100 Дж/(кг К)                 Существует несколько теорий теплоёмкости твердого тела:                                                     1)Закон Дюлонга-Пти и закон Джоуля-Коппа. Оба закона выведены из классических представлений и с определенной точностью справедливы лишь для нормальных температур (примерно от 15°C до 100°C).                                      2)Квантовая теория теплоёмкостей Эйнштейна. Первая весьма удачная попытка применения квантовых законов к описанию теплоемкости.                                                                          3)Квантовая теория теплоёмкостей Дебая. Содержит наиболее полное описание и хорошо согласуется с экспериментом.                                          Теплоёмкость системы невзаимодействующих частиц (например, газа) определяется числом степеней свободы частиц.

№21 Принцип относительности Галилея                                          Законы природы, определяющие изменение состояния движения механических систем, не зависят от того, к какой из двух инерциальных систем отсчета они относятся. Это и есть принцип относительности Галилея.                                Из преобразований Галилея и принципа относительности следует, что взаимодействия в классической физике должны передаваться с бесконечно большой скоростью c = ∞, т. к. в противном случае можно было бы одну инерциальную систему отсчета отличить от другой по характеру протекания в них физических процессов.
Дело в том, что принцип относительности Галилея позволяет различать абсолютное и относительное движения. Это возможно лишь в рамках определенного взаимодействия в системе состоящей из двух тел. Если в изолированную (квазиизолированную) систему двух тел, взаимодействующих между собою, не вмешиваются посторонние взаимодействия, либо присутствуют взаимодействия, которыми можно пренебречь, то их движения можно считать абсолютными по отношению к центру их тяжести. Такими системами можно считать Солнце - планеты (каждая в отдельности), Земля - Луна и др. И, более того, если центр тяжести взаимодействующих тел практически совпадает с центром тяжести одного из тел, то движение второго тела можно считать абсолютным по отношению к первому. Так, за начало абсолютной системы отсчета Солнечной системы можно принять центр тяжести Солнца и движения планет считать абсолютными. И тогда: Земля вращается вокруг Солнца, но не Солнце вокруг Земли (вспомните Дж. Бруно), камень падает на Землю, но не Земля на камень и т.д.                                                    Принцип относительности Галилея и законы Ньютона подтверждались ежечасно при рассмотрении любого движения, и господствовали в физике более 200 лет.
       Но вот в 1865 г. появилась теория Дж. Максвелла, и уравнения Максвелла не подчинялись преобразованиям Галилея. Ее мало кто принял сразу, она не получила признания при жизни Максвелла. Но вскоре все сильно изменилось, когда в 1887 г., после открытия электромагнитных волн Герцем, были подтверждены все следствия, вытекающие из теории Максвелла, – ее признали. Появилось множество работ, развивающих теорию Максвелла.
       Дело в том, что в теории Максвелла скорость света (скорость распространения электромагнитных волн) конечна и равна c = 299792458 м/с. (Исходя из принципа относительности Галилея скорость передачи сигнала

бесконечна и зависит от системы отсчета z=z’). Первые догадки о конечности распространения скорости света были высказаны еще Галилеем. Астроном Рёмер в 1676 г. пытался найти скорость света. По его приближенным расчетам она была равна c= 214300000 м/с.
Нужна была экспериментальная проверка теории Максвелла. Он сам предложил идею опыта – использовать Землю в качестве движущейся системы. (Известно, что скорость движения Земли сравнительно высокая:

).

       В 80-х годах XIX века были выполнены опыты, которые доказали независимость скорости света от скорости источника или наблюдателя.
       Необходимый для опыта прибор изобрел блестящий военно-морской офицер США А. Майкельсон (рис. 8.3).

       Прибор состоял из интерферометра с двумя «плечами», расположенными перпендикулярно друг к другу. Вследствие сравнительно большой скорости движения Земли, свет должен был иметь различные скорости по вертикальному и горизонтальному направлениям. Поэтому время, затрачиваемое на прохождение вертикального пути источник S – полупрозрачное зеркало (ппз) – зеркало (з1) – (ппз) и горизонтального пути источник – (ппз) – зеркало (з2) – (ппз), должно быть различным. В результате, световые волны, пройдя указанные пути, должны были изменить интерференционную картину на экране.

Рис. 8.3

Майкельсон проводил эксперименты в течение семи лет с 1881 г. в Берлине и с 1887 г. в США совместно с химиком профессором Морли. Точность первых опытов была невелика: ±5 км/с. Однако, опыт дал отрицательный результат: сдвиг интерференционной картины обнаружить не удалось. Таким образом, результаты опытов Майкельсона–Морли показали, что величина скорости света постоянна и не зависит от движения источника и наблюдателя. Эти опыты повторяли и перепроверяли многократно. В конце 60-х годов Ч. Таунс довел точность измерения до ±1 м/с. Скорость света осталась неизменной c = 3·10⁸ м/с. Независимость скорости света от движения источника и от направления недавно была продемонстрирована с рекордной точностью в экспериментах, выполненных исследователями из университетов г. Констанц и г. Дюссельдорф (современная версия эксперимента Майкельсона–Морли), в которых установлена лучшая на сегодняшний день точность 1.7·10¹⁵. Эта точность в 3 раза выше достигнутой ранее. Исследовалась стоячая электромагнитная волна в полости кристалла сапфира, охлажденного жидким гелием. Два таких резонатора были ориентированы под прямым углом друг к другу. Вся установка могла вращаться, что позволило установить независимость скорости света от направления. Было много попыток объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона–Морли. Наиболее известна гипотеза Лоренца о сокращении размеров тел в направлении движения. Он даже вычислил эти сокращения, использовав для этого преобразование координат, которые так и называются «сокращения Лоренца–Фитцджеральда». Дж. Лармор в 1889 г. доказал, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца. Очень близок был к созданию теории относительности Анри Пуанкаре. Но Альберт Эйнштейн был первым, кто четко и ясно сформулировал основные идеи теории относительности.

27,28,29 Идеальный газ, средняя энергия молекул, давление газа на стенку Идеальный газ — математическая модель газа, в которой предполагается, что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с их кинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяжения или отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосуда абсолютно упруги, а время взаимодействия между молекулами пренебрежимо мало по сравнению со средним временем между столкновениями. Различают классический идеальный газ (его свойства выводятся из законов классической механики и описываются статистикой Больцмана) и квантовый идеальный газ (свойства определяются законами квантовой механики, описываются статистиками Ферми — Дирака или Бозе — Эйнштейна). Классический идеальный газ Свойства идеального газа на основе молекулярно-кинетических представлений определяются исходя из физической модели идеального газа, в которой приняты следующие допущения: 1)объём частицы газа равен нулю (то есть диаметр молекулы d пренебрежимо мал по сравнению со средним расстоянием между ними, $nd^3 \to 0$ ) ^[1]; 2)импульс передается только при соударениях (то есть силы притяжения между молекулами не учитываются, а силы отталкивания возникают только при соударениях); 3)суммарная энергия частиц газа постоянна (то есть нет передачи энергии за счет передачи тепла или излучением) В этом случае частицы газа движутся независимо друг от друга, давление газа на стенку равно сумме импульсов в единицу времени, переданной при столкновении частиц со стенкой, энергия — сумме энергий частиц газа. Свойства идеального газа описываются уравнением Менделеева — Клапейрона

$\,p = nkT,$ где p — давление,n — концентрация частиц, k — постоянная Больцмана,T — абсолютная температура.    Равновесное распределение частиц классического идеального газа по состояниям описывается распределением Больцмана:

$\bar n_j = ae^{ - {{\varepsilon _j } \over {kT}}},$ где $\bar n_j$ — среднее число частиц, находящихся в j-ом состоянии с энергией $\varepsilon _j$ , а константа a определяется условием нормировки:

$\sum{n_j}=N,$ Где N — полное число частиц.           Распределение Больцмана является предельным случаем (квантовые эффекты пренебрежимо малы) распределений Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна, и, соответственно, классический идеальный газ является предельным случаем Ферми-газа и Бозе-газа. Для любого идеального газа справедливо соотношение Майера:

$\,C_p-C_v=R,$ где R — универсальная газовая постоянная,Cp — молярная теплоемкость при постоянном давлении, Cv — молярная теплоемкость при постоянном объёме.                                                         Уравнение состояния идеального газа (иногда уравнение Клапейрона или уравнение Клапейрона — Менделеева) — формула, устанавливающая зависимость между давлением, молярным объёмом и абсолютной температурой идеального газа. Уравнение имеет вид:

$p\cdot V_\mu=R\cdot T,$ где p— давление, Vm— молярный объём, T—абсолютная температура, R—универсальная газовая постоянная.                                                Так как $V_\mu=\frac{V}{\nu}$ , где $\,\nu$ — количество вещества, а $\,\nu=\frac{m}{\mu}$ , где m—масса, $\,\mu$ — молярная масса, уравнение состояния можно записать:

$p\cdot V=\frac{m}{\mu}R\cdot T.$ Эта форма записи носит имя уравнения (закона) Менделеева — Клапейрона.                     В случае постоянной массы газа уравнение можно записать в виде:

p*V/T=vR,p*V/T=const
Последнее уравнение называют объединённым газовым законом. Из него получаются законы Бойля — Мариотта, Шарля и Гей-Люссака: T=const=>P*V=const—закон Бойля — Мариотта.

P=const=>V/T=const—закон

Гей-Люссака.

V=const=>P/T=const— закон Шарля (второй закон Гей-Люссака, 1808 г.)

С точки зрения химика этот закон может звучать несколько иначе: Объёмы вступающих в реакцию газов при одинаковых условиях (температуре, давлении) относятся друг к другу и к объёмам образующихся газообразных соединений как простые целые числа.

В некоторых случаях (в газовой динамике) уравнение состояния идеального газа удобно записывать в форме

$p=(\gamma-1)\rho\varepsilon,$ где $\,\gamma$ — показатель адиабаты, $\,\varepsilon$ — внутренняя энергия единицы массы вещества.     С одной стороны, в сильно сжатых газах размеры самих молекул являются сравнимыми с расстояниями между молекулами. Таким образом, свободное пространство, в котором движутся молекулы, меньше, чем полный объем газа. Это обстоятельство увеличивает число ударов молекул в стенку, так как благодаря ему сокращается расстояние, которое должна пролететь молекула, чтобы достигнуть стенки.

С другой стороны, в сильно сжатом и, следовательно, более плотном газе молекулы заметно притягиваются к другим молекулам гораздо большую часть времени, чем молекулы в разреженном газе. Это, наоборот, уменьшает число ударов молекул в стенку, так как при наличии притяжения к другим молекулам молекулы газа движутся по направлению к стенке с меньшей скоростью, чем при отсутствии притяжения. При не слишком больших давлениях. более существенным является второе обстоятельство и произведение $\,P\cdot V$ немного уменьшается. При очень высоких давлениях большую роль играет первое обстоятельство и произведение P*V увеличивается.

– средняя кинетическая энергия молекул газа (в расчете на одну молекулу).                             при тепловом равновесии средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул всех газов одинакова. Давление прямо пропорционально средней кинетической энергии поступательного движения молекул:
При тепловом равновесии, если давление газа данной массы и его объем фиксированы, средняя кинетическая энергия молекул газа должна иметь строго определенное значение, как и температура. Величина
растет с повышением температуры и ни от чего, кроме температуры не зависит. Следовательно, ее можно считать естественной мерой температуры.               Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул равна:

   _T - температура по шкале Кельвина, _k- постоянная Больцмана, _k=1,4*10^-23Дж/К.                                                        Величина, пропорциональная средней кинетической энергии поступательного движения частиц, называется температурой тела:

,где k
=1,38*10^-23 Дж/К — постоянная Больцмана. Температура – мера средней кинетической энергии молекул. Отсюда видно, что .Определяемую таким образом температуру называют термодинамической или абсолютной, она измеряется в Кельвинах (К).

33 Первый закон термодинамики На рис. 3.9.1 условно изображены энергетические потоки между выделенной термодинамической системой и окружающими телами. Величина Q > 0, если тепловой поток направлен в сторону термодинамической системы. Величина A > 0, если система совершает положительную работу над окружающими телами.

Рисунок 3.9.1.

Обмен энергией между термодинамической системой и окружающими телами в результате теплообмена и совершаемой работы.

Если система обменивается теплом с окружающими телами и совершает работу (положительную или отрицательную), то изменяется состояние системы, то есть изменяются ее макроскопические параметры (температура, давление, объем). Так как внутренняя энергия U однозначно определяется макроскопическими параметрами, характеризующими состояние системы, то отсюда следует, что процессы теплообмена и совершения работы сопровождаются изменением ΔU внутренней энергии системы.

Первый закон термодинамики является обобщением закона сохранения и превращения энергии для термодинамической системы. Он формулируется следующим образом:

Изменение ΔU внутренней энергии неизолированной термодинамической системы равно разности между количеством теплоты Q, переданной системе, и работой A, совершенной системой над внешними телами. ΔU = Q – A.

Соотношение, выражающее первый закон термодинамики, часто записывают в другой форме: Q = ΔU + A.

Количество теплоты, полученное системой, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение работы над внешними телами.

Первый закон термодинамики является обобщением опытных фактов. Согласно этому закону, энергия не может быть создана или уничтожена; она передается от одной системы к другой и превращается из одной формы в другую. Важным следствием первого закона термодинамики является утверждение о невозможности создания машины, способной совершать полезную работу без потребления энергии извне и без каких-либо изменений внутри самой машины. Такая гипотетическая машина получила название вечного двигателя (perpetuum mobile) первого рода. Многочисленные попытки создать такую машину неизменно заканчивались провалом. Любая машина может совершать положительную работу A над внешними телами только за счет получения некоторого количества теплоты Q от окружающих тел или уменьшения ΔU своей внутренней энергии.

Применим первый закон термодинамики к изопроцессам в газах. В изохорном процессе (V = const) газ работы не совершает, A = 0. Следовательно, Q = ΔU = U(T₂) – U(T₁). Здесь U(T₁) и U(T₂) – внутренние энергии газа в начальном и конечном состояниях. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры (закон Джоуля). При изохорном нагревании тепло поглощается газом (Q > 0), и его внутренняя энергия увеличивается. При охлаждении тепло отдается внешним телам (Q < 0). В изобарном процессе (p = const) работа, совершаемая газом, выражается соотношением A = p(V₂ – V₁) = pΔV. Первый закон термодинамики для изобарного процесса дает: Q = U(T₂) – U(T₁) + p(V₂ – V₁) = ΔU + pΔV. При изобарном расширении Q > 0 – тепло поглощается газом, и газ совершает положительную работу. При изобарном сжатии Q < 0 – тепло отдается внешним телам. В этом случае A < 0. Температура газа при изобарном сжатии уменьшается, T₂ < T₁; внутренняя энергия убывает, ΔU < 0. В изотермическом процессе температура газа не изменяется, следовательно, не изменяется и внутренняя энергия газа, ΔU = 0. Первый закон термодинамики для изотермического процесса выражается соотношением Q = A. Количество теплоты Q, полученной газом в процессе изотермического расширения, превращается в работу над внешними телами. При изотермическом сжатии работа внешних сил, произведенная над газом, превращается в тепло, которое передается окружающим телам. Наряду с изохорным, изобарным и изотермическим процессами в термодинамике часто рассматриваются процессы, протекающие в отсутствие теплообмена с окружающими телами. Сосуды с теплонепроницаемыми стенками называются адиабатическими оболочками, а процессы расширения или сжатия газа в таких сосудах называются адиабатическими. В адиабатическом процессе Q = 0; поэтому первый закон термодинамики принимает вид A = –ΔU, то есть газ совершает работу за счет убыли его внутренней энергии. В термодинамике выводится уравнение адиабатического процесса для идеального газа. В координатах (p, V) это уравнение имеет вид pV^γ = const. Это соотношение называют уравнением Пуассона. 37 энтропия Энтропи́я (от греч. εντροπία — поворот, превращение) — понятие, впервые возникшее в термодинамике как мера необратимого рассеяния энергии; широко применяется в других областях: в статистической механике — как мера вероятности осуществления состояния системы; в теории информации — как мера неопределённости сообщений; в теории вероятностей — как мера неопределённости опыта, испытания с различными исходами; её альтернативные трактовки имеют глубокую внутреннюю связь: например из вероятностных представлений об информации можно вывести все важнейшие положения статистической механики. В термодинамике В термодинамике понятие энтропии было введено немецким физиком Р.Клаузисом (1865), когда он показал, что процесс превращения теплоты в работу подчиняется закономерности — второму началу термодинамики, которое формулируется строго математически, если ввести функцию состояния системы — энтропию. Клаузис также показал важность понятия энтропии для анализа необратимых (неравновесных) процессов, если отклонения от термодинамики равновесия невелики и можно ввести представление о локальном термодинамическом равновесии в малых, но ещё макроскопических объёмах. В целом энтропия неравновесной системы равна сумме энтропий её частей, находящихся в локальном равновесии. В статистической механике Статистическая механика связывает энтропию с вероятностью осуществления макроскопического состояния системы знаменитым соотношением Больцмана «энтропия — вероятность» S = k_BlnW, где W — термодинамическая вероятность осуществления данного состояния (число способв реализации состояния), а k_B — постоянная Больцмана. В отличие от термодинамики статистическая механика рассматривает специальный класс процессов — флуктуации, при которых система переходит из более вероятных состояний в менее вероятные и вследствие этого её энтропия уменьшается. Наличие флуктуаций показывает, что закон возрастания энтропии выполняется только статистически: в среднем для большого промежутка времени. Адиабатический процесс также можно отнести к изопроцессам. В термодинамике важную роль играет физическая величина, которая называется энтропией (см. §3.12). Изменение энтропии в каком-либо квазистатическом процессе равно приведенному теплу ΔQ / T, полученному системой. Поскольку на любом участке адиабатического процесса ΔQ = 0, энтропия в этом процессе остается неизменной. Адиабатический процесс (так же, как и другие изопроцессы) является процессом квазистатическим. Все промежуточные состояния газа в этом процессе близки к состояниям термодинамического равновесия (см. §3.3). Любая точка на адиабате описывает равновесное состояние. Не всякий процесс, проведенный в адиабатической оболочке, то есть без теплообмена с окружающими телами, удовлетворяет этому условию. Примером неквазистатического процесса, в котором промежуточные состояния неравновесны, может служить расширение газа в пустоту. На рис. 3.9.3 изображена жесткая адиабатическая оболочка, состоящая из двух сообщающихся сосудов, разделенных вентилем K. В первоначальном состоянии газ заполняет один из сосудов, а в другом сосуде – вакуум. После открытия вентиля газ расширяется, заполняет оба сосуда, и устанавливается новое равновесное состояние. В этом процессе Q = 0, т.к. нет теплообмена с окружающими телами, и A = 0, т.к. оболочка недеформируема. Из первого закона термодинамики следует: ΔU = 0, то есть внутренняя энергия газа осталась неизменной. Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, температуры газа в начальном и конечном состояниях одинаковы – точки на плоскости (p, V), изображающие эти состояния, лежат на одной изотерме. Все промежуточные состояния газа неравновесны, и их нельзя изобразить на диаграмме. Расширение газа в пустоту – пример необратимого процесса. Его нельзя провести в противоположном направлении.

Bukvasha