МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
Ніжинський державний університет імені Миколи Гоголя
Кафедра вищої математики
Дипломна робота з математики
Теорія збурень лінійних двовимірних
систем
Спеціальність 6.010100 – Педагогіка та методика середньої освіти
Математика та фізика
Ніжин 2008 рік

Зміст
Вступ
1. Двовимірні лінійні системи
2. Збурення двовимірних лінійних систем
3. Правильні вузли та правильні фокуси
4. Центри
5. Неправильні вузли
6. Сідла
7.Приклади лінійних систем
Висновок
Література

Вступ
В умовах різних областей людської діяльності математика мала і має досить сутєвий вплив. Сучасний розвиток науки характерезується необхідністю вивчення всіх можливих складних процесів та явищ. Теорія математики широко застосовується в інших науках, які на перший погляд зовсім немають ніякого звязку – лінгвістики, юриспруденції та інше. Це викликано процесом розвитку наукового знання, який потребує вивчення нового і більш сучасного математичного апарату, проявом нових розділів математики, що значно збільшить його застосування.
Вперше завдання якісного дослідження диференціальних рівнянь в нетривіальних своїх аспектах була поставлена Пуанкаре (в кінці минулого століття).
Приблизно в той же час Ляпунов поставив досить важливу задачу якісного дослідження диференціальних рівнянь, задачу про стійкість руху (рішення), і ця задача була розглянута для досить широкого класу випадків.
Пуанкаре поставив задачу якісного дослідження в загальному вигляді для найпростішого випадку системи двох диференціальних рівнянь
x´= P(x, y),     y´= Q (x, y)         (1)
Основні фактори якісної теорії системи (1) викладені ним в книзі "Про криві, що визначають диференціальні рівняння". Дослідження питань стійкості, розглянутих Ляпуновим, викладені в книзі "Загальна задача про стійкість руху".
Деякі дослідження Пуанкаре, що отримали розвиток в роботах Биркгофа, лягли в основу так званої "метричної теорії динамічних систем", яку можна розглянути як зовсім особливу частину якісну теорію диференціальних рівнянь зі своїми специфічними аспектами та специфічними методами.
До початку ХХ століття областю сучасних знань, що наповнювала якісну теорію диференціальних рівнянь, була небесна механіка. Але до початку ХХ століття положення досить суттєво змінилось. Розгляд періодичних процесів, періодичних явищ в різних областях фізики – в механіці, оптиці та інші до ХХ ст.. оформилися під назвою "Теорія звуку" Релея.
Техніка яка набирала свій розвиток повинна була в тій чи іншій степені використати теорію збурень. В інженерній роботі та в машинобудівництві у зв’язку з збільшенням швидкостей та розмірів машин виникла велика необхідність вміти уникати ті шкідливі, а іноді і просто руйнівні побудови збурень, які виникають при деяких критичних швидкостях чи перепадах (наприклад, завдяки резонансу).
При цьому до нашого століття основним переважаючим математичним апаратом, який використовується теорією збурень, були лінійні диференціальні рівняння. Багато питань фізики та техніки пов’язані з такими лінійними системами. Якщо говорити тільки про прості диференціальні рівняння, то основними рівняннями класичної теорії збурень були лінійні диференціальні рівняння з сталими коефіцієнтами та періодичною правою частиною. За допомогою цього апарату класична теорія збурень в основному гарно справилася з рядом завдань, наприклад , з питаннями про резонанс та про застосування мір його зупинити. Апарат лінійних диференціальних рівнянь досить простий, і досить ефективний. Картина досить швидко змінюється на початку ХХ ст. у зв’язку з розвитком радіофізики та радіотехніки. Таким чином, вияснилось, що більша частина явищ в радіотехніці ніяк не може бути описана лінійними диференціальними рівняннями. Ці явища описуються дійсними нелінійними диференціальними рівняннями. При цьому збурювальні задачі, що видвинуті для розгляду радіотехнікою, в деякому розуміння  протилежні задачам класичної теорії збурень. Основна задача класичної теорії збурень, що виникла в техніці раніше, - це задача продавлення шкідливих збурень. На даний час, однією з основних завдань радіотехніки є задачі генерації збурень. Якщо для генеруючих збурень в радіотехнічних приладах використовують незалежні від часу джерело енергії, - то це так звані "автозбурення". Математично це відображається тим, що системи диференціальних рівнянь, що описують радіотехнічні прилади, автономні, тобто мають вигляд (1). В силу утвореної в теорії збурень традиції на протязі досить довгого часу задовго "нелінійні" явища намагалися втиснути в лінійний математичний апарат. Це б не тільки не дозволило скільки-небудь правильно описати явище, часто що має місце в радіотехніці, але й просто виводило до прямих помилок.
Питання математичний апарат є адекватним явищем в радіотехніці, поставлене  Л.І. Мандельштамом в 20-х роках нашого часу, було  вирішено  А.А. Андроновим.
Виявилося, що таким апаратом був математичний, який фігурує в роботах Пуанкаре та Ляпунова, який почав розроблятись ними для використання в небесній механіці. Це – апарат якісної теорії диференціальних рівнянь. Деяким основним питанням, що цікавлять радіотехніку, відповідають математичній підстановці питання якісної теорії диференціальних рівнянь, наприклад, питання про наявності чи відсутності збурень при тих чи інших значень параметрів відповідає питання про наявність чи відсутність у відповідній системі диференціальних рівнянь ізольованої замкнутої кривої, так званого переднього циклу.
Ми говорили щойно про порівняно вузьку область – про радіотехніку, для якої математичний апарат якісної теорії диференціальних рівнянь виявився адекватним математичним апаратом. Але вже при розгляді задач радіотехніки було здійснено очевидно, що математичні питання, які виникають у зв’язку з ціми задачами, мають досить широке значення. Існує багато питань в областях сучасних знань  і техніці, які зводяться до використання якісної теорії диференціальних рівнянь. Теорія автоматичного регулювання являється ще однією з досить великих областей використання якісної теорії диференціальних рівнянь (але, в деякій специфічній формі).
Отже, якісна теорія диференціальних рівнянь виявилася адекватним математичним апаратом для опису явищ в цілому ряді областей, таких, які можуть бути віднесені до теорії збурень (наприклад, небесна механіка).
Явища, що мають однаковий опис, з точки зору "якісної теорії диференціальних рівнянь", проходять аналогічно: в таких явищах незалежно від фізичної природи існують "ізоморфні закономірності". При цьому для такого ізоморфізму закономірностей немає необхідності, щоб явища описувалися співпадаючими диференціальними рівняннями. Достатньо, щоб ці рівняння мали однакову "якісну структуру" розбиття на траєкторії.
Теперішня книга призначена якісній теорії динамічної системи другого порядку, тобто систем двох незалежних диференціальних рівнянь (1), що розглядаються на площині (x, y).
Випадок динамічних систем другого порядку авжеж представляється першим  і найбільш простим та його вивчення необхідне, як саме по собі так і для переходу до більш складніших випадків систем трьох, чотирьох і так далі автономних диференціальних рівнянь. Крім того системи вигляду (1) зберігають самостійний інтерес для додатків.
Для систем трьох і більшого числа незалежних диференціальних рівнянь картина робиться достатньо більшою та складнішою. Якісна теорія таких динамічних систем до нашого часу  має досить маленький запас даних, хоч розвивається інтенсивно на протязі останнього десятиліття.
Завдання якісного дослідження може бути представлена не тільки для автономних динамічних систем, але й для широких класів неавтономних динамічних систем. Хоча у випадку неавтономних систем ця задача має свою специфіку, але вона органічно зв’язана по своєму змісту та методом (метод точкових відображень) із задачею якісного дослідження автономних динамічних систем другого порядку.
Навіть в найпростішому випадку системи двох неавтономних диференціальних рівнянь з періодичними відносно t правими частинами
x´= F (x, y, t),     y´= Ф (x, y, t ),
де F (x, y, t + τ) ≡ F (x, y, t),  φ (x, y, t + τ ) ≡ φ (x, y, t)   (τ - період)
виникають труднощі того ж характеру, що й при розгляді автономних динамічних систем  порядку n = 3.
Дана дипломна робота складається з сімох розділів. Першим з яких є ”Двовимірні лінійні системи”. В цьому розділі ми розглядаємо характеристику двовимірних лінійних систем та види їх в залежності зміни деяких параметрів. Наступний розділ ”Збурення двовимірних лінійних систем”, де розглядається нелінійна двовимірна дійсна система та основні поняття точок (ізольована, проста, точка притягання та інші.). В третьому розділі роглядається правильні вузли та правильні фокуси їх основні характеристики. Потім основні теореми що застосовуються до неправильних вузлів та сідла. Останнім розділом роботи є наведені ”Приклади лінійних систем”.

1.     Двовимірні лінійні системи
Розглянемо дійсну лінійну систему
                                               х₁^' = ах₁ + bх₂                                                                              (1. 1)
x₂^' = cх₁ + dх₂
де а, c, b, d – дійсні сталі числа, такі що аd – bc відмінні від нуля. Очевидно, що (х_1,х₂) = (0, 0) – єдина особа точка цієї системи, тобто єдина точка, де праві частини рівняння (1.1) перетворюються в нуль. Позначимо матрицю коефіцієнтом системи (1. 1) через
а    b
А =     c    d       SHAPE  \* MERGEFORMAT
  Тоді система (1. 1) може бути записана у вигляді
х = Ах, де х = (х₁, х₂).
Нехай матриця А має характеристичні корені µ, λ. Ці корні можуть бути дійсними чи комплексними, якщо один з них комплексний, скажімо λ = α + іβ (α, β – дійсні, β ≠ 0), то інший корінь має вигляд µ = α – іβ, бо коефіцієнти характеристичного рівняння для матриці А дійсні. Відомо що існує така дійсна неособлива  стала матриця Т, що якщо y = Тх, то утворена система
y = (ТАТ^-1)y має дійсну матрицю коефіцієнтів J = (ТАТ^-1), яка має одну з наступних  дійсних канонічних форм:
(І)      λ   0       (λ ≠ 0 )                           (ІІ)     λ   0         (µ <λ<0 або 0< µ < λ)
          0   λ                                                        0   µ
(ІІІ)    λ   0    (λ ≠ 0, γ > 0 )                     (IV)   λ   0       (λ <0< µ)  
           γ  λ                                                         0   µ  
(V)     α   β     (α ≠ 0, β ≠ 0)                       (VІ)   0   β        (β ≠ 0).
          -β  α                                                           -β  0
Отже вивчаючи природу траєкторії системи (1.1) поблизу точки (0,0), можна говорити, що матриця А має одну з форм (І) – (VІ).
Перед тим як розглядати кожний з цих випадків, введемо такі позначення. В загальному випадку розв'язки двовимірної системи
                                 х₁^' = g₁(х₁,х₂),
                                 х₂^' = g₂(х₁,х₂)                                                           (1.2)
будемо позначати через φ = (φ₁ φ₂). Будемо розглядати також полярні функції σ, ω відповідно розв'язки φ та  визначені рівності
σ(t) = (φ²₁(t) + φ²₂(t))^1/2 ,      ω (t) =  arc tg  φ₂(t)/ φ₁(t)
Потрібно підкреслити, що функції σ, ω визначені по відношенню до часткового рішення φ системи (1,2), та є функціями від t. Таким чином, функції σ, ω потрібно відрізняти від полярних координат r, θ в (х₁,х₂) – площині, визначених рівняннями :   r = (х₁² + х₂²)^1/2 ,      θ =  arc tg  х₂/х₁

також як координати φ_1, φ₂ розв'язки потрібно відрізняти від декартових координат  х₁,х₂  в площині.
                          фиг.3                                                                       фіг.4
(І). Правильний вузол, λ<0                           (І). Правильний вузол, λ>0
(І). В цьому випадку система має такий вигляд
х₁^'= λ х_1,      х₂ ^'= λ х₂
Тому, (с₁,с₂) деяка точка (відмінна від точки (0,0)), рішення що проходить через цю точку, має вигляд :
φ₁(t) = с₁℮ ^{λ t};     φ₂(t) = с₂℮ ^{λ t}
Якщо λ<0, то  σ(t) → 0 при  t  → +∞, якщо λ>0 , то  σ(t) → 0   при  t  → - ∞. Траєкторія , що проходить через  точки  (с₁,с₂)  є відкрита пів пряма, що проходить  через цю точку з кінцевою точкою в (0,0). Див фиг.3 та 4 , на яких стрілками зображено направлення зростання  t. Цей тип особих точок називається правильним вузлом. Його особлива відмінність полягає в тому, що кожна траєкторія намагається потрапити до початку у визначеному напрямку   при  t  → +∞ (для  λ<0) чи при  t  → - ∞ (для λ>0), та як би не було заданий напрямок, існує траєкторія, яка прямує до початку в цьому напрямі. Таким чином, початок (асимптотичне) стійке у випадку λ<0, та не стійке у випадку  λ>0.
(ІІ). В цьому випадку система має такий вигляд:
х₁^'= λ х_1,      х₂^'= μ х₂
і розв’язок який проходить через точку  (с₁,с₂) ≠ (0,0) при t = 0, має вигляд
φ₁(t) = с₁℮ ^{λ t};     φ₂(t) = с₂℮ ^{λ t}

                                                       
                                                                                             
    
Фіг.5                                            фіг.6      
(ІІ). Неправильний вузол, µ <λ<0 .     (ІІ). Неправильний вузол, 0< µ < λ
Припустимо, наприклад, що µ <λ<0.
Тоді (φ₁(t), φ₂(t)) →(0,0) при t  → +∞, і якщо с₁≠ 0 то (φ₂(t), φ₁(t)) =
(с₂/ с₁) ℮ ^{(μ – λ) t}  →0 при  t → +∞. Якщо с₁= 0, с₁≠ 0, то (φ₂(t), φ₁(t)) = (0, с₂℮^{μ t} ), що представляє собою додатню чи від’ємну х₂- піввісь в залежності від того, яку з нерівностей має місце: с₁>0 або с₂<0. В такому випадку початок називається неправильним вузлом. Гарна картина траєкторії зображена на фіг. 5 та 6. Тут всі траєкторії, виключаючи одну, мають один і той же напрямок на початку. Початок (асимптотично) стійкий у випадку  µ <λ<0  та нестійкий у випадку, коли 0< µ < λ.
(ІІІ). В даному випадку рівність має такий вигляд:
х₁^'= λ х_1,      х₂^'= γ х₁ + λ х₂
легко бачити, що φ₁(t) = с₁℮^{λ t},   φ₂(t) = (с₂ + с₁ γ t) ℮^λt  є розв’язком, що проходить через  точку (с_1, с₂) при t = 0. Припустимо, наприклад, що λ<0. Тоді при  t → +∞ функції φ₁, φ₂ напрямляються до нуля. Якщо с₁ ≠ 0, то
φ₂(t)/ φ₁(t) = с₁/ с₂ + γ t → ±∞ при t → ±∞. Якщо с₁> 0, то φ₁(t) >0 для t додатних і достатньо великих; і якщо с₁ = 0, то (φ₁(t), φ₂(t)) = (0, с₂℮ ^{λ t} ), що утворює траєкторію, яка є х₂- піввіссю. Так само, якщо с₁ ≠ 0, то
φ₂(t)/ φ₁(t) = γ/t + φ₂(t)/ φ₁(t) → ±∞ при  t → ±∞. Таким чином, всі траєкторії мають однин і той же  непрям в точці (0,0). В такому випадку початок називається  неправильним вузлом.

Характер траєкторії зображений на мал. 7 та 8.                                                                      

 мал. 7                                                             мал. 8
(ІІІ). Неправильний вузол, λ<0                    (ІІІ). Неправильний вузол, λ>0
(IV). В цьому випадку рівняння будуть такими:
х₁^'= λ х_1,      х₂^'= μ х₂
та розв’язками будуть:  φ₁(t) = с₁℮ ^{λ t}       φ₂(t) = с₂℮ ^{μ t} , де тепер  λ < 0, μ  > 0. Коли   λ  =  μ, то траєкторіями будуть рівнобічні гіперболи. В загальному випадку траєкторії подібні цім гіперболам. Див. фіг. 9. Тут, якщо (с₁, с₂) ≠ (0,0)  то   φ₁(t) → 0, а   φ₂(t)  → ± ∞ в залежності від того, яке з нерівностей має місце:  с₂ > 0  або с₂ < 0. Ось в такому випадку початок називається сідлом.

фіг. 9  (IV). Сідло, λ < 0 < μ
 (V). В даному випадку :
    х₁^' = αх₁ + βх₂  
   x₂^' = -βх₁ + αх₂
а розв’язком буде  крива, що проходить через точку (с₁, с₂) при  t = 0, що має вигляд    φ₁(t) = ℮ ^{α t}(с₁ cos βt + c₂ sin βt),    φ₂(t) = ℮ ^{α t}(-с₁ sin βt + c₂ cos βt).
Якщо  σ²₀ = с₁² с₂², то цей розв'язок може бути записане  у вигляді:
φ₁(t) = σ₀℮ ^{α t} cos (βt - δ),
φ₂(t) = -σ₀℮ ^{α t} sin (βt - δ), де cos δ = с₁/ σ₀ та sin δ = с₂/ σ₀.
Полярними функціями σ, ω для даного рівняння  будуть
σ(t) = σ₀℮ ^{α t},   ω(t) = -βt + δ,


та послідовно, σ = С℮ ^{-(α/ δ)ω},   де С = σ₀℮ ^{-(α/ β)δ} , що представляє собою спіраль. В такому випадку початок називається фокусом. Див. фіг. 10 і 11.
Фіг. 10                                                                      фіг. 11
(V). Фокус, α < 0,     β < 0.                                  (V). Фокус, α  > 0,   β < 0
(VІ). Це – різновид випадку (V), де α = 0. В цій ситуації розв’язки, що проходять  при t = 0 через точку (с_1, с₂) має вигляд:

 φ₁(t) = с₁ cos βt + с₂ sin βt,  φ₂(t) = -с₁ sin βt + с₂ cos βt, або так як в (V), σ(t) = σ₀, що представляє собою окружність радіуса σ₀ з центром в точці (0, 0). В цьому випадку початок називають центром. Див. фіг. 12 та 13.
фіг. 12. (VІ). Центр, β < 0
 
       Фіг. 13. (VІ). Центр, β > 0.
Із визначеністю стійкості легко бачити роздивляючись попередні шість випадків (І) – (VІ), що справедлива наступна теорема. Фіг. 3 – 13 дають гарне якісне представлення про стійкість в кожному з цих випадків.
Теорема1.1   Для того щоб початок був стійкий  для системи (1, 1), необхідно і достатньо, щоб характеристичні корні дійсної неособливої матриці коефіцієнтів А мали від’ємні чи нульові дійсні частини.

2.Збурення двовимірних лінійних систем.
Розглянемо тепер, нелінійну  двовимірну дійсну автономну систему:
          х₁^' = ах₁ + bх₂ + f₁(х₁, х₂)                                                                               (НЛ)
                                     x₂^' = cх₁ + dх₂ + f₂(х₁, х₂)
де а, c, b, d – дійсні сталі числа, такі що аd – bc ≠ 0 та f₁, f₂ – дійсні неперервні функції, визначені в деякому колі  з центром в початку (х₁, х₂) =(0, 0) радіуса r₀ > 0. Функції f₁ та  f₂ називаються  збуреннями, і систему (НЛ) ми будемо називати збуреною системою, яка відповідає лінійній системі:
                              х₁^' = ах₁ + bх₂                                                                                    (Л)
                              x₂^' = cх₁ + dх₂
Зрозуміло інтуїтивно, що якщо збурення f₁ та  f₂  «малі» в деякому розумінні, то можна чекати, що поведінка траєкторії поблизу початку в (х₁, х₂) - площини буде досить схоже на поведінку траєкторії системи (Л). Ми покажемо, що взагалі це вірно, якщо тільки функції f₁ та  f₂  задовольняє деякі мінімальні припущення.
В доповнення висказаному вище зробимо наступні припущення:
                f₁  = о(r) та  f₂ = о(r)  (при r → 0 +).                              (2.1)
Це забезпечує більш швидке прямує до нуля збурення, ніж лінійних членів в (НЛ). Легко також бачити, що із цього вислову та із того факту, що  аd – bc ≠ 0, слідує, що початок є ізольована особлива (чи критична) точка для системи (НЛ); тобто існує коло з центром в початку, таке, що в ньому початок є єдиною точкою, в якій права частина системи  (НЛ) перетворюється в нуль. Ізольована особлива точка, така як початок для системи (НЛ) при аd – bc ≠ 0, називається простою особливою точкою.
Зауважимо, що з вимог, покладених на функцію f₁ та  f₂  не слідує єдність розв’язків системи (НЛ).
Один із найбільш важливих методів вивчення траєкторії системи (НЛ) має місце у використанні полярних рівнянь, отриманих з (НЛ) за допомогою підстановки:
х₁ = r cos θ,            х₂ = r sin θ
точніше:
r r = r² ( а cos² θ + (b + c) cos θ sin θ + в sin² θ) +
                                 + r cos θ F₁(r, θ) + r sin θ F₂(r, θ),
r² θ = r²(с cos² θ + (d – a)cos θ sin θ- b sin² θ ) +
                                + r cos θ F₂(r, θ) - r sin θ F₁(r, θ),   де
F_j(r, θ) = f_j (r cos θ, r sin θ)    (j= 1,2).
Очевидно, якщо φ = (φ₁, φ₂) – розв’язок системи (НЛ), то полярні функції (σ , ω) утворюють розв’язок полярних рівнянь.
Перед тим як ми приступимо до детального формування та доведення результатів, уточнимо визначення різних типів особливих точок. Якщо існує δ, 0 < δ ≤ r₀ , таке, що для кожної інтегральної кривої (φ₁(t), φ₂(t)) системи (НЛ), яка має хоча б одну точку в колі радіуса r, 0 < r < δ розв’язок існує на  t - півпрямій, і якщо (φ₁(t), φ₂(t)) → (0, 0) при t → +∞ чи - ∞, то початок називається точкою притягання для системи (НЛ). У випадку коли f₁ = f₂  =0 вузли і фокуси є точками при тяжіння, в той час як сідло та центр не є такими. Початок називається вузлом для системи (НЛ), якщо воно являє собою при тяжіння і всі траєкторії досягають початку у визначеному (в одному і тому ж) напрямленні , та називаються правильним вузлом, якщо воно є вузлом і кожна пів пряма , проходячи через початок , дотикається до деякої траєкторії. Початок називається фокусом для системи (НЛ), якщо воно є точкою притягання , таке, що ω(t) → + ∞ при t →+ ∞ чи - ∞, де ω(t) = arctg (φ₂(t)/ φ₁(t))та (φ₁(t), φ₂(t)) – довільний розв’язок системи  (НЛ), що входить в область 0 ≤ r < δ. Якщо існує непослідовність періодичних траєкторій   С_n    системи (НЛ), кожна з яких має в середині себе всі наступні траєкторії і початок , таких, що С_n при  n → ∞ направляється до початку, то початок називається центром для системи (НЛ).
Теорема 2.1 Якщо початок являється точкою притягання для лінійної системи (Л), то він являється такою ж точкою для нелінійних систем (НЛ).
Теорема 2.2. Якщо початок є фокусом  для лінійної системи (Л), то він являється такою ж точкою для нелінійних систем (НЛ).
Доведення:
По теоремі 2.1, початок являється точкою притягання для (НЛ). Полярне рівняння для функції θ має вигляд
r² θ' = х₁ х₂^' - х₁^' х_{2 =} -β r² + 0(r²)    (r →0).
Але r →0 при t → + ∞ (у випадку α < 0). Таким чином, при  t → + ∞
θ^' = -β + 0(t), і тому для кожного розв’язку φ системи (НЛ), що починається достатньо близько від початку,
α(t) = -β + 0(t).
Отже, ω(t)/ t → -β при t → ω(t) + ∞, звідси слідує, ω(t) → ± ∞ при t →+ ∞ в залежності від того , яке з нерівностей – β < 0 чи β > 0, має місце. Це і доводить теорему.

2.     Правильні вузли та правильні фокуси
Хоч точка притягання системи (Л) переходить в точку притягання системи (НЛ), в загальному випадку не вірно, що вузол переходить  в вузол. Це ілюструється в наступному прикладі, в якому правильний вузол для (Л) переходить в фокус (НЛ). Розглянемо систему :
                                     х₁^' = - x₁ – x₂/(ln(х²₁ + х²₂)^½),          
                                    х₂^'=-x₁+x₂/(ln(х²₁+х²₂)^½).                                     (3.1)
 Очевидно що система (3.1) задовольняється тими ж умовами, що і система (НЛ). Полярні рівняння, що відповідають (3.1), мають вигляд
θ^' = 1/ ln r,  r^' = - r.
Таким чином, r = σ(t) = ce^-t , для деякої сталої c > 0 та відповідно
θ^' = ω^'(t) = 1/ (ln c - t).
Тому
ω(t) = - ln (t  - ln c) + k, де k = ω(t₀) + ln (t₀ - ln c).
Звідси слідує, що ω(t) → -∞ при t → + ∞ і початок є фокусом для системи (3.1), хоча для відповідної  лінійної системи x₁ = - x₁, x₂ = - x₂ початок є правильний вузол.
Даний результат представляє собою  частинний випадок одного результату , який має місце для фокусу (див. нище наслідок з теореми 3.1). Розглянемо канонічну формулу для системи  (НЛ), у випадку коли відповідна лінійна система має на початку фокус,
                               х₁^' = αх₁ + βх₂ + f₁(х₁, х₂)                                           (3.2)
                                              x₂^'= -βх₁ + αх₂ + f₂(х₁, х₂)          
                                                          (α ≠ 0,  β ≠ 0).
Для лінійного випадку
                                               х₁^' = αх₁ + βх₂                                                                  (3.3)
                                                            x₂^' = -βх₁ + αх₂
полярні рівняння такі:
r' = αr,       θ' = - β.
Якщо, наприклад, α < 0, β < 0, то для кожної інтегральної кривої системи (3.3) r = σ(t) → 0 та θ = ω(t) → + ∞ при  t → + ∞. Далі ω + (β/ α) ln σ = с для деякої сталої с. Навпаки, яка б не була стала с, існує розв’язання системи (3.3), таке, що  ω + (β/ α) ln σ = с. Це підказує наступне визначення. Якщо
α + іβ, α – іβ (α ≠ 0) – характеристичні корні матриці коефіцієнтів
a    b
с    d
системи (НЛ), то початок тоді називається правильним фокусом для (НЛ), коли він представляє собою точку притягання, таке, що для кожного розв’язку, що направляється до початку при t → + ∞ (t → - ∞), величина ω + (β/ α) ln σ → с при t → + ∞ (t → - ∞). Якщо β = 0, то це означає, що ми маємо правильний вузол.
Теорема 3.1 Нехай функції f₁ та f₂  в системі (НЛ) задовольняють нерівність
                       |f_і (х₁, х₂) |≤ ψ((х²₁ + х²₂)^½) (і = 1, 2),                           (3.5)
де  ψ = ψ(r) – неперервна функція, визначена на інтервалі 0 ≤ r ≤ r₀  і така, що при r → 0 та  ψ(r) = 0(r)                                                              (3.6)
Тоді, якщо початок є фокусом (чи правильним вузлом) для системи (Л), то воно являється правильним фокусом (чи правильним вузлом ) для системи (НЛ).
Доведення теореми (3.1)
Можна припускати, що рівняння (НЛ) та (Л) мають канонічні форми (3.2) та (3.3) та що α < 0, β ≤ 0. Згідно (3.2) x₁ = r cos θ, x₂ = r sin θ отримаємо
  rr' = ar² +  r cos θ f₁(r cos θ,  r sin θ) + r sin θ f₂ (r cos θ,  r sin θ),
  r² θ' = - β r² + r cosθ  f₂ (r cos θ,r sin θ)- r sinθ  f₁(r cos θ, r sinθ)         (3.8)
З першого рівняння (3.8) маємо
rr' = ar² +  0(r²)    (r → 0),
а звідси слідує, що не тільки кожне рішення r = σ(r), що починається досить близько від початку , направляється до початку, але й те, що для кожного такого розв’язку  σ < 0 для досить великих t. Тому, якщо  t достатньо велике, то r = σ(r) – монотонна функція t, таким чином вона визначає обернену функцію  t = g(r), яка близька до початку r = 0 монотонна, скажімо для
0 < r ≤ r₁. Тоді очевидно, що θ = ω(r) – розв’язок другого рівняння (3.8), то визначимо  ω  використовуючи рівність ω(r) = ω (g(r)), 0 < r ≤ r₁. Тоді очевидно, що θ=ω(r) – розв’язок рівняння, отриманого з (3.8) використовуючи формального ділення, тобто
                                 dθ/ dr = F(r,θ),                                                       (3.9)
де                      F(r,θ) = (-β + F₁(r,θ) / α(r + F₂(r,θ) ) )                       (3.10)
та  F₁(r,θ)  =  (cos θ/r) f₂(r cos θ,  r sin θ) – (sin θ/ r ) f₁(r cos θ,  r sin θ),
F₂(r,θ)  =  (cos θ/α) f₁(r cos θ,  r sin θ) + (sin θ/ α ) f₂(r cos θ, r sin θ). (3.11)
Із (3.5), (3.6), та (3.11) випливає, що якщо r достатньо мале, скажімо 0 < r ≤ r₂ то |F(r,θ) | ≤ 4 * ((|α| + |β|) / α²) * ψ(r) / r²                                           (3.14)
В силу (3.14) та припущення (3.7) інтеграл збігається
∫ F(r, ώ(r))dr  (r = min(r₁, r₂))
Тому з (3.12) отримаємо, що
ώ(r) + β/α * lnr → ώ(r) + β/α * lnr - ∫ F(r, ώ(r))dr    (r → 0 ).
З визначення функції ώ маємо, що
ω(t) + (β/α) ln θ(t) → с, t → +∞,
де с – стала.
Навпаки, нехай с – дійсна стала, та розглянемо інтеграл
                          Φ(r) = с + ∫F(s, Φ(s) – (β/α) ln s) ds                          (3.15)
Так, як функція F задовольняє нерівність (3.14), та функція ψ задовольняє вимоги (3.7), то можна побудувати для нерівності (3.15) рівносильну неперервну послідовність на деякому інтервалі 0 < r ≤ r₃ . З цієї послідовності можна вибрати збігаючи підпослідовність, яка приводить до існування розв’язку Φ рівняння (3.15). Нехай ω(r) = Φ(r) – (β/α) ln r. Тоді в силу (3.15) θ = ω(r) є розв’язком рівняння (3.12) і ясно, що
ω(r) + (β/α) ln r → с при r → 0.
Відповідно даному розв’язку  θ = ω(r) існує розв’язок r = σ(t)  першої нерівності (3.8), таке, що σ(t)  → 0 при t → +∞, та якщо ω(t) = ω(σ(t)), то пара (σ(t), ω(t)) є розв’язком системи (3.2), для якого  ω(t) + (β/α) ln σ(t) → с при
t → +∞. Це й доводить теорему.
Наслідок. Завершення теореми 3.1 залишаються дійсними для системи (НЛ), якщо вимоги (3.5) – (3.7) замінити наступними:
f₁ = 0(r^{1 + ε}), f₂ = 0(r^{1 + ε})   (r → 0)
для деякого ε > 0.
Доведення
Візьмемо в теоремі 3.1 ψ(r) = С r^{1 + ε}, де С – така стала, що ‌‌‌‌| ‌f₁| ≤ С r^{1 + ε} ‌,
| ‌f₂| ≤ С r^{1 + ε} для всіх нескінченно малих r. Очевидно, що (3.6) та (3.7) виконуються, тому слідує те що завершення теореми 3.1 справедливе.

4. Центри
Розглянемо тепер випадок, коли початок виражається центром для системи (Л). Для того щоб проглянути, що може трапитися при переході до збудженої системи (НЛ), в даному випадку розглянемо приклад
              x₁^' = -x₂ – x₁√ x²₁ + x²₂ , x₂^' = x₁ – x₂√ x²₁ + x²₂                                 (4.1)
Ця система задовольняє припущення для (НЛ), та полярні рівності, що відповідають системі (4.1), такі: r = -r² та θ = 1. Розв’язок цієї системи , що проходить при t = 0 через точку (r₀, θ₀) де r₀ ≠ 0, має вигляд:
θ(t) = (t + 1/ r₀)^-1,              ω(t) = t + θ₀
І тому σ(t) → 0 та ω(t) → +∞ при t → +∞. Звідси випливає, що початок є фокусом для системи (4.1), але для відповідної лінійної системи воно є центром.
В дійсності збурена система (НЛ) може бути набагато більш складною, ніж наведена в цьому прикладі, потрібно наголосити, що початок залишається все ще центром. В якості прикладу, розглянемо систему:
                       x₁^' = -x₂ + x₁( x²₁ + x²₂)sin(π/( x²₁ + x²₂)^½),
                      x₁^' = x₁ + x₂( x²₁ + x²₂)sin(π/( x²₁ + x²₂)^½),                         (4.2)
Нелінійні збурення мають завжди всюди неперервні перші похідні, тому через кожну точку (с₁, с₂) ≠ (0, 0) при t = 0 проходить єдиний розв’язок. Полярні нерівності для (4.2) мають вигляд
r' = r³ sin (π/r),           θ' = 1.
Кола  r = 1/n, n = 1, 2, …, є періодичними траєкторіями, представленими розв’язками  σ(t) = 1/n, θ(t) = t + θ₀ , де θ₀ – стала. Далі
r' > 0,  r > 1,
r' < 0, 1/2m <  r < 1/(2  m - 1)   (m = 1, 2, …),

r' > 0, 1/(2  m + 1) <  r < 1/2m.
Тому, ніяка траєкторія , крім r = 1/ n, не може бути періодичною та кожна не періодична траєкторія залишається повністю в середині однієї з областей  r > 1, 1/2m <  r < 1/(2  m - 1), 1/(2  m + 1) <  r < 1/2m,  (m = 1, 2, …). Так як функція  σ та ω монотонні при t → + ∞, то ці неперіодичні траєкторії або повинні стрімко йти до окружностей r = 1/ n при t → + ∞, або t → - ∞, або  ж σ → + ∞ у випадку коли r > 1. Таким чином, початок для системи (4.2) являється центром.
Приклади (4.1), (4.2) вичерпують можливість для системи (НЛ) в тому випадку, коли початок являється центром для лінійної системи (Л). В такому разі має місце наступна теорема
Теорема 4.1. Якщо початок є центром для системи (НЛ), в такому випадку воно є або центром, або фокусом для системи (НЛ).
Доведення
Канонічна форма розглядуваних рівнянь така:
                       x₁^' = βx₂ + f₁(x₁, x₂),   x₂^' =  - βx₁  + f₂(x₁, x₂)                  (4.3)
та   x₁^' = βx₂,            x₂^' =  - βx₁
Припустимо, що β < 0; в протилежному випадку t та –t обмінюються ролями.
Полярні рівняння для (4.3) дають
                               r' = 0(r),  θ' = -β + 0(1) (при r → 0) .                  (4.4)
З (4.4) випливає, якщо φ – розв’язок системи (4.3), що розпочинається при
t = 0 достатньо близько від початку, то його полярні функції r = σ(t),  θ = ω(t) задовольняють , для будь-яких нескінченно малих ε > 0 та  σ > 0 при t > 0 нерівностям:
σ₀ e^-εt < σ(t),    ω' > 0.
Тому  σ > 0 для всіх кінцевих t > 0, для яких ця функція існує, та ω – монотонна функція t. Позначимо обернену функцію  для ω через h , тобто t = h(θ), та визначимо σ за допомогою нерівності  σ(θ) = σ (h(θ)). Тоді функція r = σ(θ) задовольняється для диференціального рівняння
                                     dr/dθ = F (r, θ),                                             (4.5)
де  
F (r, θ) = (cosθ f₁ (r cosθ, r sinθ ) + sinθ f₂ (r cosθ, r sinθ)) / (-β + (cosθ/ r) f₂(r cosθ, r sinθ) – (sinθ/ r) f₁(r cosθ, r sinθ) ) .
Навпаки, якщо r = σ(θ) – розв’язок рівняння (4.5), що починається нескінченно близько від початку,  то полярне рівняння для θ буде давати розв’язок θ = ω(t), яке монотонне по t. Тоді якщо σ(t) = σ ω(t), то пара (σ(t), ω(t)) продовжує розв’язок системи (4.3), починаючи біля початку.
З ціх роздумів випливає, що для того, щоб вивчити поведінку розв’язка системи (4.3) близько біля початку , достатньо вивчити поведінку розв’язків рівняння (4.5). Функція F неперервна по сукупності змінних (r, θ) в деякому околі 0 ≤ r ≤ r₁  (r₁ > 0), F(r, θ + 2π) = F(r, θ) та F(r, θ) = 0(r), r → 0, рівномірно по θ. Ці факти не гарантують єдність розв’язку  рівняння (4.5).
Нехай  r₂, 0≤   r₂  ≤ r₁ , та η > 0 дано, та покладемо М = max‌F‌для 0 ≤ r ≤ r_2. Тоді, на основі теореми існування існує коло 0 ≤ r ≤ r₂/2, таке, що якщо точка (σ₀, θ₀) лежить всередині цього кола, то рівняння (4.5) має розв’язок:
r = σ(θ) ,  σ(θ₀) = σ₀ , яке існує для 0 ≤ θ – θ₀ ≤ min(π + η, r₂/ 2М) та залишається в середині кола   0 ≤ r ≤ r_2. Більш того з відношення  F= 0(r), r→0, слідує, що якщо r₂ вибрали нескінченно малим , то  r₂/ 2М > 2π + η. В такому випадку  функція σ існує на інтервалі 0 ≤ θ – θ₀ ≤ 2π + η та залишається в середині інтервалу  0 ≤ r ≤ r₂ .
Нехай початок не є центром. Тоді, зменшуючи у випадку необхідності r₂, отримуємо, що в колі r < r₂ не існує періодичних траєкторій. Розглянемо знову  розв’язок r = σ(θ) ,  що проходить через точку (σ₀, θ₀). Тоді або σ = (θ₀ + 2π)  < σ( θ₀), або  σ = (θ₀ + 2π)  > σ( θ₀). Не загромаджуючи, достатньо розглянути тільки перший випадок. Якщо різниця σ(θ) - σ (θ₀ + 2π) перетворюється в нуль при зростанні θ, то в колі r < r₂ існує періодична траєкторія. Таким чином σ(θ) > σ (θ₀ + 2π) для θ ≥ θ₀. Так як послідовність
{ σ (θ₀ + 2π k)}, k = 0, 1, …, монотонно спадає та додатня , то вона має границю r. Якщо r = 0, то σ(θ) → 0 при θ → +∞.
Якщо r > 0, то нехай σ (θ₀ + θ + 2π k) = σ_k (θ). Так як dσ/dθ ≤ М, то наша послідовність { σ_k } рівномірно неперервна на інтервалі [0, 2π]. Очевидно, σ_k(0) → r та σ_k(2π) → r при k→ +∞. Отже, існує послідовність { σ_k }, що зводиться до розв’язку σ рівняння (4.5)  та  σ(0) = σ (2π) = r. Тому даний розв’язок періодичний, що суперечить припущенню, про те що r < r₂ немає періодичних траєкторій. Отже, r = 0 та σ(θ) → 0 при θ → ∞.
У випадку коли через кожну точку проходить тільки один розв’язок, це й закінчує доведення. В загальному випадку Розглянемо нижній та верхній розв’язок рівняння (4.5 ), σ_m  та σ_м , що проходять через точку (σ₀, θ₀). Очевидно, що σ_m рухається та наближається по спіралі до початку при зростанні θ, або σ  володіє цією властивістю. Тоді
σ_м (θ₀ + 2π) > σ_м(θ₀)
та σ_m (θ₀ + 2π) < σ_m (θ₀) = σ₀ = σ_м(θ₀ + 2π).
Таким чином, в силу дослідження з теореми 1.3 повинен існувати періодичний розв’язок, що проходить через точку (σ₀, θ₀), а це суперечить припущенню. Тому всі розв’язки, що проходять через (σ₀, θ₀) σ₀, θ₀ наближаються  по спіралі до початку  при зростання θ.
Розв’язки, що проходять через будь-яку точку поблизу початку, повинні накручуватися на нього при зростанні θ, або в протилежному випадку повинно б було існувати розв’язок  σ, яке б розкручувалось при зростанні θ. Розглянутий  вище верхній розв’язок σ_м повинен перетинатися з цим розв’язком, тобто повинен існувати θ₁ > θ₀ , таке що
σ_м(θ₁) = σ_м (θ₁ + 2πk)
для деякого цілого k. Розглянемо тепер розв’язок σ₀ , де
 σ₀(θ) = σ_м(θ)                     (θ₀ ≤ θ ≤ θ₁),
σ₀(θ) = σ_м(θ + 2πk)           (θ₀ ≤ θ).
Це розв’язок, що проходить через точку (σ₀, θ₀), перевищує σ_м(θ) при θ > θ₁ , а це суперечить визначеному верхньому розв’язку. Таким чином, розв’язок σ існувати не може та всі розв’язки накручуються на початок  при зростанні θ. Теорема доведена.

5. Неправильні вузли
Розглянемо випадок, коли початок представляє собою неправильний вузол  типу (ІІ) для лінійної системи (Л), та припустимо для спрощення, що система в канонічній формі має вигляд:
х₁^' = λх₁ ,
                                                 х₂^' = μх₂  (μ < λ < 0).                                (5.1)
Тоді нелінійна система (НЛ), що відповідає (5.1), має вигляд
                              х₁^' = λх₁ + f₁(х₁, х₂), х₁^' = λх₁ + f₁(х₁, х₂),                    (5.2)
та наступна теорема показує нам, в якій мірі геометрія траєкторії системи (5.2) схожа з геометрією траєкторії (5.1).
Теорема 5.1. а) Кожна траєкторія системи (5.2) близько біля початку намагається досягнути початок  та має визначений напрям, що утворює з додатньою х₁-піввіссю кут 0, π/2, π чи 3π/2. Крім того, існує нескінченна кількість траєкторій, що стрімко напрямлені до початку під кутами 0, та π.
b) Існує хоча б одна траєкторія, що прямує до початку під кутом π/2, та хоча б одна – під кутом 3π/2.
с)   Якщо похідні ∂f₁/∂ х₁ , ∂f₂/∂ х₂ існують, та ще й неперервні для
0 ≤  r ≤ r₀ то існує хоча б одна траєкторія, що прямує до початку в напрямках  π/2 та 3π/2..
Доведення
а) З теореми 2.1 випливає, що початок являє собою точку притягання для системи (5.2). Тому існує  таке δ, 0 < δ ≤ r₀, що  кожна інтегральна крива, що починається з кола 0 ≤ r < δ, існує при t > t₀, для деякого t₀ і напрямлена до початку  при t → + ∞. З (5.2) випливає, що для кожного розв’язку, що починається з кола 0 ≤ r < δ,
r²θ' = (μ – λ) r² cosθ, sinθ + 0(r²)           (r → 0),
або
          
        θ' = (μ – λ)/2 * sin2θ + 0(1)                      (r → 0).                  (5.3)
Для будь-якого ε, 0 < ε < π/4 розглянемо область
Т₁: θ ≤ ε                     Т₂: θ – π ≤ ε
Т₃:  θ – π/2 ≤ ε            Т₄:  θ - 3π/2 ≤ ε.
На прямій θ = ε  величина   sin 2ε   додатня та за (5.3),  θ < 0  на ній якщо r достатньо мале. Тому, якщо  r достатньо мале , то кожна траєкторія починається всередині Т₁ , та не може вийти з області Т₁.Аналогічно для Т₂. З іншої сторони, якщо r достатньо мале, то траєкторія на границях областей Т₃ та Т₄  напрямлена поза цими областями. Отже, кожна траєкторія, що починається за межами області  Т₃ та Т₄ не може потрапити в середину   Т₃ та Т₄ . Нехай число δ₁ ≤ δ на стільки  мале, що траєкторія, яка починається всередині кола   0<  r ≤ δ₁ ведуть себе так само.
Очевидно, для того щоб траєкторія наближалася до початку   під кутом π, необхідно і достатньо  щоб для кожного ε, існувало   0 <  ε < π/4, існувало t_ε, таке що для всіх t ≥ t_ε  траєкторія буде лежати в області Т₁. Необхідно пам’ятати, про те що траєкторія прямує під кутом π, якщо вона наближається до  додатної х₁-піввісі. 
Покажемо тепер, що якщо траєкторія С починається всередині кола  0<  r ≤ δ₁ , то вона направляється до початку під кутом 0, π/2,  π чи 3 π /2 . Припустимо протилежне. Тоді для деякого ε₀  ,   0 <  ε₀ < π/4  , траєкторія С не лежить в області Т₁, Т₂, Т₃ або Т₄ . Нехай С лежить в області S:  ε₀ < θ < π/2 – ε_0. Тоді вона в кінці кінців зайде в область Т₁ . Нехай припустимо, що це не так.  Тоді С залишається в Для всіх достатньо великих t. Але в S в силу (5.3)  траєкторія С повинна  залишити  S та увійти  в Т₁ на t-інтервалі, менше π/(2ζ). Ми прийшли до протиріччя, тому що траєкторія С входить в область Т₁  для кожного εі таким чином , направляється до початку під кутом π. Що й треба було довести.
Доведемо (b) . Нехай ε > 0.Та нехай сектор ОАВ обмежений радіусом  ОВ та ОА, що виходять з початку О під кутами (π/2) – ε, (π/2) + ε відповідно, та нехай радіус сектора нескінченно малий, такий що в цьому секторі r існує спадна функція t. Так як r – монотонно спадна функція t, то система (5.2) в цьому секторі може бути замінена рівняння першого порядка dθ/dr = F(r, θ). Розглянемо множину точок S на  АВ, яке має властивість, що всі розв’язки рівняння dθ/dr = F, що виходять з точок  АВ зліва, від будь-якої точки S, виходять з сектору ОАВ, перетинаючи відкритий інтервал ОА. Точки  S утворюють інтервал АQ, який не включає точки близькі до точки В. Покажемо, що S не має кінцеву точку Q інтервалу,  тобто що інтервал а з правої сторони відкритий. Зрозуміло, нехай припустимо, що всі розв’язки, що виходять з  Q, перетинають відкритий інтервал ОА. Тоді, разом нижній розв’язок буде володіти також цією властивістю. За теоремою 1.4 нижній розв’язок , для близьких точок, що лежать з правого боку від Q,  будуть перетинати ОА. Для верхнього розв’язку функція θ не менша, ніж для нижнього, і таким чином, верхній розв’язок, мабуть,  перетинає ОА. Отже, всі розв’язки, що починаються з точки Q, та близькі до цієї точки, будуть перетинати ОА, що не можливо по визначенню точки Q.
Так, як верхній розв’язок не перервний зверху,  то верхній розв’язок, що виходить з точки  Q, перетинає ОА, або ж залишається в секторі ОАВ. Ніжній розв’язок не перетинає відкритий інтервал ОА. Якщо нижній розв’язок  не прямує до точки О в сектор ОАВ, то воно перетинає відкритий інтервал ОВ. Нехай верхній розв’язок, що виходить з точки Q, перетинає ОА в точці С, а нижній розв’язок – ОВ в точці Д. Нехай точка А₁ лежить на ОА блище до О, ніж С та В₁  на ОВ лежить ближче до О, ніж Д, та нехай ОА₁ = ОВ₁ . Розглянемо сектор О В₁А₁ . Зробимо ті ж самі перетворення , що й з попереднім сектором. Нехай точка, що відповідає точці Q на цій дузі , позначається через Q₁. Розглянемо розв’язок рівняння   dθ/dr = F, що виходять з Q₁, при зростанні r. Вони не можуть перетинати ОА чи ОВ. Таким, чином вони повинні залишити сектор ОАВ після першої після першої зустрічі з розв’язком СQ чи ДQ. Але розв’язок який зустрічає СQ в точці К, відмінний від Q, може бути продовжений, як розв’язок вздовж  СQ від К до Q; аналогічно стоїть завдання для розв’язків, що зустрічають  ДQ. Отже, існує хоча б один розв’язок рівняння   dθ/dr = F, яке йде з Q в Q₁.Та так далі до нескінченності. Отже лінія Q Q₁ Q₂… є розв’язком, який напрямлений  до О. Так як θ близька до π/2 в секторі ОАВ, то з сказаного в (а) зрозуміло, що розв’язок напрямлений до точки під кутом 3π/2 з додатнім напрямом х₁-осі при t → ∞.
Доведення висловлень (с). Буде дано для випадку 3π/2.
Для кожної фіксованої інтегральної кривої (φ₁, φ₂) що напрямлена до початку під кутом 3π/2, φ₁/ φ₂ → 0, и таким чином, з нерівності (5.2) випливає, що
φ'₂/ φ'₁ = μ + 0(1) при t → +∞. Отже, φ'₂ < 0, φ₂ > 0 при всіх достатньо великих t, зрозуміло функція х₂ = φ₂(t) може бути введена, як нова змінна. Штрих над символом означає диференціювання  по х₂.
Припустимо, що існує дві різні траєкторії, що прямують до початку під кутом 3π/2 при t → +∞. Нехай відповідні траєкторії представлені для всіх достатньо великих t рівняннями х₁ = ψ₁(х₂),  х₁ = ψ₂(х₂). З (5.2) випливає,  що 
ψ_і(х₂) = (λ ψ_і(х₂) + f₁ (ψ_і(х₂), х₂) ) / (μ х₂ + f₂ (ψ_і(х₂), х₂))       (і = 1, 2)
зробивши підстановку ψ = ψ₁ – ψ₂, отримаємо
ψ (х₂) = (λ ψ (х₂) + [ f₁ (ψ₁(х₂), х₂)  - f₁ (ψ₂(х₂), х₂)] + [λ ψ₂ (х₂) + f₁ (ψ₂(х₂), х₂)  ] [ f₂ (ψ (х₂), х₂)  -  f₂ (ψ₁(х₂), х₂)  ]) / (μ х₂ + f₂ (ψ₁(х₂), х₂) + [μ х₂ + f₂ (ψ₁(х₂), х₂] [μ х₂ + f₂ (ψ₂(х₂), х₂] )                                                                                                   (5.4)
В силу  теореми єдності  ψ ≠ 0, таким чином, можна припустити, що  ψ > 0 . Вутлу (2.1) похідні df_і / dх_j  дорівнюють нулю на початку. Очевидно,
f_і (ψ₁(х₂), х₂)  - f_і (ψ₂(х₂), х₂) =   ψ (х₂) (df_і / dх₁)(ζ, х₂ ),
де ψ₂(х₂)< ζ_і < ψ₁(х₂)та те що з (5.4) слідує
        ψ₁(х₂) = (λ ψ (х₂)/ μ х₂ )(1 + 0(1))  (х₂ → 0)                              (5.5)
зробивши перетворення отримали, що
ψ (х₂)/ х_{2 = (}ψ₁ (х₂) – ψ₂ (х₂))/ х₂) →0
при  х₂ →0. Це доводить те, що існує хоча б одна траєкторія, що прямує до початку під кутом 3π/2.

6. Сідла
Для випадку сідла, спочатку нехай рівняння (НЛ) та (Л) мають відповідні канонічні рівняння:
х₁ ^'= λ х₁ +  f₁ (х₁, х₂),
                                   х₂ ^'= μ х₂ +  f₂ (х₁, х₂)                                           (6.1)
та                х₁^' = λ х₁                         х₂^' = μ х₂                                                (6.2)
де λ < 0 < μ. Тоді геометрія траєкторії системи (6.1) поблизу початку описує наступну теорему.
Теорема 6.1. (а)  Існує хоча б одна траєкторія, що прямує до початку під кожним з кутів 0 та π.

(b)   Якщо, далі, похідні ∂f₁/∂х₂  та  ∂f₂/∂х₂   існують та неперервні для       0 ≤ r ≤ r₀   то існує лише  одна траєкторія, що пряму до початку під кожним з кутів 0 та π. Кожна траєкторія, що  починається достатньо близько від кожної з траєкторій в околі початку,  при  t → +∞  відхиляється від них.
Доведенням існування траєкторії, що прямує до початку  в секторі θ ≤ ε, дуже схоже на доведення частини (b)   теореми 5.1. Ця траєкторія повинна прямувати до початку с кутом дотику π, чи з 6.1 маємо
θ^' = (μ – λ )/2 sin2 θ + 0(1)   (r → 0 ) ,
так, що θ =ω( t) може залишатися в секторі θ ≤ ε тільки в тому випадку, коли
ω( t) → 0 при t → + ∞.

7. Приклади лінійних систем
Розглянемо дві схеми, які при відповідних спрощеннях прикладів описуються лінійними диференціальними рівняннями.
1.               Малі збурення динатронного генератора.
Розглянемо тепер малі збурення поблизу стану рівноваги динатронного генератора, коли точка лежить на падаючій ділянці характеристики тетрода. Для цієї схеми було отримано наступне лінійне диференціальне рівняння другого порядку:
                  LC d²u/d²t + [RC - LS_O]du/dt + [1 - RS_O]u=0                         (1)
Або, якщо взяти нескінченний час
t_нов= ω_о, де tω_о=1/√LC,
та безрозмірні параметри
r = ω₀RC , s = ω₀LS₀  , ίί + (r – s)ủ + (1 – rs)u = 0
(тут крапкою зверху позначені диференційовані по новому безрозмірному часі).
       Корені характеристичного рівняння
                                      λ² + (r - s)λ + (1 - rs) = 0,                                     (2)
тому, і тип розглянутої відстані рівноваги залежить від параметрів схеми r та s. Для відображення даної залежності ми побудуємо на площині ці два безрозмірні параметри (в її першій чверті) області, що відповідні для різних типів стану рівноваги дина тронного генератора на падаючій частині території характеристики (рис.1).

(рис.1)
При rs > 1, тобто Над гіперболою rs = 1, корені характеристичного рівняння (2) дійсні та різних знаків, тобто відстань рівноваги є сідлом. Корені характеристичного рівняння комплексні при
(r - s)² < 4(1 -  rs) або (r + s)² < 4,
Тобто, під прямою r + s = 2 знаходиться область значення параметрів, при яких стан рівноваги – фокус. В області значення параметрів між цією прямою та гіперболою rs = 1 стан рівноваги – вузол. Стійкість вузла чи фокуса, як ми вже бачили, визначається знаком коефіцієнта характеристичного рівняння при  λ в першій степені: точніше, при r > s  вузол чи фокус стійкий, а при r < s – нестійкі. Таким чином, відрізок прямої
r = s до перетену з гіперболою rs = 1 та потім частина гіперболи справа від цієї точки перетину становить границю області стійкості генератора. Якщо стан рівноваги не стійкий, то динатронний генератор вийде з межі цього стану рівноваги. Але, використовуючи лінійне рівняння, ми не зможемо нічого сказати про режими, які встановляться в генераторі.

2.               «Універсальна » схема
Другим прикладом загальної лінійної системи може слугувати так звана «універсальна » система зображена на (рис.2), чи їй відповідна на (рис.3), авжеж при умові відповідної її ідеолїзації та  частинної «лінеаризації».

(Рис. 2)
Ми будемо вважати, що характеристики як першої, так і другої лампи прямолінійні. Цей приклад, як ми вже неодноразово вказували, має важливе значення тільки для невеликих областей зміни напруги на сітках ламп, и тому лінеаризації лишає нас можливості розглядати поведінку системи у всій області зміни змінних. Але у відомій, обмеженій області ми можемо вважати систему лінійною та правильно описати її поведінку в цій області.
Крім того, ми будемо, як робили це завжди, нехтувати сітковим струмом та анодною реакцією.
(Рис. 3)

В результаті ціх спрощених прикладів ми, виходячи з рівняння Кірхгофа, отримаємо для розглянутої схеми (в позначеннях рис.3) наступні нерівності:
                       r₁ί₁ = u₂ - u₁,  R(ί_a + ί₂) + u₂ + r₂ί₂ = E_a
                    C₁ du₁ / dt = ί₁,     C₂ du₂ / dt = ί₂ -  ί₁ ,                                    (3)
Зазначимо, що в лінійному зближенні (для стану, близьких до стану рівноваги:
ί₁ =  ί₂ = 0, u = 0)
ί_а = ί_а0 – Su = ί_а0 – S( r₁ί₁ + r₂ί₂), де
S- абсолютне значення покруту падаючої частини характеристики лампової групи (ламп Л₁ та Л₂ з загальним  опору R_k) в робочій точці (в стані рівноваги). Про диференціювавши перші два рівняння  по часу і використавши останні два, а також приклад для анодного току лампи Л₂, отримаємо два диференціальних (лінійних) рівнянь першого порядку для точок  ί₁ та ί₂:
                d ί₁/ dt = ( -(1/С₁ +1/ С₂ ) ί₁ +1/ С₂* ί₂)/r₁,                                 (4)
d ί₂/ dt = ( [1/С₁ – RS(1/С₁ +1/ С₂) ] ί₁ +( RS - 1 )1/ С₂* ί₂)/( R + r₂(1 - RS))
або, якщо ввести k = RS ≥ 0, r = r₁  + r₂ та β= r₂ / r(0 ≤ β  ≤ 1),
                                d ί₁/ dt = ( -(1/С₁ +1/ С₂ ) ί₁ +1/ С₂* ί₂)/((1 - β ) r),
        d ί₂/ dt =([1/С₂ (1 - k )– 1/С₁ k] ί₁ +(k - 1) 1/ С₂* ί₂)/ (R - βr (k - 1))   (5)
Щоб визначити характер особливої точки (стан рівноваги ί₁ =ί₂= 0), складемо характеристичне рівняння системи лінійних диференціальних рівнянь (5):
С₁ С₂(1 - β )r [R - βr (k – 1)]λ² +
                     +  [R (С₁ +С₂) - (k – 1) r(С₁ +βС₂) ] λ + 1 = 0.                   (6)
Характер коренів λ  рівняння (6), а також і характер особливої точки, залежить від чотирех безрозмірних параметрів схеми k, β, R/ r та С₂/ С₁ Вибираючи відмінності значення ціх параметрів, можна отримати всі розглянуті вище типи особливих точок. Далі будемо вважати змінними параметрами тільки  k та β (перший з них може змінюватись шляхом зміни S), наступний – шляхом зміни положення двигуна потенціометра r ),  та параметри R/ r та С₂/ С₁ – незмінні.
Побудуємо розділ площини параметрів k, β на області, кожній з яких відповідає визначений тип особливої точки (рис. 4). Перш за все при k = 0 ми отримаємо два дійсних від’ємних кореня, тобто особливу точку типу стійкого вузла (Дійсно, при k = 0 коефіцієнти при λ² та  λ додатні, додатнім виходить і дискримінант рівняння 
[R (С₁ +С₂)+[r(С₁ +βС₂)]² – 4С₁С₂ (1 - β) r[R + βr] = С₁[R +r - С₂ (R + βr)]² +4 С₁С₂[R + βr ]²>0).

(рис. 4)
Це й слідувало очікувати, так як при k = 0 лампова група не грає для нашого випадку ніякої ролі, при відсутності електронних ламп у схемі, що складається з ємкостей та відторгнень, можуть виконуватися тільки затухаючі аперіодичні рухи, тобто можуть існувати тільки стани рівноваги типу стійкого вузла. Далі, при
                                           k > 1 + R/ βr                                                      (7)
Коефіцієнт при λ² є від’ємним, тому, ми маємо місц^е з особливою точкою типу сідло (границею області сідла є гіпербола k = 1 + R/ βr, відповідає особлива точка типу вузла чи фокуса. Стійкість особливої точки в цьому випадку визначається знаком коефіцієнта при  γ. Цей коефіцієнт перетворюється в нуль на гіперболі
                                k = 1 + R/r * (С₁ +С₂)/ С₁ +βС₂)                                              (8)
додатній під нею та від’ємний над нею. Оскільки 0 ≤ β  ≤ 1,
1/ β ≥  (С₁ +С₂)/ (С₁ +βС₂)
Та гіпербола (8) лежить під гіперболою  k = 1 + R/rβ, а також є границею само збурення схеми.
Границя, що відокремлює області дійсних і комплексних коренів (що відокремлює області вузла та фокуса), визначається умовою рівності нулю дискримінанта характеристичного рівняння (6), тобто умовою
[R (С₁ +С₂)- (k – 1) r(С₁ +βС₂)]²-
                                 - 4С₁С₂ (1 - β) r[R – βr(k – 1) ] = 0                            (9)
Крива, що визначається на площині параметрами β та k Рівнянням (9), не важко побачити, що маємо дві гілки, одна з яких (границя нестійких вузлів та нестійких фокусів) проходить між гіперболами (8) та k = 1 + R/rβ, а інша – під гіперболою (8), але над віссю  k = 0.
Якщо умова само збурення відбулась та особлива точка являється нестійкою, то ми можемо лише стверджувати, що система виходить із стану рівноваги, та може визначити характер цього руху, але нічого не може сказати про майбутній шлях системи, так як ми розглядаємо лише лінійні рівняння. Аналіз нелінійних рівнянь «універсальної» системи показує, що при виконанні умови само збурення в схемі встановлюються атозбурення: неперервні при k < k_кр = 1 + R/rβ ( або, те ж саме,  при β<β_кр = R-r(k-1)
Та розривні  при k > k_кр (чи при β >β_кр) це тому, що в схемі мають місце, як неперервні так и розривні авто збурення, вона і була названою «універсальна»). Зазначимо, що в останньому випадку розглянута нами спрощена модель не відображає законів руху реальної схеми: поблизу стану рівноваги в цьому випадку відбуваються «швидкі» рухи, швидкості яких визначаються не рівняннями (5), а малими паразитними ємкостями схеми, тим більше, чим менші ці ємкості. Тому, було б більш правильним назвати область k > 1 + R/rβ н діаграмі малюнка (рис.4) не областю сідла, а областю швидких рухів (скачкоподібних), що виводять систему із стану рівноваги.

3.               Визначити та кваліфікувати особливі точки системи  
1а).
                                                    x^'₁ = x^'₂
x'₂ = - ax₂ - bsinx₁
Розв'язання:
Особлива точка: x₁ = 0; x₂ = 0. Визначимо характер особливості, для цього розглянемо систему за першим наближенням:
                                              x^'₁ = x^'₂
x'₂ = - ax₂ - bx₁ + о (|x₁| )
Відповідна характерестична матриця матиме такий вигляд:
                                                - λ           1
А =                              = 0
- λ – b     - a - λ
- λ (- a - λ) – (– b) = 0
λ²  + а λ +  b = 0
- а +  √ a² - 4b
λ_1,2  =                               < 0
2
Особлива точка – сідло (a² > 4b)
Особлива точка - фокус (a² < 4b)
Особлива точка – дикретний вузол (a² = 4b)
2а).
                                                    x^'₁ = x^'₂
x'₂ = - ax₂ - bsinx₁
Особлива точка: x₁ = 0; x₂ = 0. Визначимо характер особливості, для цього розглянемо систему за першим наближенням:
                                                    x^'₁ = x^'₂
                                                    x'₂ =  a(1 –x₁²) x₂ -  bx₁
Відповідна характерестична матриця матиме такий вигляд:
                                                - λ           1
А =                              = 0
– b      a - λ
λ²  - а λ +  b = 0
 а +  √ a² - 4b
λ_1,2  =                               >0
2
Особлива точка – сідло (a² > 4b)
Особлива точка - фокус (a² < 4b)
Особлива точка – дикретний вузол (a² = 4b)

Висновок
В цій роботі було  висвітлено основні характеристики та види  лінійних двовимірних систем. Вона включає в себе не тільки центрові поняття про двовимірні лінійні системи, але й основні теореми, які являються властивостями особливих точок.
Розглянули, які бувають графіки кривих, які умови сприяли таким формам, та ситуації в яких зображено можливості тієї чи іншої функції .
Першим розділом є ”Двовимірні лінійні системи”. Де ми розглянули характеристику двовимірних лінійних систем та види їх в залежності зміни деяких параметрів. Наступним розділом є  ”Збурення двовимірних лінійних систем”, де розглядається нелінійна двовимірна дійсна система та основні поняття точок (ізольована, проста, точка притягання та інші.).З третього по шостий розділи ми розкрили питання про правильні, неправильні вузли та правильні фокуси, ценри, сідла та їх властивості. Навели приклади лінійних систем: малі збурення динатронного генератора,  «універсальна» схема, та приклад особливих точок.

Література
1.                А.А. Андронов,  Е.А. Леонтович, И.И. Гердон, А.Г. Майер/ Качественная теорія динамических систем второго порядка,  из-во Наука, М., 1966.
2.                А.А. Андронов, А.А. Витт, С. Э. Хайкин/ Теорія колебаний, Наука, М., 1981.
3. А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями, Гостехиздат, М.— Л., 1947.
4. А. А. Андронов, А. А. В и т т, С. Э. X а й к и н, Теория колебаний, лад. 2-е д ред. Н. А. Железцова, Физматгиз, 1959.
5. Л. И. Мандельттам,   Вопросы   электрических колебательных системы радиотехники, Сб. «Первая Всесоюзная конференция по колебаниям», т. 1, стр. 5, ГТТИ, 1933.
6. Л.И.Мандельштам, А.А. Витт, Н.Д.Папалексв, А.А.Андронов, Г. С. Горелик, С.Э.Хайкин, Новые исследования в области нелинейных колебаний, Радиоиздат, 1936.
7. А. А. Андронов, 1) Математические проблемы теории колебаний; 2) Л. И. Мандельштам и теория нелинейных колебаний, Собрание сочинений, Изд.  АН СССР, М.— Л., 1956.
8. Дж. Д. Биркгоф, Динамические системы, Гостехиздат, М.— Л., 1941.
9. Л. С.Понтрягин, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физмат - гиз, М., 1961.
10. Э. А. Коддингтон, Н.Левинсон, Теория обыкновенных дифферен­циальных уравнений, Н.Левинсон М., 1958.
11. З.С. Баталова и Л. Н. Белюстина, Исследование одной нелинейной системы на торе. Изв. высш. уч. зав., «Радиофизика», т. VI (1963).
12. А. Г.майер, О траекториях на ориентируемых поверхностях, Матем. сб. 12 (54), 1 (1943).
13. И.Бендиксон, О кривых определяемых дифферен -циальными уравнениями, УМН 9 (1941).
14.   Н. II. Константинов, О несамопересекающихся кривых на плоскости, Ма­тем. сб. 54 (96), 3 (1961).
15. А. И. М а л ь ц е в, Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1956.
16.             В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, изд. 4-е, Гостехиздат, 1945.
17.      В. В. Н е м ы ц к и й и В. В. Степанов, Качественная теория дифферен­циальных уравнений, Гостехиздат, М.— Л., 1949.
18.             Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. 1949.
19.              Папалекси Н.Д., Андронов А.А., Горелик Г.С., Рытов С.М. Некоторие исследования в области нелинейных колебаний начиная с 1935 года, 1947.
20.             Понтрягин Л.С., Андронов А.А., Витт А.А. О статистическом рассмотрении динамических систем, Собрание трудов.
А.А. Андронова, 1956.
21. Понтрягин Л.С. О динамических системах, близких к гамильтоновым, 1934.
22. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. Гостехиздат, 1950.
23. Теодорчик К.Ф. Автоколебательные системы. Гостехиздат, 1933.
24. Ван-дер-Поль Нелинейная теория електрических колебаний. Связьтехиздат, 1935.