Диплом Математична модель транспортної системи підприємства

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Курсовая работа Дипломная работа Контрольная работа Реферат Отчет по практике Эссе Доклад Решение задач Научно-исследовательская работа Монография Аспирантский реферат Магистерская работа Научная статья Публикация статьи в ВАК Публикация статьи в Scopus Дипломная работа MBA Бизнес-план Тест/экзамен online Чертеж Рецензия

Принимаю Политику конфиденциальности

Продолжить

Скидка 25% при заказе до 23.11.2024

АНОТАЦІЯ
104 стор.,27 рис., 4 табл., 20 літер. джерел.

В роботі розглянуті проблеми побудови транспортної системи підприємства. Запропонована трьохрівнева транспортна система, представляюча собою транспортну мережу, пов`язану вертікальними та горизонтальними зв`язками. Проаналізовані теоретичні роботи в галузі транспортних систем, мереж та потоків.

Розроблено оригінальну математичну модель транспортної системи підприємства на трьох рівнях. Вона базується на основних положеннях теорії потенціалу. Приведено вираз для стаціонарної швидкості обігу матеріального транспорту.

Побудовано також імітаційну модель на базі програмного пакету Stratum. В результатів "прогону" моделі зроблено необхідні візуалізації. Приведені результати залишків транспортуємих матеріалів на різних рівнях розглянутої транспортної системи. Ці показники зрівняні з фактичними.

Ключьові слова: ТРАНСПОРТНА СИСТЕМА, ЦІНОВИЙ ПОТЕНЦІАЛ, ЩІЛЬНІСТЬ ВАНТАЖОПОТОКУ, ТРАНСПОРТНІ МЕРЕЖІ.


ЗМІСТ
ВСТУП

РОЗДІЛ 1. АНАЛІЗ ТРАНСПОРТНИХ СИСТЕМ ТА ІХ МОДЕЛЮВАННЯ

1.1       Керування транспортною системою

1.1.1.Характеристика транспорту як об'єкту керуваня

1.1.2 Моделювання транспортної системи

РОЗДІЛ 2. Транспортні потоки, планування та оптимізація

2.1 Задачі планування незалежних транспортних потоків

2.2       Узагальнені задачі про потоки

2.3       Багатопродуктові потоки

2.4 Задача планування перевезень як задача оптимізації взаємозалежних потоків на мережі

2.5 Двохрівнева система моделей планувания транспортних потоків

2.6 Модель нижнього рівня - оптимізація транспортних потоків на транспортних мережах окремих видів транспорту

2.7 Основні задачі оптимізації транспортних потоків

2.8 Математичні моделі, у яких враховується взаємозв'язок потоків

РОЗДІЛ 3 МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНОЇ СИСТЕМИ ПІДПРИЄМСТВА

3.1 Структура моделі

3.2 Математичний опис моделі

3.3 Аналіз математичної моделі

РОЗДІЛ 4 ПОБУДОВА ІМІТАЦІЙНОЇ МОДЕЛІ ТРАНСПОРТНОЇ СИСТЕМИ

4.1 Основні властивості середовища проектування

4.2 Побудова імітаційної моделі

4.3 Аналіз результатів прогону імітаційної моделі

ВИСНОВКИ

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

В даний час транспортні системи займають головне положення у світовій економіці. Вони носять глобальний по суті справи характер і мають першорядне значення в незалежності чи то це транспорт енергоресурсів матеріалів, грошей або транспортні інформаційні системи, що у даний час бурхливо розвиваються. Проте як у нових у системах, що розвиваються, так і традиційних існує цілий комплекс проблем, що потребують невідкладного рішення. І більшість із них це економічні проблеми або проблеми, що зводяться до економічних, без залежності від їхньої початкової природи, що може бути також технічної.

До таких проблем можна віднести оптимальну надійність транспортних систем, раціональний розподіл транспортної мережі, оптимізацію перевезень, що по також залишається актуальної, а також вибір основних параметрів транспортної мережі або транспортної системи.

В даний час розвиток інформаційних технологій поряд із визначеними успіхами традиційних фундаментальних досліджень дозволяє по новому глянути на старі задачі і запропонувати більш точні рішення, що засновуються на досягненнях зокрема таких наук як Економічна кібернетика.

У умовах сучасної України існують як глобальні транспортні системи, у тому числі газова, що потребує удосконалення так і реконструкції, а також множина локальних мереж окремих підприємств. Необхідно зазначити, що при переході до ринкової економіки вони були в ряді випадків порушені. Виниклі нові зв'язки потребують визначеного осмислювання і розробці наукових підходів, базуючихся на переважно економічних критеріях.

Цим підходом, поза всяким сумнівом, є імітаційне моделювання, що дозволить вирішити задачі прийняття зважених управлінських рішень по удосконалюванню вантажопотоків не тільки на глобальному, але і на локальному рівні окремого промислового підприємства або фірми. Потребує притягнення для виконання повнообсяжних рішень усіх сучасних інформаційних технологій.


РОЗДІЛ 1. АНАЛІЗ ТРАНСПОРТНИХ СИСТЕМ ТА ІХ МОДЕЛЮВАННЯ

1.1           Керування транспортною системою

1.1.1 Характеристика транспорту як об'єкту керування

Транспорту належить особлива роль у народному господарстві країни, він зв'язує воєдино всі галузі народного господарства, забезпечуючи переміщення сировини, напівфабрикатів і готової продукції. Всі види транспорту: залізничний, морський, річкову, повітряну, автомобільну і трубопровідний тісно пов'язані між собою, створюючи єдину транспортну систему України. Вона являє собою сукупність шляхів повідомлення, транспортних вузлів, транспортних і вантажно-розвантажувальних засобів, що забезпечує перевезення вантажів і пасажирів із пунктів відправлення в пункти призначення і виконання відповідних вантажних операцій.

Транспортній системі властиві риси, властиві будь-якій іншій виробничій системі. Проте в порівнянні з іншими галузями народного господарства транспорт володіє цілим поруч специфічних особливостей, породжуваних характером виробничого процесу.

1.       У процесі свого функціонування транспортна система не створює нового матеріального продукту, її продукцією є самий процес переміщення вантажів і пасажирів.

2.       На відміну від продукції інших галузей транспортна продукція не взаємозамінна: перевиконання плану перевезень якогось вантажу між одними пунктами не може компенсувати невиконання перевезень того ж вантажу між іншими пунктами. Ця продукція не існує окремо від транспорту і не може провадитися в запас, тобто невиконання перевезень в один період часу не може бути компенсовано перевиконанням їх в інший період часу.

3.       Засоби виробництва транспортної галузі розосереджені по всій країні і за її межами, велика частина їх знаходиться в постійному переміщенні. Масштаби діяльності галузі, розбивка їх об'єктів, динамічний характер виробничого процесу, вплив великого числа випадкових чинників обумовлюють надзвичайну складність керування транспортної, системою.

Необхідність опрацювання великого обсягу інформації, необхідної для прийняття керуючих рішень, за короткий період часу унеможливлює ефективне керування роботою транспорту без застосування математичних методів і сучасного обчислювальної техніки.

В даний час на кожному виді транспорту створені і продовжують розвиватися автоматизовані системи керування. Проте наявність відомчої роз'єднаності не дозволяє повною мірою оптимізувати транспортний процес. Недостатня координація роботи різних видів транспорту призводить до виникнення нераціональних перевезень, неефективному використанню транспортних засобів і зниженню швидкості перевезень. Затримки вантажів і простої рухливого складу в транспортних вузлах часто поглинають економію, одержувану за рахунок оптимізації перевезень у межах кожного виду транспорту.

В даний час назріла об'єктивна необхідність у створенні єдиної автоматизованої системи керування усіма видами транспорту, що повинна об'єднати АСУ окремих « видів транспорту і забезпечити ефективне використання всіх наявних ресурсів.

У основу функціонування єдиної АСУ транспортом країни повинний бути призначений принцип раціонального сполучення централізованого рішення загальнотранспортних задач і децентралізованого рішення задач кожного виду транспорту при дотриманні інтересів як народного господарства в цілому, так і кожного виду транспорту окремо.

До числа загальнотраснпортних задач, що повинні вирішуватися цією системою, ставляться:

-          забезпечення взаємообміну АСУ різноманітних видів транспорту координація діяльності і розвитки різноманітних видів транспорту;

-          оптимальний розподіл вантажопотоків між різними видами транспорту;

-          визначення маршрутів і обсягів перевезень, виконуваних у змішаному повідомленні, тобто за участю декількох видів транспорту;

-          ув'язування планів перевезення і перевалювання вантажів різноманітними видами транспорту;

-          узгоджене керування роботою транспортних підприємств, що взаємодіють у транспортних вузлах;

-          забеспечення взаємообміну АСУ різноманітних видів транспорту уніфікованою інформацією про роботу суміжних видів транспорту.

Створення автоматизованої системи керування транспортом країни зажадає рішення цілого ряду нових наукових проблем, зокрема розробки математичних методів і моделей для рішення задач оптимального керування транспортним процесом, у якому бере участь декілька видів транспорту.

Задача керування транспортною системою можна розділити на трьох основних класу: задача керування основною експлуатаційною діяльністю (перевезенням, перевалюванням і збереженням вантажів), розвитком транспортної системи (транспортних мереж, рухливого складу, вантажно-розвантажувальних устроїв і т.п.) і підтримкою працездатності транспортної системи (ремонтними роботами, постачанням, енергозабезпечення і т.п.).

Надалі ми обмежимося розглядом тільки задач керування основною експлуатаційною діяльністю, оскільки, з одного боку, саме в ході цієї діяльності створюється транспортна продукція, а з іншого боку, у зв'язку зі специфікою транспорту як галузі народного господарства задачі керування цією діяльністю відрізняються від більшості задач керування, що виникають в інших галузях.

Об'єктом керування основною експлуатаційною діяльністю є транспортний процес, тобто процес переміщення вантажів і пасажирів із пунктів зародження грузо- і пасажиропотоків у пункти їхній поглинання.

Через складність об'єкта керування якість керування їм оцінюється не по одному, а по цілому ряді показників, таких, як прибуток від виконання перевезень, експлуатаційні витрати, грузо- і пассажирообіг, обсяг перевезень, середня дальність перевезення 1 т вантажу, собівартість перевезень і ін.

Специфічною особливістю задач керування транспортним процесом, що відрізняє їх від задач керування в більшості інших галузей народного господарства, є те, що ці задачі формулюються як задачі керування різноманітними транспортними потоками (тобто потоками вантажів, пасажирів, транспортних засобів і т.п.), що переміщаються по транспортній мережі.

До числа основних із цих задач ставляться:

-          розподіл вантажопотоків між видами транспорту;

-          розподіл обсягів перевезень між виробничими підприємствами усередині кожного виду транспорту;

-          керування перевезеннями, виконуваними транспортним підприємством, у тому числі визначення оптимальних маршрутів, графіків і розкладів прямування окремих транспортних засобів.

Складність цих задач і велика кількість що враховуються чинників унеможливлюють їхнє ефективне рішення без використання математичних методів оптимізації, в основу яких призначені моделі транспортних мереж і транспортних потоків.

1.1.2 Моделювання транспортної системи

Для зображення вершин (або вузлів) орієнтованих і неорієнотованих дуг використовуються відповідно кружки, лінії зі стрілками і лінії без стрілк. У більшості випадків можна замінити одну неориєнтовану дугу двома орієнтованими і напроти спрямованими дугами. У зв'язку з розподілом єдиної транспортної системи України на підсистеми, що відповідають окремим видам транспорту, транспортна мережа G(К, А) розпадається на ряд окремих підмереж G^м (К^м, А^м), що обслуговуються різноманітними видами транспорту М = 1,...,. Ці підмережі мають загальні вершини, що подають транспортні вузли, у яких відбувається перевалювання вантажів з одного виду транспорту на інший. Для зручності побудови моделей планування перевезень вантажів кожний вузол реальної транспортної мережі, у якому відбувається взаємодія декількох видів транспорту, можна уявити в графі G (K, А) у виді декількох вершин, кожна з який відповідає виду транспорту. Ці вершини сполучені між собою парою напроти орієнтованих дуг, що означають перевалювання вантажів з одного виду транспорту на інший [1]. Як приклад на рис. 1.1, а приведена схема загально транспортного вузла, у якому взаємодіють три види транспорту (залізничний, автомобільний і річковий), на рис.. 1.1, б - його уявлення в мережі G (K, А), де можливе перевалювання вантажів позначений штриховими стрілками.

Приклад фрагмента мережі G (K, А) для трьох видів транспорту приведений на рис.1.2. Вершини, у яких зароджуються транспортні потоки, називаються «джерелами», а вершини, у яких вони поглинаються, - «стоками». Окремі об'єкти, що переміщаються, або «протікають», із пунктів зародження транспортних потоків у пункти їхній поглинання, називаються «одиницями потоку». Будемо використовувати символ для позначення вершини i = 1,...,n « графа G (K, А) і символ (i, j)  А для позначення орієнтованої дуги, що веде з , до -. Упорядкована послідовність вершин і спрямованих дуг мережі  (1, 2), , (2, 3),..., , ( n-1, n),, така, що кінець попередньої дуги є початком наступної, називається шляхом (або маршрутом), що веде з вершини  у вершину . При послідовність називається орієнтованим циклом або кільцевим маршрутом. Якщо будь-які дві вершини мережі можна з'єднати шляхом, те мережа називається зв`язаною. Якщо мережа не є зв`язаною, те її можна розбити на зв'язкові підмережі або компоненти зв`язані. Прикладом незв'язної транспортної мережі може служити підсікти шляхів повідомлень річкового транспорту, що складає з декількох не з`єднаних річкових басейнів.

РОЗДІЛ 2. Транспортні потоки, планування та оптимізація

2.1 Задачі планування незалежних транспортних потоків

Задано транспортну мережу G (V, Е), у якій п = |V| - число вершин, а т =| Е| - число дуг. Кожній дузі (i,j)  Е поставлено у відповідність невід

’ємне число , називане її пропускною спроможністю і відповідною максимальною кількістю одиниць транспортного потоку, що може пройти по дузі.

V, із якої починається переміщення однорідного потоку, називається джерелом, а вершина t V, у якій воно закінчується, - стоком.

 j ≠ s,t

Автор алгоритму		Помилка в загальному випадку	m=n	m=n2	k=m+n
Форд-Фалкенсон Эдмонс-Карп Диниц Карзанов Черкаський Галил	[4] [5] [6] [7] [8] [9]	0(vm) 0() 0() 0() 0() 0()	0() 0() 0() 0() 0()	0() 0() 0() 0() 0()	0() 0() 0() 0() 0()

Відмінність даної задачі від попередньої полягає в тому, що для кожної дуги (i,j)  Е задана вартість  переміщення одиниці транспортного потоку і необхідно знайти потік заданого розміру v із джерела s у стік t, що мінімізує зважену суму потоків

Для рішення цієї задачі запропонована множина різноманітних алгоритмів і їхніх узагальнень. Серед. них алгоритми, засновані на застосуванні прямих і двоїстих симплекс-алгоритмів лінійного програмування й алгоритмів пошуку найкоротших шляхів. Одним із поширених алгоритмів є так називаний алгоритм дефекту [4], що дозволяє вирішувати задач про потік мінімальної вартості достатньо загального виду. Число операцій алгоритму дефекту оцінюється як 0(), де число К₀, обумовлене на перших ітераціях алгоритму, не перевищує , п - число вершин мережі, т - число її дуг, а

Очевидно, можна замість 0() використовувати оцінку 0(). У [5] запропонована модифікація алгоритму дефекту з оцінкою числа операцій 0 ().

Кожній дузі (i, j) мережі поставлена у відповідність її довжина , або тривалість проходження одиниці транспортного потоку, що у загальному випадку може бути позитивним і негативним числом.

Проте у розрахунковому відношенні більш ефективними виявилися спеціальні, так називані комбінаторні алгоритми, аналізовані в даному розділі. У цих алгоритмах вихідні дані подані у виді списків дуг, тобто для кожної вершини дається список тих дуг (i, j), що інцидентні їй, разом із їхніми довжинами . Оцінки числа операцій алгоритмів приведені в табл. 3.Спочатку роздивимося основні алгоритми рішення задачі пошуку найкоротшого шляху між двома вершинами: 1 (джерело) і п (стік).

Метод Белмана. Скористаємося рівнянням Белмана для визначення найкоротшого шляху між вершинами 1 і n. Визначимо  - довжину найкоротшого шляху з вихідної вершини 1 у вершину j за умови, що вершини пронумеровані числами 1, 2, 3,..., п. Шлях найкоротшої довжини знаходиться з такого рівняння:

j=2,3,…,n;u_j=0

 

Крок 1. Знайти, для котрого = , якщо uk =+ - стіп; не існує шляху у вершини, що залишилася в S. Положимо S = S - {k}. Якщо S =  - стіп; обчислення закінчені.

Крок 2. Покласти  = min{} для всіх (k, j)  Е. Перейти до кроку 1.

Тоді  та . Для дуг k = 2, 3,...,n- 1 необхідно 0 (n) ітерацій. Кожна ітерація потребує 0 (m) операцій. Отже, метод потребує 0 (т п) операцій. Зауважимо, що для плоских графів потрібно 0 () операцій.

Будемо шукати найкоротші шляхи між вершинами в мережі з позитивними і негативними довжинами дуг, починаючи з вершини 1. Очевидно, буде потрібно 0 (тп) обчислень для того, щоб знайти найкоротші шляхи з вершини 1 у всі інші вершини. Замінимо довжину кожної дуги  на . Довжина шляху з i у j, визначена за значеннями , відрізняється від щирої довжини на константу . Отже, рішення задачі визначення всіх найкоротших пар шляхів із довжинами  є рішенням вихідної задачі. Оскільки тепер усі довжини дуг невід’ємних, можна застосувати метод Дийкстра для кожній з останніх п - 1 задач. У результаті вся задача буде вирішена за 0 () операцій, а для плоского графа за 0 () операцій. У [18] запропонований алгоритм для невід’ємних дуг мережі G (V, Е), у якому очікуване число обчислень дорівнює 0 ().

Нехай мережа G (V, Е) складається з неорієнтованих дуг і ми хочемо знайти найкоротший шлях між двома визначеними вершинами. Якщо всі довжини дуг невід’ємних, те можна замінити кожну неорієнтованих дугу парою симетричних орієнтованих дуг (i,j) і (j, i) із і застосувати будь-який із зазначених вище алгоритмів.

2.2           Узагальнені задачі про потоки

У розглянутих вище задачах передбачалося, що однорідний транспортний потік, що виходить із дуги (i, j)  Е, дорівнює потокові, що входить у цю дугу. Проте в ряді практичних ситуацій це припущення не виконується. Наприклад, при транспортуванні вантажів може відбуватися їхнє псування або втрата (наприклад, вивітрювання), що призводить до зменшення потоку під час його переміщення по дузі (i, j) транспортної мережі G (V, Е).

Будемо вважати, що якщо в будь-яку дугу (i, j)  Е з вершини i виходить  одиниць потоку, то з цієї дуги у вершину j увійде одиниць потоку. Розмір  має назву коефіцієнта підсилення або просто посиленням дуги (i, j).

Якщо  > 1, то потік по дузі (i, j) посилюється. Якщо = 1, то потік по дузі (i, j) залишається незмінним. Якщо 0 < < 1, то потік по дузі (i, j) скорочується (частково поглинається). Якщо = 0, то потік по дузі (i, j) губиться (поглинається цілком) і дана дуга звичайно розглядається як стік. Якщо < 0, то для кожної одиниці потоку, що входить у вершину i, повинно потрапити  одиниць потоку у вершину j, тобто в даному випадку дуга (i, j) може розглядатися яка влаштувала попит на потік.

2.3           Багатопродуктові потоки

Розмір потоку k-го продукту по дузі (i,j) Е визначимо через,  а вартість переміщення одиниці k-го продукту по дузі (i, j) - через  (k = 1,2,...,K).

Кожний із продуктів k має одне джерело  V і один стік  V, причому попит k-го продукту  у рядку  дорівнює пропозиції цього ж продукту в джерелі .

Задача про багатопродуктовий потік мінімальної вартості складається в тому, щоб знайти такі значення (i,j) Е, k = 1, 2,…К щоб

Задано спрямованого графа без петель G (K, А), де K - множина вершин, А - множина дуг, що складається з  підграфів пов'язаних загальними вершинами .

Потоки не є однорідними: на графі може існувати  видів повторного потоку і  типів первинного потоку. При цьому повторний потік може протікати від джерел до стоків будь-якими припустимими шляхами, тоді як кожний тип первинного потоку може існувати лише на визначеному підграфі  (відповідно до цого всі типи первинного потоку 1,...,  розділені на групи , М = невзаємозамінює типів).

Первинний потік  m-го типу по дузі (i, j)  , М =, складається з потоків «активної»  і «пасивної»  складових:

Розмір активної складового первинного потоку визначає розмір повторного потоку  по цій дузі, наявність пасивної складової обумовлена вимогою зберігання первинного потоку m-го виду.

Залежність між первинним і повторним потоками виражається в тому. що розмір повторного потоку  по якийсь дузі (i, j) пропорційна активним складових різноманітних типів первинного потоку, що протікають по дузі:

На відміну від задачі (5) - (11) припускається лише часткове перетворення потоків різноманітних типів продуктів і без їхнього посилення або ослаблення: відмінні від нуля і рівні одиниці лише ті з коефіцієнтів перетворення, що зв'язують активну і пасивну складові того самого типу первинного потоку. Ці складові можуть переходити друг у друга у вершинах , наприклад на початку і по закінченні робіт (зокрема, при навантаженні і розвантаженні потік порожніх транспортних засобів перетворюється в потік навантажених і навпаки) або при зміні одних ресурсів на інші (зокрема, при перевалюванні вантажів із транспортних засобів одного типу на транспортні засоби іншого типу).

 (3)

(де - корисний ефект від переміщення одиниці повторного потоку і витрати на переміщення одиниці первинного потоку m-ого типу  по дугах (i, j) A графа) при виконанні звичайних умов зберігання кожного з потоків, що проходять через вершину i графа:

 (6)

де , - попит і пропозиції для первинного і повторного потоків Ks₊^I, Ks-I, Ks₊^II і Ks-II - джерела і стоки для первинного і повторного потоків відповідно, а також обмежень на пропускну спроможність дуг

 (8)

 (9)

 (10)

. (11)

Розглянута задача може бути зведена до традиційних задач про потоки в мережах лише в деяких окремих випадках. Одним із найбільше істотних умов для цього є виконання вимоги, щоб перетворення активної складової в пасивну й обернено відбувалося тільки в джерелах і стоках для повторного потоку і не припускалася передача повторного потоку від ресурсів одного типу до ресурсів іншого типу, тобто щоб розмір активної складового первинного потоку (потоку ресурсів), що підтримує повторний потік від джерела до стоку, оставалась постоянной

У цьому випадку умови зберігання повторного потоку еквівалентні умовам зберігання активної складового первинного потоку, що дає можливість не розглядати повторний потік у явному виді. Якщо в мережі існує лише один тип первинного потоку , задача(3)-(11) зводиться до звичайної задачі про двохпродуктовий потік  і :

У ідеальному випадку, коли пасивна складова  відсутніх (тобто первинний потік цілком використовується для підтримки повторного потоку) або може бути задана апріорно, аналізована задача ще більш спрощується і переходить у задачу про однопродуктовий потік  мінімальної вартості.

Задано спрямованого графа G (К, А), що подає єдину транспортну мережу і складається з декількох подграфов окремих видів, що подають транспортні мережі окремих видів транспорту транспорту (рис. 2.2). Дуги графа подають можливі шляхи переміщення транспортних засобів, а вершини - пункти i відправлення і призначення вантажів, пункти i перевалювання вантажів і транзитні пункти .

Перевезення вантажів із пункту відправлення в пункт призначення можуть здійснюватися різноманітними видами транспорту з послідовним перевалюванням у пунктах i з одного виду транспорту на інший. При цьому загальний обсяг вантажів, що перевалюються з одних видів транспорту на інші, не перевищує пропускної спроможності пункту перевалювання  в даний період

 (12)

де = , (13)

У перевезенні вантажів між пунктами i і j M-м видом транспорту можуть брати участь різноманітні типи транспортних засобів т моючих різну вантажопідіймальність bтп:

 (14)

де  - кількість вантажів п-го роду, перевезених M-м видом транспорту в t-й період,  - кількість транспортних засобів m-го виду, що перевозять вантажі n-го роду в t-й період.

Потік  транспортних засобів m-го типу по дузі ділиться па потік навантажених  і порожніх  транспортних засобів

 (15)

Кількість транспортних засобів m-го типу , що починають або закінчують роботу в різноманітних вузлах i транспортної мережі  у період t, дорівнює плановому обсягу запровадження і висновка їх з експлуатації в аналізованому плановому періоді :

 (16)

Для кожного вузла i транспортної мережі  виконуються умови зберігання минущого через нього потоку вантажів у кожний період часу t (t = ):

 (17)

- для пунктів відправлення-призначення ,загальних для транспортних мереж декількох видів транспорту ( - обсяг вивозу надпланових вантажів M-м видом транспорту в періоді t);

- для інших пунктів  відправлення-призначення;

 (19)

- для пунктів , що є загальними для транспортних мереж декількох видів транспорту, але не є пунктами відправлення-призначення вантажів;

 (20)

- для інших вузлів  транспортної мережі.

Аналоггічною уявою для кожного вузла i виконуються умови зберігання потоків навантажених і порожніх транспортних засобів кожного типу т , М = у період t (t = ):

, (21)

для пунктів , у яких відбувається навантаження-розаантаження ( кількість транспортних засобів із вантажем n-го роду, що завантажуються і що розвантажуються в період t у пункті i);

 (22)

для інших пунктів ;

. (23)

- для пунктів - відправлення-призначення вантажів, у яких транспортні засоби вводяться і виводяться з експлуатації (  - кількості транспортних засобів m-го типу, що спрямовуються в резерв і надходять із резерву, - кількість арендованих транспортних засобів);

 (24)

-для інших пунктів , у яких відбувається навантаження-розаантаження;

 (25)

- для інших пунктів  і запровадження і виводу транспортних засобів з експлуатації;

 (26)

ля інших пунктів транспортної мережі.

Загальна кількість вантажів n-го роду ( ), що відправляються з різноманітних пунктів або що доставляються в них, не перевищує необхідних обсягів відправлення-доставки вантажів  у заданому періоді .

 (27)

де  - кількість вантажів, що відправляються і що доставляються M-м видом транспорту.

Кількість вантажів, що зберігаються на складах у пункті (без обмежень будемо припускати, що ) у кожний період часу t, не перевищує загальної ємності складів у даний період

 (28)

де  - кількість вантажів n-го роду ввезених на склади і вивезених із них M-м видом транспорту в період ,  - ємність складів у пункті i у період t,  - можливе збільшення ємності складів (наприклад, шляхом оренди додаткових помешкань) у період t, - початкова кількість вантажів n-го роду та складах.

 (29)

 (30)

 (31)

 (32)

 (33)

де  - загальна кількість ресурсів, виділених для транспортних засобів m-го типу (наприклад, розмір бюджету часу),  - кількість ресурсів, що затрачаються на переміщення одиниці потоку по дузі (i, j). Всі перемінні задачі невід’ємні:      

 (34)

 (35)

де  - питомі прибутки від перевезення одиниці вантажів;  - питомі витрати на перевалювання, навантаження-розвантаження і збереження вантажів; - питомі прибутки від перевезення надпланових вантажів;  - питомі витрати на збільшення ємності складів;  - питомі витрати на переміщення й оренду транспортних засобів,  - питомі утрати від простою транспортних засобів.

2.4           Двохрівнева система моделей планування транспортних потоків

Задано графа ,що подає агреговану єдину транспортну мережу країни, що складається з агрегованих транспортних мереж  окремих видів транспорту і містить вершини  пункти відправлення-призначення, що подають, вантажів і пункти їхній перевалювання. Для кожного пункту  задані обсяги вантажів n-го роду  котрі потрібно відправити з нього або доставити у відповідний період часу, прибутки , витрати  при використані M-м видом транспорту одиниці ємності складів у пункті i прибуток  від вивозу одиниці вантажів, що були на складах у пункті i до початку планового періоду. Відомі також пропускні спроможності  ланок транспортної мережі, пропускні спроможності  пунктів перевалювання і витрати  на перевалювання одиниці вантажу з одного виду транспорту на інший. З деяких пунктів можливий вивіз надпланових вантажів (наприклад, на морському транспорті такими вантажами є вантажі іноземних фрахтувальників).

Потрібно знайти розмір агрегованого потоку вантажів по дугах графа { }, обсяги відправлення і доставки вантажів { }, { }, обсяги перевалювання вантажів із М-го виду транспорту на L-й і навпаки в кожному пункті перевалювання { }, { },обсяги відправлення надпланових вантажів { }, кількості вантажів, що спрямовуються кожним видом транспорту на склади або вивезених із складів { }, { }, і визначити частки { } і { } початкової кількості вантажів на складах у кожному пункті і загальній ємності складів, що виділяються в розпорядження кожного виду транспорту, при яких досягається максимум економічного ефекту

При цьому повинні виконуватися умови зберігання агрегованого потоку вантажів n-го роду ( ) при проходженні через вершини графа в кожний період часу t( )

 (37)

(38)

(39)

  (40)

 (41)

 (42)

 (43)

 (44)

 (45)

 (46)

де  початкової кількості вантажів п-го роду, що може бути вивезена M-м видом транспорту,

 (47)

Крім того, повинні виконуватися умови невід’ємності:

 (48)

Шляхом розкладання обмежень (41), (42), (45), (47) на окремі обмеження для кожного підграфа вихідна задача (36) - (48) зводиться до двохрівневої системи більш простих задач. Ця система складається з розв'язуваних на другому рівні задач розподілу обсягів відправлення і доставки вантажів , пропускних спроможностей пунктів перевалювання , ємностей складів  і початкової кількості вантажів у них  між різноманітними видами транспорту:

і розв'язуваних на першому рівні задач визначення агрегованых потоків вантажів по окремим підграфами , що відповідають різноманітним видам транспорту М:

2.6 Модель нижнього рівня - оптимізація транспортних потоків на транспортних мережах окремих видів транспорту

Як вже визначалося, задача нижнього рівня розпадається на  задач, що відповідають окремим видам транспорту. Для кожного виду транспорту М вирішується така задача. Потрібно максимізувати економічний ефект від перевезення вантажів М-м видом транспорту

(49)

(50)

 (51)

 (52)

 (53)

де відображаючих умови зберігання потоку вантажів кожного роду.

 (54)

 (55)

 (56)

 - обсяг перевезень вантажів n-го роду по l-му напрямку в період  транспортними засобами m-го типу, що належать підприємству (усі типи транспортних засобів т діляться на групи );

 - обсяги перевезень транспортними засобами m-го типу, орендованими в іншого підприємства р для виконання окремих перевезень і на весь період  відповідно;

 - обсяг вантажів n-го роду, що транспортне підприємство повинно перевезти по напрямку l у заданий період, часу [];

 - залишок вантажів n-го роду на l-й напрямку в період ;

 - обсяг перевезень транспортними засобами m-го типу, зданими в оренду іншому підприємству р для виконання окремих перевезень;

 - витрати бюджету часу транспортних засобів, наданих у ореду іншому підприємству р на період ;

 - позаексплуатаційні витрати бюджету часу (наприклад, на плановий ремонт), розподіл яких по період дам часу {} можна регулювати;

 - трудомісткість перевезення вантажу n-го роду по l-му напрямку в період  транспортними засобами m-го типу;

 - прибутки від перевезення одиниці вантажу;

 - експлуатаційні витрати на перевезення единиці вантажу;

 - арендна платня за перевезення лдиниці вантажу та за одинцю бютжетного часу арендованого транспортного засобу;

 - експлуатаційні витрати на одиницю бюджету времени транспортних засобів, що здаються в оренду другому пред прийняттю на перпод ;

 - втрати від невивозу вантажу n-го роду на l-ном напрямку в період (щодо обов’язкових перевезень ).

 (57)

При цьому повинні бути виконані такі обмеження.

 (58)

 (59)

 (60)

 (61)

 (62)

 (63)

 (64)

 (65)

 (66)

У результаті декомпозиції шляхом розкладання обмежень (58), (59), (62), (63) по групах типів транспортних засобів , задача (57)-(66) зводиться до двохрівневому комплексу задач меншої розмірності.

де коефіцієнти цільових функцій  характеризуютьдоцільність збільшення для j-й групи транспортних засобів що виділяється обсягу решти транспортних засобів в аренду, кількості коштів і обсягу вантажів відповідно.

2.7 Основні задачі оптимізації транспортних потоків

2.8 Математичні моделі, у яких враховується взаємозв'язок потоків

РОЗДІЛ 3 МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНОЇ СИСТЕМИ ПІДПРИЄМСТВА

3.1 Структура моделі

3.2 Математичний опис моделі

Для опису системи в цілому введемо залишкову функцію вантажопотоків - на обраному рівні як

, (67)

- вхідний вантажопотік;

- вихідний вантажопотік.

, (68)

 - щільність вантажопотоку;

- швидкість переміщення вантажу у вантажопотоку.

.

.

, (69)

де під  розуміється компонента швидкості в цьому ж напрямку.

Крім того, необхідно прийняти таке допущення, що буде справедливо співвідношення для цінового потенціалу :

, (70)

-коефіцієнт пропорційності;

Причому значення  може являти собою як ціновий потенціал, так потенціал організаційного типу.

.

, (71)

де значення  може бути заздалегідь задане у виді функції або вираження.

Рис3.2.- Залежність щільності  від координати за умови, що з=f(x4)

Рис.3.3.- Графік, що фіксує зміну швидкості вантажопотоку  в залежності від координати або шляху при заданому законі зміни в залежності від часу

.

Інший варіант рішення складається в тому, щоб задаватися простим вираженням, приміром, для  і потім знаходити рішення для  з рівняння (68).

Проте, підходом до рішення може бути таке, із рівняння (68) знаходиться значення , після чого це вираження подставляется в рівняння, що після ряду перетворень дозволяє одержати значення швидкості  реального вантажопотоку.

,

де - фазова щільність;

- імпульс вантажу в потоку.

,

де, у свою чергу - маса вантажу.

 - швидкість вантажу.

.

де  і  квадратні матриці m-ого порядку.

У досліджуваній задачі, якості вхідної поперечної перемінної приймаємо інтенсивність потоку заготівель -  після опрацювання на давильном устаткуванні. У свою чергу, у якості подовжньої перемінної, приймаємо - інтенсивність потоку під опрацювання на ротаційно-обкатаному устаткуванні.

, (72)

-інтенсивність потоку заготівель до -ой одиниці устаткування;

- комплексний показник технологічного процесу, реалізованого на встановленому устаткуванні;

- комплексний показник технічного рівня устаткування;

 і - технологічні параметри системи.

 (73)

- параметр устаткування, причому  і .

- число верстатів.

- інтенсивність вихідного потоку може бути знайдене з вираження (73 );

- число верстатів.

.

Рис. 3.7- Графік залежності продуктивності П від інтенсивності вхідного потоку  і параметра технологічної системы- s, при числі верстатів = 4 значеннях комплексних показників = 5, = 10

Рис. 3.8- Графік залежності продуктивності П від інтенсивності вхідного потоку  і числі верстатів , при значеннях = 2 і комплексних показниках = 5, = 10

3.3 Аналіз математичної моделі

Залежність розміру вантажопотоку від швидкості  буде відбита на графіку рис.3.10.

;

;

;

;

;

;

;

.

;

;

;

;

;

.

- обмеження по швидкості прямування;

- обмеження на пропускну спроможність

РОЗДІЛ 4 ПОБУДОВА ІМІТАЦІЙНОЇ МОДЕЛІ ТРАНСПОРТНОЇ СИСТЕМИ

4.1 Основні властивості середовища проектування

4.2 Побудова імітаційної моделі

Проектування моделі починаємо в такій послідовності. Попередньо виберемо основний імідж, щовідображає рівень транспортної системи А. Це буде імідж типу StratumClass_726raf_ 611, зробимо запис програмного блока в меню текст і з'єднаємо його з іміджем графічної візуалізації OSCS2D (двумірный осцилограф). З'єднання виконай з поміччю спеціальної лини зв'язку, де установимо властивості зв'язку і його параметри (прошарки), а також зазначимо що переміщаються по цих линах перемінні, див. рис.4.1.




Рис. 4.1- Встановлювані характеристики зв'язку
Для запровадження чисел, що характеризують пропускну спроможність каналу транспортної системи скористаємося іміджами Numberln (поле запровадження числа) і для візуалізації висновка чисельних даних іміджем Numberln ( поле висновка числа). Такий рівень буде відбитий іміджем StratumClass_72е2860_ 611 до якого залучені аналогічні іміджі графічної візуалізації, а також иміджа і висновка цифрової інформації.

І нарешті останній рівень включає імідж StratumClass_72f1f110_611с супутніми іміджами Status_Out і OSCSpace2D.

При цьому, програмний модуль іміджу Numberln, поле запровадження числа має форму

STRING WindowName

HANDLE HSpace

HANDLE local HObject,_HObject

FLOAT local wNotifyCode,msg,rez,_Value

STRING local str

FLOAT Value,Step

FLOAT Org,Org
if (~_Value!= ~Value)

logmessage(String(~Value))

rez:=SetControlText2d(~HSpace,~HObject,String(~Value))

_Value:= ~Value

exit()

endif
if (msg==WM_CONTROLNOTIFY)

if (wNotifyCode==768)

str:=GetControlText2d(HSpace,HObject)

Value:= Float(~str)

if (String(~Value)!=~str)

// rez:=SetControlText2d(HSpace,HObject,str)

Value:= Float(str)

endif

_Value:= ~Value

endif

exit()

endif
if (HObject == #0)
if (WindowName!= "" && (~HSpace==#0)); HSpace:= GetWindowSpace(~WindowName); endif

if (~HSpace == #0); exit(); endif
if (GetWindowProp(GetWindowName(~HSpace),"CLASSNAME")!= GetClassName(".."))

_HObject:= CreateObjectFromFile2D(~HSpace,AddSlash(GetClassDirectory(GetClassName("")))+GetClassName("")+".vdr", Org,Org,PFC_MOVEOBJECT)

endif
HObject:= GetObject2dByName(~HSpace,~_HObject,"edit")

rez:=DelGroupItem2d(~HSpace,GetObjectParent2d(~HSpace,~HObject),~HObject)
if (~HObject)

registerobject(~HSpace,~HObject,"",WM_CONTROLNOTIFY,0)

rez:=SetControlText2d(~HSpace,~HObject,String(~Value))

_Value:= ~Value

endif

endif
У свою чергу програмний модуль того ж іміджу для висновка значень Numberlend View також приобретет такий вид
SetStatusText (pos,string(value))
Загальна структура імітаційної моделі, виконана відповідно до пропозицій поділу, подана на рис.4.2.




Рис. 4.2- Загальна структура імітаційної моделі в пакеті Stratum- 2000
Основні іміджі Stratum Class, рис. 4.2., подані по вертикалі ВІДПОВІДНО до рівнів А, У,С.

З використанням запису за допомогою ідентифікаторів рівняння балансу виглядають у такий спосіб:

На рівні А, X1-X2-Y1-Y2-Y3=A1, програмний модуль у цьому випадку имеет вид

FLOAT S1,S2,P1,P2,V1,V2,A1,t
t:=1

t:=t+1

x:=1

x:=x+1

b1:=3

a:=1
P1:= -1/b1*(a*f^2)

g1:=5

V1:=g1/P1

b2:=2

f:=3
P2:= -1/b2*(a*f^2)

g2:=2

V2:=g2/P2
S1:=12

X1:=S1*P1*V1*t

S2:=30

Y1:= S2*P2*V2*t
A1:= X1+X2-Y1-Y3

У свою чергу на рівні У, за умови рівняння балансу Y3-X2+Y4-X3 програмний модуль буде мати вираз
b1:=1.5

a:=2
P1:= -1/b1*(a*x^2)

g1:=4

V1:=g1*x^3
P3:= -1/b3*(a*x^2)

b3:=2

g2:=3

V3:=g2*x^3

S1:=40

X1:=S1*P1*V1*t

S3:=23

X3:= S3*P3*V3*t

B1:=Y3-X2-X3+Y4
На останньому з рівнів -С утворюваної моделі, за умови рівнянні балансу типу X3-Y4, програмний модуль буде виглядати в такий засіб
FLOAT S1,S2,P1,P2,V1,V2,C1

b4:= 3

P4:= -1/b4*(a*x^2)

g4:=3

V4:=g4*x^3

C1:= X3-Y4

Y4:= S4*P4*V4*t
На моделі рис.4.2, позначені контактні площадки, вона служать для побудови такого рівня імітаційної моделі і здійснюють передачу перемінних на цей рівень при необхідності декількох перемінних. Отже, модель, подана на мал.1,може бути розвиті і доповнена до необхідного обсягу і рівня складності. Спроможність до розвитку і є особливістю імітаційних моделей, утворюваних у середовищі Stratum.




Рис. 4.3 Частина незалежної імітаційної моделі, рівень А
Ілюстрація роботи фрагмента імітаційної моделі,зображеного на рис.4.2, приведена на рис.4.3. а на рис.4.3, подана графічна візуалізація уявлення функцій (1,4,5), розділів., і ілюстрація залежності залишків продукції на рівні А в залежності від часу. Розглядався випадок відсутності вантажопотоків на інші рівні.




Рис. 4.4 Візуалізація результатів при роботі одночасно всієї моделі.
На рис.4.4 подана візуалізація отриманих рішень загальної моделі транспортної системи підприємства. Хибою пакета в цілому, служить відсутність ефективного автомасштабування. Тому для великих багаторівневих моделей припадає подавати результати прогону фрагментами.




Рис. 4.5 Візуалізація фрагмента результатів прогону загальної моделі
Звертає на себе увага лінійний характер зміни залишків на рівні обслуговування А,У,С и явно нелінійний характер обсягів вантажоперевезень. Це попередньо дає можливість оцінити можливість зміни залишків перевезеної продукції на складах.




Рис. 4.6 Графіки, що ілюструють роботу імітаційної моделі на однім прогоні
Модуль програми двомірного "осцилографа", службовець для візуалізації отриманих результатів призводь нижче. Модуль написаний на специфічній мові Stratum і є розробкою автора роботи.
STRING WindowName

FLOAT Height,Width

FLOAT local ret

FLOAT nosave Offset,Offset,Scale,Scale

FLOAT x,y,Control,PrintValue,PrintValue,Reset,buffer

COLORREF Color

FLOAT _enable


Установка значень змінних виконувалася у вікні, по таблиці, рис.4.7, що варіюються перемінні виділяються автоматично червоним кольором. Автоматично вказується тип змінних.
 

Рис. 4.7- Установка значень змінних
Після установки перемінних він ініціалізується на зазначеному модулі, для такого модуля процедура установки перемінних повторюється.

Ієрархію встановлених модулів Stratum покажемо на мал. 6. Вона характеризує місце модуля в структурній схемі верб відомій мірі послідовність обчислень приведеної моделі. У верхній частині знаходяться три іміджі Stratum Class_72, а потім OSCSpace 2D, що реалізують візуалізацію обчислень і останніми іміджі типу Numberlend.




Рис.4.8 Ієрархія спроектованої моделі
Ієрархію цілком відповідає структурі проекту.

4.3 Аналіз результатів прогону імітаційної моделі

Аналіз результатів прогону імітаційної моделі достатньо обсяжний і потребує дуже великих витрат часу і засобів. Тому зупинимося на найбільше цікавих із них, що мають можливий вплив на виробничий процес на аналізованому машинобудівному підприємстві.

У першу чергу роздивимося можливу залежність вантажопотоків на наявні або виникаючі виробничі запаси.

На рис. 4.9 подано графік залишків вантажу при наявності двох вантажопотоків, це відповідає нижньому рівню С прийнятої моделі.




Рис.4.9- Залишок вантажів на рівні С прийнятої моделі
Графік свідчить про лінійно залежність розміри залишку від х.

Т.ч. це характеризує той факт, що функція вартісного потенціалу при невеликих змінах мало впливає на накопичення запасів у прийняте моделі і не є керуючим чинником. Це говорить про те, що модель або повинна бути доповнена на іншому рівні або є нечуйним до зазначеного чинника.



Рис.4.10- Зміна залишку вантажу при статечній функції вартісного потенціалу, n=7
У цьому випадку, ми зштовхуємося із ситуацією, коли залишок різко зростає тільки при наявності достатньо великого шляху доставки вантажів. При менших шляхах його просто практично немає. Т.ч., використання імітації дозволило зазначити шляху зменшення залишків на проміжних складах.



Рис.4.11 Зміна функції вартісного потенціалу, при n=3
Графік, рис.11, характеризує зменшення складських запасів при визначеному виді вартісного потенціалу, що дозволяє зробити висновку про засіб скорочення запасів на проміжних складах.

Більш цікавим і актуальним є питання, як ростуть запаси згодом.

На рис.4.12 приведений графік залежності графік залежності залишку вантажу на рівні С від часу .



Рис. 4.12 Графік залежності залишків вантажу від часу на рівні С
Залежність носить сугубо лінійний характер. Це свідчить про накопичення залишків протягом часу функціонування системи. Цей результат є показовим і свідчить про необхідність керування процесом доставки і відправлення вантажів. Такий висновок є закономірним, тому що "прогон" імітаційних моделей служить в основному для основи прийняття правильних управлінських рішень як виробничого так і невиробничого характеру.

ВИСНОВКИ

В роботі проаналізовано стан досліджень в галузі транспортних систем та потоків. Приведені моделі транспортних систем різного призначення.

Проаналізовано моделі систем транспорту різного використання. Розлянуто транспортні потоки, як однопродуктові так і багатопродуктові. Проаналізовані моделі потоків. Приведені засоби оптимізації, а також звісні моделі.

Розроблено математичну модель транспортної системи підприємства з використанням теорії потенціалу. При цьому було встановлено, що:

·        Має місто факт залежності розміру вантажопотоку від цінового потенціалу;

·        Розміру вантажопотоку залежить від його щільності;

·        Встановлено вид залежності розміру вантажопотоку  від швидкості його ;

·        Встановлені вирази для обчислювання залишку вантажу на кожному з рівнів.

Спроектовано імітаційну модель транспортної системі підприємства на базі програмного пакету Stratum. На основі прогону моделі получена візуалізація, яка може бути використана при оперативному керуванні підприємством.

Встановлено характер зміни і накопичення залишків на кожному з транспортно-виробничому рівнів.

Зрівняння за фактичними значеннями залишків на рівні С показали адекватність імітаційної моделі. Відхилення не перевищували 15-20% від розрахункового значення.

Проведене зрівняння розрахункових значень залишків з фактичним показало адекватність розробленої моделі.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1 Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы математической физики. Наука. М.: 2000. 351 с.

2 Джефферсон Г., Свирлс Б. Методы математической физики. М.: Мир. 2001. 311 с.

3 Шеннон Р.Ю. Имитационное моделирование систем- искусство и наука. М.: Мир, 1998. - 237с.

4 Соломатин Н.А и др. Имитационное моделирование в оперативном управлении производством. М.: Машиностроение 1994.- 459 с.

5 Вавилов А.А. Имитационное моделирование производственных систем. Берлин. 1998. – 560с.

6 Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Советское радио.1992. – 550 с.

7 Х. Таха. Введение в исследование операций. М.: Мир. 1995. Т1. 479 с., Т2. 496 с.

8 Програмний пакет "Stratum" 2000-2001.Modeling Laboratory.РЦИ ПГТУ.

9 Резер С.М., Шкультин И.В., Ловецкий С.Е., Бузюк М.А. АСУ взаимодействием видов транспорта. М.: Транспорт, 2003.

10 Ловецкий С.Е., Меламед И.И., Плотинский Ю.М. Модели и методы решения задач маршрутизации на транспортной сети.- В кн.: Итоги науки и техники. Организация управления транспортом. М.: ВИНИТИ, 1999, т3,с.55-112.

11 Черкасский Б.В. Быстрый алгоритм построения максимального потока в сети.- М.: ВИНИТИ? 1999.

12 Моисеенко Г.Е. Декомпазиционный метод решения задачи планирования объёмов перевозок.- М.: Наука,1987.

13 Диниц Е.А. Алгоритм решения задачи о максимальном потоке в сети. М.: Машиностроение 1988.

14 Бурков В.Н., Кондратьев В.В., Молчанова В.А., Щепкин А.В. Модели и механизмы функционирования иерархических систем.- АиТ,1997.

15 Нагаев Б.В. Модель составления развозок грузов.-Ижевск: Удмуртия 1994.-320 с.

16 Мухачева Э.А. Транспортная задача на сети с дополнительными ограничениями.-Экономика и мат.методы,1995.-280 с.

17 Позамантир Э.И. Учёт неравномерности перевозок грузов при планировании транспорта. М.: Транспорт,1994.-250 с.

18 Савин В.И. Оптимизация работы автотранспорта. М.: Транспорт,1994.-280с.

19 Артынов А.П., Скалецкий В.В. Автоматизация процессов планирования и управления транспортными системами.-М.: Наука.1995.

20 Васильева Е.М., Левит Б.Ю., Лившиц В.Н., Нелинейные транспортные задачи на сетях-. М.: Финансы и статистика, 2006.-104с.