Міністерство освіти і науки України
Вінницький державний педагогічний університет
імені Михайла Коцюбинського
Інститут перспективних технологій, економіки і фундаментальних наук
Кафедра фізики
Затверджую:
Зав. каф. канд. фіз.-мат. наук,
доцент Солоненко В. І.
“_____” ____________________ 200 ___ р.
УДК: 535(075.8)
Застосування принципу можливих переміщень та принципу Даламбера до розв’язування задач
Вінниця – 2006

Зміст
Вступ
Розділ 1. Теоретичні відомості
1. 1. Принцип можливих переміщень і загальне рівняння механіки
1. 2. Принцип Даламбера
Розділ 2. Методика розв’язування задач
2. 1. Методика розв’язування задач за принципом можливих переміщень
2. 2. Методика розв’язування задач за принципом Даламбера
Розділ 3. Приклади розв’язування задач
3. 1. Практичне застосування принципу можливих переміщень до розв’язування задач
3. 2. Практичне застосування принципу Даламбера до розв’язування задач
Висновок
Список використаної літератури

Вступ
Принцип можливих переміщень і принцип Даламбера є основними принципами аналітичної механіки, які дають змогу розв’язувати великий спектр задач сучасної техніки (авіація, космонавтика, машинобудування тощо)
На відміну від принципу геометричної статики принцип можливих переміщень та принцип Даламбера є більш універсальними, оскільки можуть застосовуватись до розгляду руху невільних механічних систем.
Як відомо, закони Ньютона містять в собі все необхідне для розгляду руху будь-яких механічних систем. Але спочатку вони застосовувалися тільки для розгляду руху вільної матеріальної точки і вільного твердого тіла до тих пір, поки не була додатково сформульована аксіома зв’язків. Для розгляду руху скованих систем Даламбер запропонував спеціальний принцип, що одержав назву принцип Даламбера. Цей принцип був сформульований в термінах «втрачених» рухів.
В даний час, коли вважається справедливою аксіома зв'язків, рівняння руху скованої матеріальної точки є такими ж, як і для вільної, тільки до тих, що діють на точку активним або заданим силам додають сили реакцій зв’язків.
Сучасний вираз принципу Даламбера не відрізняється за змістом від рівнянь руху матеріальної точки, але для багатьох завдань воно зручніше. Принцип Даламбера для вільної матеріальної точки еквівалентний основному закону динаміки. Для скованої точки він еквівалентний основному закону разом з аксіомою зв’язків.

Розділ 1. Теоретичні відомості
1. 1. Принцип можливих переміщень і загальне рівняння механіки
Можливими переміщеннями матеріальної си­стеми називаються нескінченно малі переміщення точок системи, які допускаються в’язями в певний, фіксований момент часу. Мож­ливі переміщення - це уявлювані переміщення, при розгляді яких сили вважаються незмінними, нестаціонарні в’язі - «зупиненими».
На відміну від можливих переміщень дійсні переміщення не є уявлюваними, вони відповідають справжньому рухові точок системи у просторі та часі під дією сил, які, взагалі кажучи, зале­жать від часу; нестаціонарні в’язі при розгляді дійсних переміщень вважаються незупинними. Отже, при розгляді дійсних пере­міщень час не фіксується.
Надалі дійсне переміщення точки ми позначимо через , а мож­ливе – через .
Відомо, що нескінченно мала зміна функції, яка відбувається внаслідок зміни аргументу, є диференціалом цієї функції; коли ж зміна функції відбувається внаслідок зміни виду самої функції, то така зміна називається варіацією функції. Отже, дійсне перемі­щення  можна розглядати як диференціал функції , а можливе  - як варіацію цієї функції.
Проекції можливого переміщення на координатні осі позначимо через
.
Робота  сили  па можливому переміщенні  дорівнює:
.
Через те що при розгляді можливих переміщень час фіксують, то .
Очевидно, що дійсне переміщення матеріальна система у кож­ному випадку має тільки одне, а можливих може мати кілька або навіть безліч. При стаціонарних в’язях дійсне переміщення можна розглядати як одне з можливих переміщень. При нестаціонарних в’язях дійсні і можливі переміщення відрізняються.
Так, наприклад, якщо розглядати переміщення кільця, яке може ковзати по рухомому дроту, то дійсним перемі­щенням цього кільця буде вектор , а одним з можливих перемі­щень - вектор . Справді, можливе переміщення за означенням - і це уявлюване переміщення, яке відбувається при «зупиненій» в’язі. Через те в даному випадку можливе переміщення буде виражене нескінченно малим вектором , напрямленим по дотичній до дроту в початковому його положенні (положення І). Але за нескінченно малий проміжок часу дріт переміститься в просторі з положення І в положення ІІ. Крім того, кільце переміститься по дроту і з положення  перейде в положення . Тому дійсне переміщення . буде виражене нескінченно малим вектором .
Ідеальними в’язями називаються в’язі, сума робіт реакцій яких на будь-якому можливому переміщенні матеріальної системи дорівнює нулеві.
Відзначимо, що з великим ступенем точності в’язі, які в багатьох випадках зустрічаються на практиці, можна вважати ідеальними. Наприклад, в’язі з добре змащеними або відполірованими поверхнями без великої помилки можна розглядати як ідеальні.
Ідеальними в’язями також є абсолютно гладенькі лінії (напрямні), ідеальні шарніри, підшипники, підп’ятники, абсолютно тверді стержні, нерозтяжні абсолютно гнучкі нитки, абсолютно шорсткі поверхні, коли по них котяться тверді тіла без ковзання. Крім того, ідеальними в’язями можна вважати ремені і канати, перекинуті через шківи і блоки, коли вони не чинять опору згину при намотуванні на шківи і блоки, не ковзають по їх поверхнях та не розтягуються.
Якщо через  позначити рівнодійну реакцій в’язей, прикладених до тої точки системи, а через  - проекції цієї сили на координатні осі, то умову існування ідеальних в’язей можна подати так:
.
Принцип можливих переміщень полягає в тому, що для рівнова­ги матеріальної системи з ідеальними в’язями необхідно і достат­ньо, щоб сума робіт усіх заданих сил, прикладених до точок систе­ми, на будь-якому можливому її переміщенні дорівнювала нулеві:

тут  - задані сили, що діють на точки матеріальної системи.
Іноді написане вище рівняння називають рівнянням ро­біт. Таких рівнянь можна скласти стільки, скільки матеріальна система має незалежних між собою систем можливих переміщень.
Застосування принципу можливих переміщень дає змогу виклю­чити з розгляду реакції ідеальних в’язей, бо сума їх робіт на мож­ливих переміщеннях системи дорівнює нулеві.
Застосування принципу можливих переміщень можна поширити також на випадок наявності неідеальних в'язей і на випадок руху матеріальної системи.
Щоб мати змогу застосувати принцип можливих переміщень у випадку наявності сил тертя (випадок неідеальних в’язей), до­сить перевести ці сили в розряд заданих сил, так що в рівнянні робіт сила  буде рівнодійною всіх заданих сил і сил тертя, прикладених до тої точки системи.
При застосуванні принципу можливих переміщень у випадку руху матеріальної системи слід згідно з принципом Даламбера до заданих сил і сил тертя  приєднати сили інерції . У цьому випадку принцип можливих переміщень можна виразити так:

або

Отже, у випадку руху матеріальної системи з ідеальними в'я­зями сума робіт усіх заданих сил і сил інерції на довільному мож­ливому переміщенні дорівнює нулеві.
Це рівняння являє собою поєднання принципу можливих пере­міщень з принципом Даламбера і називається загальним рів­нянням механіки. Ця назва вказує на універсальність рів­няння, яке дає найзагальніший метод розв'язування задач про рух невільної матеріальної системи.
Принцип можливих переміщень дуже зручно застосовувати при вивченні рівноваги або руху системи тіл з ідеальними в’язями, бо при цьому виключаються з розрахунків реакції цих в’язей - внутрішні сили.
При розв’язуванні задач із застосуванням принципу можливих переміщень слід у кожному окремому випадку встановити, скільки степенів вільності має розглядувана матеріальна система, оскільки кількість незалежних між собою можливих переміщень  точок системи дорівнює кількості її степенів вільності.
Щоб визначити зв'язок між залежними можливими перемі­щеннями, які входять у загальне рівняння механіки, слід кори­стуватися кінематичними міркуваннями. Наприклад, коли розглядаються можливі переміщення кінців незмінюваного відрізка, то ці переміщення пов’язані між собою на підставі теореми: проекції можливих переміщень кінців незмінюваного відрізка на напрям цього відрізка рівні між собою.
Якщо вивчається матеріальна система, що складається з твердих тіл, частина яких або всі перебувають у плоскопаралельному русі, то для знаходження залежності між можливими переміщен­нями окремих точок цих тіл можна в кожний даний момент роз­глядати цей рух як обертальний рух навколо миттєвого центра швидкостей і скористатися теоремою: можливі переміщення двох точок твердого тіла, яке перебуває у плоскопаралельному русі, відносяться, як їх віддалі від миттєвого центра швидкостей. При цьому можливе переміщення кожної з точок тіла напрямлене нор­мально до прямої, яка сполучає дану точку з миттєвим центром швидкостей, в сторону миттєвого обертання.
Іноді при розв'язуванні задач буває зручно записувати прин­цип можливих переміщень у координатній формі:

Загальне рівняння механіки в координатній формі записується так:

1. 2. Принцип Даламбера
При вивченні руху невільної матеріальної точки застосовується принцип Даламбера. Цей принцип дає можливість формально розглядати рівняння динаміки, як рівняння статики.
Цей принцип, який ми тут викладемо для вільної матеріальної точки і для точки, рухомої по поверхні або по кривій, застосовний до будь-якого завдання динаміки. Він дозволить нам підвести підсумок всієї теорії руху точки.
Принцип Даламбера можна сформулювати так:
Задані сили, прикладені до матеріальної точки, і реакції в’язей зрівноважуються силою інерції.
Цей принцип у вигляді рівняння записується так:

де  - рівнодійна всіх заданих сил, прикладених до матеріальної точки,  - рівнодійна реакцій в'язей, а - сила інерції.
Сила інерції дорівнює добутку маси на прискорення точки і напрямлена протилежно до напряму прискорення:

Па підставі ІІІ закону Ньютона сила інерції є протидією по від­ношенню до сили, що надає матеріальній точці прискорення , отже, сила інерції прикладена не до самої рухомої точки, а до тих тіл, що надають цій точці прискорення .
Таким чином, можна твердити, що сила інерції  є головний вектор цілком реальних сил, але рівновага, визначена рівнянням , фіктивна, бо точка прикладання сили  умовно переноситься на матеріальну точку.
У випадку, коли рух точки задано в натуральній формі, силу інерції зручно розкласти на дві складові - нормальну  і тан­генціальну :
 і ;
напрями сил  і , відповідно протилежні напрямам нормального і тангенціального прискорень матеріальної точки.
З допомогою принципу Даламбера особливо ефективно розв’я­зується пряма задача динаміки, в якій за відомим законом руху матеріальної точки треба визначити сили, що діють на неї.
Розглянемо матеріальну точку М масою т, що знаходиться під дією сил, рівнодійна яких R має проекції R_x, R_y, R_z. Рівняння руху цієї точки можуть бути написані так:

Розглядатимемо разом з векторами, які представляють додатки до точки М сили, вектор МI з проекціями  Цей вектор, чисельно рівний відношенню маси на прискорення і направлений протилежно прискоренню, називається силою інерції, хоча це жодним чином не буде силою, прикладеній до крапки. Тоді рівняння виражають так, що геометрична сума векторів MR і MI рівна нулю, або, що в кожен момент часу існує рівновага між силою інерції і силами, дійсно прикладеними до точки.
Через X, У, Z ми позначимо проекції заданих сил.
Щоб написати, що існує рівновага між силами, які діють на точку і силою інерції, досить написати, що на всіх можливих переміщеннях  допущених зв'язками, існуючими у момент t, сума робіт заданих сил (X, Y, Z) і сили інерції рівна нулю:

Слід розрізняти три випадки:
1. Вільна точка.  довільні. Якщо застосовується довільна система координат q₁, q₂, q₃, то, замінюючи q₁, q₂, q₃ варіаціями , одержимо:

де  довільні.
Підставляючи  в рівність (1) і прирівнюючи результат до нуля при довільних , одержимо рівняння руху.
2. Точка на поверхні. Нехай

є рівняння поверхні, яка для спільності передбачається рухомою. Даючи змінному  певне значення, ми бачимо, що  повинні задовольняти умові

що виражає, яке можливе переміщення допускається зв'язком існуючий в момент . Якщо виразити координати точки поверхні у функціях двох параметрів, то одержимо

і співвідношення (1) повинне мати місце, які б не були  і . Таким чином вийдуть рівняння руху.
3. Точка на кривій. Нехай

-                     рівняння кривої. Величини  повинні задовольняти дві умови

Допустимо, що координати точки кривої виражені у функції одного параметра:

Тоді найбільш загальне переміщення на кривій в положенні, яке вона займає у момент , вийде, якщо дати величині  приріст . Тому маємо:

і рівняння (1), після скорочення на множник , прийме вигляд


Розділ 2. Методика розв’язування задач
2. 1. Методика розв’язування задач за принципом можливих переміщень
При застосуванні принципу можливих переміщень до розв'я­зування конкретних задач можна рекомендувати додержувати такої послідовності дій:
1.                Визначити систему матеріальних точок або тіл, рух яких необхідно розглянути.
2.                Визначити число степенів вільності цієї системи.
3.                Визначити характер в’язей, які накладені на дану мате­ріальну систему, тобто визначити, чи є ці в'язі ідеальними, чи ні. В останньому випадку, як було вказано вище, сили тертя слід віднести до заданих сил.
4.                Якщо деякі з реакцій в'язей, які здебільшого виклю­чаються з розгляду внаслідок їх ідеальності, необхідно визначній, то в цьому випадку, мислено відкидаючи в’язь, заміняють її реак­цією і, переводячи реакцію в розряд заданих сил, застосовують принцип можливих переміщень. При цьому в’язі, реакції яких необхідно визначити, по черзі відкидають так, щоб у рівняння входила тільки одна невідома сила. Якщо необхідно визначити реакцію шарніра, то її розкладають по напрямах осей координат і після цього визначають спочатку одну складову, а потім іншу. Щоб визначити горизонтальну складову, шарнір слід замінити ротком на горизонтальній площині, а не відкидати в’язь повністю, бо реакція має ще й вертикальну складову, яка на можливому у цьому випадку горизонтальному переміщенні роботи не створює і, таким чином, буде виключена з відповідного рівняння. Після цього аналогічним способом визначають вертикальну складову, замінивши шарнір котком на вертикальній площині.
5.                Скласти схему заданих сил, прикладених до точок матеріаль­ної системи.
6.                Надати системі одного з можливих переміщень. При виборі цього переміщення, якщо система має кілька степенів вільності, слід простежити за тим, щоб з рівняння не були виключені елементи, які необхідно визначити, і щоб рівняння мало найбільш простий вигляд.
7.                Показати напрями переміщень окремих точок матеріальної системи, до яких прикладені задані сили.

8.                Визначити роботу заданих сил на відповідних можливих переміщеннях і скласти рівняння на підставі принципу можливих переміщень. Очевидно, що таких рівнянь можна скласти стільки, скільки степенів вільності має дана матеріальна система.
9.                Встановити залежність між можливими переміщеннями точок системи і визначити, таким чином, можливі переміщення всіх точок системи у функції від незалежних одне від одного можливих переміщень, виходячи з міркувань, вказаних вище.
В результаті цього виходить система рівнянь, кількість яких відповідає кількості степенів вільності матеріальної системи. Ви­ключивши з цих рівнянь незалежні одне від одного можливі переміщення внаслідок їх довільності, можна визначити шукані сили або інші величини.
2. 2. Методика розв’язування задач за принципом Даламбера
При розв’язуванні задач за допомогою принципа Даламбера слід дотримуватись такої послідовності виконання дій:
1.                Визначити систему матеріальних точок або тіл, рух яких необхідно розглянути.
2.                Визначити число степенів вільності цієї системи.
3.                Скласти схему заданих сил, прикладених до точок матеріаль­ної системи.
4.                Надати системі одного з можливих переміщень. При виборі цього переміщення, якщо система має кілька степенів вільності, слід простежити за тим, щоб з рівняння не були виключені елементи, які необхідно визначити, і щоб рівняння мало найбільш простий вигляд.
5.                Показати напрями переміщень точок матеріальної системи, до яких прикладені задані сили.
6.                Визначити роботу заданих сил на відповідних можливих переміщеннях і скласти рівняння на підставі принципу Даламбера.
7.                Встановити залежність між можливими переміщеннями точок системи і визначити, таким чином, можливі переміщення всіх точок системи у функції від незалежних одне від одного можливих переміщень.
В кінцевому випадку виходить система рівнянь, після обробки яких можна визначити шукані величини.

Розділ 3. Приклади розв’язування задач
3. 1. Практичне застосування принципу можливих переміщень до розв’язування задач
Задача 1. На маховичок колін­частого преса (рис. 1) діє пара сил з моментом М. Вісь маховичка має на кінцях гвинтову різь протилежних на­прямів з відстанню Н і проходить че­рез дві гайки, шарнірно прикріплені до двох вершин стержньового ромба з сто­роною а. Верхня вершина ромба закріп­лена нерухомо, нижня — прикріплена до горизонтальної плити преса. Визначити силу тиску преса Р на стискуваний кут при вершині ромба дорівнює 2х.
Позначимо через

швидкість поступального руху гайки, а через

кутову швидкість обертання маховичка. Тоді параметр гвинта ви­значається співвідношенням:

звідки

Якщо р=const, то . При повному оберті маховичка ( ) поступальне переміщення гайки дорівнює s = h відстані гвинта. Тоді .
Нехтуючи роботою сил тертя між гвинтом і гайками, а також між платформою і напрямними пазами, будемо вважати відповідні в'язі ідеальними. Щодо опори в точці D, то вона згідно з умовою задачі є нерухомою і її реакція роботи не виконує.
Реакцію N стискуваного предмета, яка за модулем дорівнює шуканому тискові преса Р, переведемо в розряд заданих сил. Таким чином, ми будемо розглядати рівновагу матеріальної системи (механізму преса), яка знаходиться під дією заданих сил і реакцій ідеальних в'язей - в даному випадку під дією обертального моменту М і сили N = -P.
Принцип можливих переміщень у цьому, випадку дає змогу записати:
,
де  - можливе (вертикальне) переміщення горизонтальної плити преса, а  - можливе обертальне переміщення маховичка.
Вибираючи координатну систему, як показано на рис. 1, знаходимо:
.
Очевидно, що дана матеріальна система має один степінь вільності, що відповідає, наприклад, параметрові , який цілком ви­значає стан системи. Варіюючи функції  і , дістанемо:

Тут  є можливе переміщення гайки.
Щоб знайти залежність  від , скористаємося співвідно­шенням , на підставі якого:

(  і  мають різні знаки, оскільки додатна робота моменту М викликає переміщення гайки у від’ємному напрямі осі Ох).
Підставимо тепер знайдені вирази для  і  у рівняння робіт:

або

Оскільки можливе переміщення  довільне, то

звідки

 Задача 2. Відцентровий регулятор обертається з сталою кутовою швидкістю  1/сек (рис. 2). Знайти залежність між куто­вою швидкістю регулятора і кутом  відхилення його стержнів від вертикалі, якщо муфта ваги  кг відтискається вниз пружиною з жорсткістю с кг/см, яка знаходиться при  у недеформованому стані і закріплена верхнім кінцем на осі регулятора. Вага куль дорівнює Р₂ кг; довжина кожного стержня дорівнює l см; осі підвісу стержнів віддалені від осі регулятора на а см; вагою стержнів і пружини нехтуємо.
Мислено видаляючи пружину, заміняючи її реакцію F і вва­жаючи решту в’язей ідеальними, розглянемо рух відцентрового регулятора під дією заданих сил: сил ваги  куль А і В та сили ваги  муфти, при цьому силу пружності пружини F також приєднуємо до числа заданих сил.
Вибравши координатну систему, як показано на рис. 2, впровадимо у розгляд відцентрові сили інерції I куль і складемо загальне рівняння механіки:

де  - відповідні координати точок А і С;  - можливі переміщення цих точок.
Легко бачити, що

Дана матеріальна система (регулятор) має при відсутності обертання навколо вертикальної осі (нами впроваджено відцентрові сили інерції I куль) один степінь вільності, який визначається кутом . Надаючи регуляторові можливого переміщення , діста­немо для точок А і С можливі переміщення, варіюючи координати цих точок, виражені у функції від кута :

Сили інерції визначаються за формулою:

Сила пружності пружини дорівнює:

Рівняння робіт (загальне рівняння механіки) має вигляд:

Внаслідок довільності  маємо:

звідки

Задача 3. До шарніра В шарнірного чотиристоронника  прикладена вертикальна сила R. Ланка ВС жорстко з’єднана з диском, центр якого знаходиться в точці В; до диска по дотичній прикладена горизонтальна сила  (механізм для піднімання польового колеса плуга). Стержні мають довжину:  інші дані  показані на рис. 3. Нехтуючи вагою стержнів і диска, а також тертям у шарнірах, визначити співвідношення між величинами сил R і S у показаному на рисунку положенні рівноваги.
Розглядувана матеріальна система складається з диска, жор­стко з'єднаного з стержнем ВС (цей диск з стержнем здійснюють плоский рух), і з двох стержнів СО і . Нехтуючи тертям у шарнірних з'єднаннях ланок даного механізму і враховуючи не­рухомість шарнірів О і , будемо вважати в'язі ідеальними.
Оскільки швидкості точок В і С напрямлені нормально до стерж­нів  і СО, то миттєвий центр швидкостей диска знаходиться в точці О. Тому можливі переміщення  і  точок В і А прикладання сил R і S мають напрями, відповідно нормальні до  і . Вводячи для зручності кути  і , як показано на рис. 3, на підставі принципу можливих переміщень маємо:

звідки

Оскільки шарнірний чотирикутник  має один стенінь вільності, то можливі переміщення і  залежать одне від одного. На підставі теореми про розподіл швидкостей маємо:

Таким чином,

Враховуючи, що

остаточно дістанемо

3. 2. Практичне застосування принципу Даламбера до розв’язування задач
Задача 1. Радіус кривизни в найнижчій точці дугоподібного моста (рис. 1) дорівнює . Найбільший нерухомий тягар, який може витримати середина моста дорівнює Р. Знайти, при якій швидкості v тягаря вагою I, що рухається по мосту, міст буде зруйновано. Припускаємо, що міст не деформується і що P>Q.
Розглянемо положення рухомого тягаря М в момент проходження його через середину моста. На цей тягар діють сила ваги Q і реакція моста N. Для розв’язання задачі застосуємо принцип Даламбера. В цьому випадку сила інерції І має лише нормальну складову :
.
На підставі принципу Даламбера

звідки
.
Очевидно, міст не зруйнується, якщо , тобто при

або при

Таким чином, міст зруйнується при умові:

Відзначимо, що при вгнутому профілі моста тиск на міст з боку рухомого тягаря збільшується, а у випадку опуклого профілю - зменшується. Тому, враховуючи вимоги міцності споруди, вигід­ніше будувати мости з опуклим профілем.
Задача 2. Кулька О вагою Р = 0,5 кг, що лежить на го­ризонтальному столі, прив’язана ниткою завдовжки АО = І = 1 м до нерухомої точки А (рис.). Кульці надана початкова швид­кість =2 м/сек, напрямлена в площині стола перпендикулярно до напряму нитки. Знайти швидкість кульки і натяг нитки через дві секунди після початку руху, якщо коефіцієнт тертя дорівнює k=0,1.
 
На кульку діють сила ваги Р і реакції нитки Т і стола N і F. Для розв'язання задачі застосуємо принцип Даламбера. Сила інерції I має дві складові - нормальну  і тангенціальну :
 і .
Оскільки нормальне прискорення  кульки напрямлене до точки А, то сила інерції  напрямлена в протилежний бік. Сила тертя F має напрям, протилежний швидкості v, тому тангенціальне прискорення  має напрям, протилежний напряму швидкості v. Отже, сила інерції , має напрям швидкості v.
На підставі принципу Даламбера
P+T+N+F+I=0,
або в проекціях на координатні осі:

звідки

Тангенціальне прискорення , протилежно напрямлене танген­ціальній складовій  сили інерції, тому

або

звідки

Враховуючи початкові умови (при ), знайдемо . Отже,

Таким чином, при t=2 сек., v=0,04 м/сек.. Натяг нитки в момент t=2 сек. дорівнює:

Задача 3. У кабіні підйомної машини під час піднімання зважують тіло М на пружинній вазі. Вага тіла дорівнює Р = 5 кг; натяг пружини (показання пружинної ваги) дорівнює Т=5,1 кг. Знайти прискорення кабіни.
На тіло М, розглядуване як матеріальна точка, Діють, сила ваги Р і реакція пружини Т (рис. 3). В зв'язку з тим, що за умовою задачі T>P, то рух точки М приско­рений. Отже, прискорення  напрямлене вгору. Відповідно до цього сила інерції  напрямлена вниз. Згідно з принципом Даламбера:

або

звідки

Коли б ми, не знаючи, як насправді напрямлене прискорення  точки М, напрямили його вниз, а не вгору, тобто вважали б, що рух точки М сповільнений, то з рівняння рівноваги сил Р, Т і І дістали б для  від’ємне значення. Від’ємний знак при  вказу­вав би на те, що в дійсності рух не сповільнений, а прискорений.

Висновок
Під час написання даної курсової роботи були розглянуті теоретичні засади принципу можливих переміщень та принципу Даламбера і перевірені на прикладах.
На підставі сказаного, для знаходження рівняння руху матеріальної точки за будь-яких умов досить виразити, що має місце рівновага між всіма силами, прикладеними до точки, і силою інерції. Це можна зробити методами аналітичної статики. Можна, наприклад, застосувати принцип можливих переміщень або принцип Даламбера. За допомогою цих принципів можна знаходити різні сили, які діють на тіло. Для цього потрібно розрізняти серед сил, прикладених до точки, сили задані і реакції зв'язків. При розв’язувані задач даними принципами, ми можемо використати отримані нами дані в практичних цілях, наприклад, при будівництві мостів, різних конструкцій тощо.

Список використаної літератури
1.  Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1991.
2.  Жирнов Н. И. Классическая механика: Учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1980.
3.  Путята Т. В., Фрадлін Б. Н. Методика розв’язування задач з теоретичної механіки. – К.: Радянська школа, 1955.
4.  Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механики, под ред. Яблонского. – М.: Высшая школа, 1985.
5.  Турбин Б. Теоретическая механика. – М.: Сельхоз Гиз, 1959.
6.  Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. – М.: Наука, 1976.
7.  Давыдов А. С. Квантовая механика. – М.: ГИФМЛ, 1963.
8.  Дирак П. Принципы квантовой механики. – М.: Наука, 1979.
9.  Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика: Курс теоретической физики. – М.: ГИФМЛ, 1963. – Т. III.
10.       Левич В. Г., Вдовин Ю. А., Мямлин В. А. Курс теоретической физики. – М.: ГИФМЛ, 1962. – Т. II.
11.       Месиа А. Квантовая механика. – М.: Наука, 1978. – Т. I, II.
12.       Мякишев Г. Я. Динамические и статистические закономерности в физике. – М.: Наука, 1973.
13.       Серова Ф. Г., Янкина А. А. Сборник задач по теоретической физике. – М.: Просвещение, 1979.