Курсовая Транспортная задача. Венгерский метод
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Приднестровский государственный университет им. Т. Г. Шевченко
Рыбницкий филиал
Кафедра физики математики и информатики
Курсовая работа
По дисциплине «Исследование операций»
Тема:«Транспортная задача. Венгерский метод»
Выполнил:
Студент IV курса,
специальности «ПОВТиАС»
Козлов Е.В.
Проверила:
преподаватель
Глазова Н.С.
г. Рыбница
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Классическая транспортная задача – задача о наиболее экономном плане перевозок однородного продукта или взаимозаменяемых продуктов из пунктов производства в пункты потребления, встречается чаще всего в практических приложениях линейного программирования. Линейное программирование является одним из разделов математического программирования – области математики, разрабатывающей теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями.
Огромное количество возможных вариантов перевозок затрудняет получение достаточно экономного плана эмпирическим или экспертным путем. Применение математических методов и вычислительных в планировании перевозок дает большой экономический эффект. Транспортные задачи могут быть решены симплексным методом однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его получить оптимальное решение.
В зависимости от способа представления условий транспортной задачи она может быть представлена в сетевой (схематичной) или матричной (табличной) форме. Транспортная задача может также решаться с ограничениями и без ограничений.
В данной курсовой работе будут рассматриваться математическая постановка транспортной задачи линейного программирования - венгерский метод.
ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА.
ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА, ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ, ВИДЫ МОДЕЛЕЙ.
Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.
В общей постановке транспортная задача состоит в отыскании оптимального плана перевозок некоторого однородного груза с
Различают два типа транспортных задач: но критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).
Обозначим количество груза, имеющегося на каждой из
|
|
Тогда при условии
|
мы имеем закрытую модель, а при условии
|
– открытую модель транспортной задачи.
Очевидно, в случае закрытой модели весь имеющийся в наличии груз развозится полностью, и все потребности заказчиков полностью удовлетворены; в случае же открытой модели либо все заказчики удовлетворены и при этом на некоторых базах остаются излишки груза
Так же существуют одноэтапные модели задач, где перевозка осуществляется напрямую от, например, базы или завода изготовителя к потребителю, и двухэтапные, где между ними имеется “перевалочный пункт”, например – склад.
План перевозок с указанием запасов и потребностей удобно записывать в виде следующей таблицы, называемой таблицей перевозок:
| Пункты Отправления | Пункты назначения | Запасы | |||
| | | … | | ||
| | | | … | | |
| | | | … | | |
| … | … | … | … | … | … |
| | | | … | | |
| Потребности | | | … | | или |
Условие
Очевидно, переменные
|
|
Система (2.1) содержит
Такая структура системы (2.1) позволяет легко установить ее ранг. Действительно, покажем, что совокупность неизвестных, образующих первую строку и первый столбец матрицы перевозок, можно принять в качестве базиса. При таком выборе базиса, по крайней мере, один из двух их индексов равен единице, а, следовательно, свободные неизвестные определяются условием
|
где символы
При этом легко заметить, что под символами такого суммирования объединяются только свободные неизвестные (здесь
В рассматриваемой нами системе только два уравнения, а именно первое горизонтальное и первое вертикальное, содержат более одного неизвестного из числа выбранных нами для построения базиса. Исключив из первого горизонтального уравнения базисные неизвестные
|
где символ
|
Так как для закрытой модели транспортной задачи
|
В системе (2.3) выделен указанный выше базис: базисные неизвестные из первых т уравнений образуют первый столбец матрицы перевозок, а базисные неизвестные остальных уравнений образуют первую строку матрицы перевозок без первого неизвестного
Для решения транспортной задачи необходимо кроме запасов и потребностей знать также и тарифы
Совокупность тарифов
| Пункты Отправления | Пункты назначения | Запасы | ||||||||
| | | … | | |||||||
| | | | | | … | | | | ||
| | | | ||||||||
| | | | | | … | | | | ||
| | | | ||||||||
| … | … | … | … | … | … | |||||
| | | | | | … | | | | ||
| | | | ||||||||
| Потребности | | | … | | или | |||||
Сумма всех затрат, т. е. стоимость реализации данного плана перевозок, является линейной функцией переменных
|
Требуется в области допустимых решений системы уравнений (2.1) и (2.1.1) найти решение, минимизирующее линейную функцию (2.4).
Таким образом, мы видим, что транспортная задача является задачей линейного программирования. Для ее решения применяют также симплекс-метод, но в силу специфики задачи здесь можно обойтись без симплекс-таблиц. Решение можно получить путем некоторых преобразований таблицы перевозок. Эти преобразования соответствуют переходу от одного плана перевозок к другому. Но, как и в общем случае, оптимальное решение ищется среди базисных решений. Следовательно, мы будем иметь дело только с базисными (или опорными) планами. Так как в данном случае ранг системы ограничений-уравнений равен
неизвестных являются свободными. В базисном решении свободные неизвестные равны нулю. Обычно эти нули в таблицу не вписывают, оставляя соответствующие клетки пустыми. Таким образом, в таблице перевозок, представляющей опорный план, мы имеем
Для контроля надо проверять, равна ли сумма чисел в заполненных клетках каждой строки таблицы перевозок запасу груза на соответствующей базе, а в каждом столбце — потребности заказчика [этим подтверждается, что данный план является решением системы (2.1)].
Замечание 1. Не исключаются здесь и вырожденные случаи, т. е. возможность обращения в нуль одной или нескольких базисных неизвестных. Но эти нули в отличие от нулей свободных неизвестных вписываются в соответствующую клетку, и эта клетка считается заполненной.
Замечание 2. Под величинами
. В этом случае вместо матрицы тарифов мы имеем матрицу расстояний.
