Реферат Теория устойчивости

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 11.11.2024

Введение
Одной из основных задач теории автоматического регулирования является изучение динамических процессов, происходящих в автоматических системах. Автоматические системы при нормальной эксплуатации должны поддерживать определенный режим работы объекта регулирования при действии на него многих возмущающих факторов. Такое поведение может быть достигнуто лишь в системах автоматического регулирования, обладающих устойчивостью по отношению к этим воздействиям. Устойчивость системы означает, что малое изменение входного сигнала или какого-нибудь возмущения, начальных условий или параметров не приведут к значительным отконениям выходного сигнала. Это определение раскрывает физический смысл понятия устойчивости.

Теория устойчивости, основоположниками которой являются великий русский ученый А.М. Ляпунов и великий французский ученый А.Пуанкаре, представляет собой важный раздел прикладной математики. Создателями современной теории устойчивости являются русские ученые Н.Г. Четаев, Е.А. Барбашин, Н.П. Еругин, Н.Н. Красовский.
1. Понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости по Ляпунову.

Рассмотрим задачу Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений

x’ = f ( t , x )

(1)

с начальными условиями x ( t₀) = x₀ (2)

где x = ( x₁, x₂, ... , x_n ) - n - мерный вектор; t Î I = [t₀, + ¥
[ - независимая переменная, по которой производится дифференцирование;

f ( t, x ) = ( f₁ ( t , x ) , f₂ ( t , x ) , ... , f_n ( t , x ) ) - n - мерная вектор - функция.

Комментарии к задаче Коши (1), (2). Для простоты восприятия эту задачу можно сначала трактовать как задачу Коши для скалярного дифференциального уравнения первого порядка вида x’= f ( t , x ) с начальным условием x ( t₀ ) = x₀. С целью упрощения все рисунки п. 1⁰ ,если нет специальных оговорок, приводится для случая n = 1.

          x
        0                                                     t

                               Рис.1

Так как задача теории устойчивости впервые возникла в механике, то переменную t принято интерпретировать как время, а искомую вектор-функцию x ( t ) - как движение точки в зависимости от времени в пространстве Rⁿ⁺¹ (рис.1)

Пусть задача Коши (1), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Тогда через каждую точку ( t₀, x₀) области единственности решений проходит только одна интегральная кривая. Если начальные

данные ( t₀ , x₀ ) изменяются, то изменяется и решение. Тот факт, что решение зависит от начальных данных, обозначается следующим

образом: x ( t ) =

x ( t ; t₀ , x₀ ). Изменение этого решения в данной

математической модели с изменением начальных данных ( t₀ , x₀ )

приводят к существенному изменению решения x ( t ; t₀ , x₀ ) , приводит к тому, что такой моделью нельзя пользоваться, поскольку

начальные данные ( t₀ , x₀ ) получаются из опыта, а изменения не могут быть абсолютно точными. Естественно, что в качестве математической модели пригодна лишь та задача Коши, которая устойчива к малым изменениям начальных данных.

Определим понятие устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости в смысле Ляпунова. Для этого отклоение решения x ( t ) =

x ( t ; t₀ , x₀ ) , вызванное отклонением D x₀ начального значения x₀ , будем записывать следующим образом:

| x ( t ; t₀ , x₀+ D x₀) - x ( t ) | = | x ( t ; t₀ , x₀+ D x₀) - x ( t ; t₀ , x₀) |.

Определение 1. Решение x ( t ) =

x ( t ; t₀ , x₀ ) системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если оно непрерывно по x₀ на интервале I = = [ t₀, + ¥
[ , т.е. " e > 0 $ d > 0 такое, что " D x₀

| D x₀ | £    d   Þ     | x ( t ; t₀ , x₀+ D x₀) - x ( t ) |   £   e        "   t ³   t₀.

Если, кроме того, отклонение решения x ( t ) стремится к нулю при t ®     + ¥
    для достаточно малых   D x₀ , т.е. $   D   > 0 "   D x₀.

| D x₀ | £ D Þ | x ( t ; t₀ , x₀+ D x₀) - x ( t ) | ® 0 , t ® + ¥
. (3)

то решение x ( t ) системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении (или асимптотически устойчивым).

Аналогично определяются различные типы устойчивости решения в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 1. 1) Геометрически устойчивость по Ляпунову решение х ( t ) можно интерпритировать следующим образом ( рис.1 ) : все решения x ( t ; t₀ , x₀+ D x₀) , близкие в начальный момент t₀ к решению x ( t ) (т.е. начинающиеся в пределах d - трубки ) , не выходят за пределы e - трубки при всех значениях t ³ t₀ .

          x
        0                                                     t

                               Рис.2

2) Асимптотическая устойчивость есть устойчивость с дополнительным условием (3) : любое решение x₁ ( t ) , начинающееся в момент t₀ в D - трубке, с течением времени неограниченно приближается к решению x ( t ) (рис.2). Трубка радиуса D называется областью притяжения решения x ( t ). Решение x₂ ( t ), начинающееся при t = t₀ за пределами области притяжения, но в пределах d - трубки, не покидает e - трубку, хотя может и не приближаться к решению x(t).

Определение 2. Решение x ( t ) = x ( t ; t₀ , x₀ ) системы (1) называется неустойчивып по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчивым), если оно не является устойчивым в положительном направлении.

Аналогично определяется неустойчивость в отрицательном направлении.

Комментарий к определению 2. Геометрически неустойчивость по Ляпунову означает, что среди решений, близких в начальный момент t₀ к решению х ( t ) , найдется хотя бы одно, которое в некоторый момент t₁ ( свой для каждого такого решения) выйдет за пределы e - трубки (рис.3).

Приведем примеры из механики, иллюстрирующие определения различных типов устойчивости для одномерного случая, т.е. n = 1.

Рассмотрим маятник, состоящий из точечной массы m, укрепленной на невесомом стержне длиной l (рис.4). Выведем маятник из состояния I, отклонив стержень на угол a ; тогда, как известно из опыта, он будет стремиться занять вновь положение I. Если пренебречь сопротивлением окружающей среды, то маятник будет колебаться возле положения I сколь угодно долго с амплитудой, равной начальному отклонению, - это модель устойчивого положения равновесия. Если же учитывать сопротивление окружающей среды, то амплитуда колебаний маятника будет уменьшаться и в итоге он снова займет положение I - это модель асимптотически устойчивого положения равновесия. Если маятник находится в положении II, то малейшее его смещение приведет к удалению маятника от состояния II - это модель не устойчивого положения равновесия.

          x
        0                                                     t

                               Рис.3                                                                  Рис.4

Исследование устойчивости произвольного решения x ( t ) системы (1) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения некоторой преобразованной системы. Действительно, в системе (1) произведем подстановку y ( t ) = x - x (t). Тогда получим систему

y’ = F ( t, y ). (4)

где F ( t , y ) = f ( t , y ( t ) + x ( t ) ) - f ( t , x ( t ) ) , F (t, 0) º 0 " t ³ t₀.

Решению x ( t ) системы (1) соответствует нулевое решение y (t) º 0 системы (4).

В дальнейшем будем предполагать, что система (1) имеет нулевое решение, т.е. f ( t , 0 ) = 0 " t ³ t₀, и ограгничимся исследованием устойчивости нулевого решения. Переформулируем определения различных типов устойчивости для нулевого решения x ( t ) º 0 системы (1).

Определение 3. Нулевое решение x ( t ) º 0 системы (1) называется устойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или устойчивым), если " e > 0 $ d = d ( e ) > 0 такое, что " x₀

| D x₀ | £ d Þ | x ( t ; t₀ , x₀) | £ e " t ³ t₀.

Если кроме того,

$ D > 0 " x₀ | D x₀ | £ D Þ | x ( t ; t₀ , x₀) | ® 0 , t ® + ¥
,

то решение x ( t ) º 0 системы (1) называется асимптотически устойчивым в положительном направлении ( или асимптотически устойчивым ) .

Определение 4. Нулевое решение x ( t ) º 0 системы (1) называется неустойчивым по Ляпунову в положительном направлении (или неустойчиво), если оно не является устойчивым в положительном направлении, т.е.

$ e > 0 $ t₁ > t₀ " d > 0 x₀ ¹ 0 | x₀ | £ d Þ | x ( t ; t₀ , x₀) | > e .

Геометрическая интерпритация устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевого решения x ( t ) º 0 системы (1) дана соответственно на рис.5-7.

      x
                                                          t

     0
Рис.5

      x
                                                          t

     0
Рис.6

      x
                                                          t

     0
Рис.7

2. Устойчивость решения автономной системы. Устойчивость решения системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной (или стационарной, или консервативной, или динамической), если независимая переменная не входит явно в систему уравнений.

Нормальную автономную систему n - го порядка можно записать в векторной форме :

dx / dt = f ( x ). (5)

Рассмотрим задачу Коши для системы (5) с начальными условиями (2). В дальнейшем предполагаем, что задача Коши (5), (2) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности.

Пусть x = x ( t ) - есть решение системы (5). Направленная кривая g , которую можно параметрически задать в виде x_i = x_i ( t ) ( i = 1, ... , n ), называется траекторией (фазовым графиком) системы (5) или траекторией решения x = x ( t ). Пространство Rⁿ с координатами ( x₁ , ... , x_n ), в котором расположены траектории системы (5), называется фазовым пространством автономной системы (5). Известно, что интегральные кривые системы (5) можно параметрически задать в виде t = t , x₁ = x₁ ( t ), ... , x_n = x_n ( t ). Следовательно, интегральная кривая принадлежит пространству Rⁿ⁺¹ с координатами ( t , x₁, x₂ , ... , x_n ) , а траектория является проекцией интегральной кривой на пространство Rⁿ параллельно оси t. Проиллюстрируем это для случая n = 2 , т.е. когда Rⁿ⁺¹ - трехмерное пространство, а фазовое пространство Rⁿ - двумерная плоскость. На рис.8,а изображена интегральная кривая, заданная параметрическими уравнениями t = t, x₁ = x₁ ( t ) , x₂ = x₂( t ), на рис.8,б - ее проекция на плоскость, т.е. траектория, заданная параметрическими уравнениями x₁ = x₁ ( t ) , x₂ = x₂( t ). Стрелкой указано направление возрастания параметра t.

                              x₂x₂


                        0                                                                  t                      0                 x₁
            x₁

                                    а)                                             Рис.8                          б)

Определение 5. Точка ( a₁, a₂ , ... , a_n ) называется точкой покоя (положением равновесия) автономной системы (5), если правые части f₁ , f₂ , ... , f_n системы (5) обращаются в этой точке в нуль, т.е. f (a) = 0,где a = ( a₁, a₂ , ... , a_n ) , 0 = ( 0 , 0 , ... , 0 ) .

Если ( a₁ , ... , a_n ) - точка покоя, то система (5) имеет постоянное решение x ( t ) = a. Как известно, исследование устойчивости любого, а значит, и постоянного решения a можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения. Поэтому далее будем считать, что система (5) имеет нулевое решение x ( t ) º 0 , т.е. f ( 0 ) = 0, и точка покоя совпадает с началом координат фазового пространства Rⁿ. В пространстве Rⁿ⁺¹ точке покоя соответствует нулевое решение. Это изображено на рис.8 для случая n = 2.

Таким образом, устойчивость нулевого решения системы (5) означает устойчивость начала координат фазового пространства системы (5), и наоборот.

Дадим геометрическую интерпретацию устойчивого, асимптотически устойчивого и неустойчивого начала плоскости, т.е. когда n = 2. Для этого следует спроектировать аналоги рис.5-7 в двумерном случае на фазовую плоскость R², причем проекциями e - трубки и d - трубки являются окружности с радиусами e и d . Начало x = 0 устойчиво, если все траектории, начинающиеся в пределах d - окружности, не покидают e - окружность " t ³ t₀ (рис.9) ; асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и все траектории, начинающиеся в области притяжения D , стремятся к началу (рис.10) ; неустойчиво, если для любой e - окружности и всех d > 0 существует хотя бы одна траектория, покидающая ее (рис.11).

Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, имеющая вид

dx / dt = A x, (6)

где A - постоянная матрица размера n ´ n , является частным случаем системы (5). Следовательно, для этой системы справедливы все сделанные выше утверждения об автономных системах.

x₂

0 x₁
Рис.9

x₂

0 x₁
Рис.10

x₂

0 x₁
Рис.11

3. Простейшие типы точек покоя.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений

   æ dx / dt = P ( x , y ),

   í                                                                                                                            (A)

   î dy / dt = Q ( x , y ).
Точка ( x₀, y₀ ) называется точкой покоя или особой точкой системы (A), если P ( x₀ , y₀ ) = 0 , Q ( x₀ , y₀ ) = 0.

Рассмотрим систему

   æ dx / dt = a₁₁ x + a₁₂ y,

   í                                                                                                                            (7)

   î dy / dt = a₂₁ x + a₂₂ y.
где a_ij ( i , j = 1 , 2 ) - постоянные. Точка ( 0 , 0 ) является точкой покоя системы (7). Исследуем расположение траектории системы (7) в окрестности этой точки. Ищем решение в виде

                                   x = a ₁e ^{k t},    y =   a ₂e ^{k t}.                                                       (8)

Для определения k получаем характеристическое уравнение

                                               a₁₁- k              a₁₂

                                                                                              =   0.                                       (9)

                                               a₂₁                   a₂₂ - k
Рассмотрим возможные случаи.

I. Корни характеристического уравнения действительны и различны. Подслучаи :

1) k₁ < 0, k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁ > 0, k₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁ > 0, k₂ < 0. Точка покоя неустойчива (седло).

4) k₁ = 0, k₂ > 0. Точка покоя неустойчива.

5) k₁ = 0, k₂ < 0. Точка покоя устойчива, но не асимптотически.

II. Корни характеристического уравнения комплексные :           k₁ = p + q i, k₂ = p - q i. Подслучаи :

1) p < 0 , q ¹   0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус).

2) p > 0 , q ¹   0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус).

3) p = 0, q ¹   0. Точка покоя устойчива (центр). Асимптотической устойчивости нет.

III. Корни кратные: k₁= k₂ . Подслучаи :

1) k₁ = k₂ < 0. Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел).

2) k₁ = k₂ > 0. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел).

3) k₁ = k₂ = 0. Точка покоя неустойчива. Возможен исключительный случай, когда все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя.

Для системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами

                        dx_i            _n

= å a_{i j}x_j ( i = 1 , 2 , ... , n )

(10)

dt ⁱ⁼¹

характеристическим уравнением будет

                        a₁₁- k              a₁₂                   a₁₃...         a_1n

                        a₂₁                   a₂₂- k              a₂₃        ...         a_2n                   = 0.                (11)

                        .           .           .           .           .           .           .           .

                        a_n1                   a_n2                   a_n3        ...         a_nn- k
1) Если действительные части всех корней характеристического уравнения (11) системы (10) отрицательны, то точка покоя x_i ( t ) º   0   ( i = 1 , 2 , ... , n ) асимптотически устойчива.

2) Если действительная часть хотя бы одного корня характеристического уравнения (11) положительна, Re k _i= p _i > 0, то точка покоя x_i ( t ) º   0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) неустойчива.

3) Если характеристическое уравнение (11) имеет простые корни с нулевой действительной частью (т.е. нулевые или чисто мнимые корни ), то точка покоя x_i ( t ) º   0 ( i = 1, 2, ... n ) системы (10) устойчива, но не асимптотически.

Для системы двух линейных линейных уравнений с постоянными действительными коэфициентами

      .

   æ x = a₁₁ x + a₁₂ y,

   í   .                                                                                                                         (12)

   î y = a₂₁ x + a₂₂ y
характеристическое уравнение (9) приводится к виду

k²+ a₁ k + a₂ = 0.

1) Если a₁ > 0 , a₂ > 0, то нулевое решение системы (12) асимптотически устойчиво.

2) Если а₁ > 0 , a₂ = 0, или a₁ = 0 , a₂ > 0 , то нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.

3) Во всех остальных случаях нулевое решение неустойчиво; однако при a₁ = a₂ = 0 возможен исключительный случай, когда нулевое решение устойчиво, но не асимптотически.
4. Критерий устойчивости Михайлова.

Частотные критерии устойчивости получили наиболее широкое практическое применение, так как, во-первых, они позволяют судить об устойчивости замкнутой системы по более простой передаточной функции системы W ( s ) ; во-вторых, анализ устойчивости можно выполнять и по экспериментально определенным частотным характеристикам; в-третьих, с помощью частотных характеристик можно судить и о качестве переходных процессов в системе.

А.В. Михайлов первым предложил использовать развитые в радиотехнике Найквистом частотные методы для анализа устойчивости линейных систем регулирования. Сформулированным им в 1938 г. критерий устойчивости назвали его именем. Рассмотрим существо этого критерия.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

            D ( l   ) =    l   ⁿ + a₁   l   ^n-1 + a₂   l   ^n-2 + ... + a_n = 0.                (13)

Зная его корни l   ₁ , l   ₂ , ... , l   _n , характеристический многочлен для уравнения (13) запишем в виде

            D ( l   ) = ( l - l   ₁ ) ( l - l   ₂ ) ... ( l - l   _n ).                                 (14)

                      Im                                        Im
                        0         Re                              0                            Re
                        а)                                            б)

Рис.12. Векторное изображение сомно-жителей характерис-тического уравнения замкнутой системы на плоскости :

а - для двух корней l   и l _i ;

б - для четырех корней   l ₁ , l ‘₁ , l ₂ , l ‘₂
Графически каждый комплексный корень l    можно представить точкой на плоскости. Поэтому, в свою очередь, каждый из сомножителей уравнения (14) можно представить в виде разности двух векторов ( l - l   _i ), как это показано на рис.12,а. Положим теперь, что   l    = j w    ; тогда определяющей является точка w   на мнимой оси (рис.12,б). При изменении   w    от - ¥    до + ¥    векторы j w - l    ₁ и j   w    - l   ‘₁   комплексных корней l     и    l   ‘₁ повернуться против часовой стрелки, и приращение их аргумента равно + p   , а векторы   j   w    - l   ₂   и j   w    - l   ‘₂ повернутся по часовой стрелке, и приращение их аргумента равно - p   . Таким образом, приращение аргумента   arg( j   w    - l   _i ) для корня характеристического уравнения l   _i, находящегося в левой полуплоскости, составит +   p   , а для корня, находящегося в правой полуплоскости, -   p   . Приращение результирующего аргумента D    arg D( j w   ) равно сумме приращений аргументов его отдельных сомножителей. Если сре1ди n корней характеристического уравнения m лежит в правой полуплоскости, то приращение аргумента составит

D    arg D( j w   ) = ( n - m ) p   - m   p       = ( n - 2m ) p   .                     (15)

^-^¥^<^w^<^¥         ^{для левой        для правой}

                           ^{полуплоскости    полуплоскости}

Отметим теперь, что действительная часть многочлена

D ( j w   ) = ( j w   )ⁿ + a₁ ( j w   )^n-1 + a₂( j w   )^n-2 + ... + a_n                      (16)

содержит лишь четные степени   w   , а мнимая его часть - только нечетные, поэтому

                                   arg D ( j w   ) = - arg D ( -j w   ),                                         (17)

и можно рассматривать изменение частоты только на интервале   w   от 0 до   ¥   . В этом случае приращение аргумента годографа характеристического многочлена

                        D    arg D( j w   ) = ( n - 2m ) p / 2 .                                             (18)

⁰^£^w^<^¥

Если система устойчива, то параметр m = 0, и из условия (18) следует, что приращение аргумента

                        D    arg D( j w   ) =   n   p / 2 .                                                        (19)

⁰^£^w^<^¥

На основании полученного выражения сформулируем частотный критерий устойчивости Михайлова: для того чтобы замкнутая система автоматического регулирования была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф характеристического многочлена в замкнутой системе (годограф Михайлова) начинался на положительной части действительной оси и проходил последовательно в положительном направлении, не попадая в начало координат, n квадрантов комплексной плоскости ( здесь n - порядок характеристического уравнения системы).

                                 j V’                                                            j V’


                                   0                                     U’                       0                                 U’
                                   а)                                                                б)

Рис.13. Примеры годографов Михайлова для различных характеристических уравнений замкнутых систем:

а - устойчивые системы при n = 1 - 6 ; б - неустойчивые системы при n = 4 и различных параметрах
Соответствующие устойчивым системам годографы Михайлова для уравнений различных порядков построены на рис. 13,а. На рис. 13,б построены годографы Михайлова для неустойчивых систем при n = 4.

Bukvasha