Выполнил:

Студент группы РФ-07-7

Коняшкин Н. С.

Преподаватель:

Юницкий С. А.
Москва, 2009

        Введение.

        Центральная предельная проблема теории вероятностей пред­ставляет собой проблему сходимости законов последовательности сумм независимых случайных величин.

  В течение более двух столетий в теории вероятностей рассматри­вался частный случай предельной проблемы — классическая пре­дельная проблема. Точная формулировка этого частного случая и его решение были получены во второй четверти текущего столе­тия. В то самое время, когда эта частная проблема получала свое решение, возникла гораздо более общая центральная предельная проблема. Эта проблема очень быстро была решена мощными мето­дами характеристических функций, методами усечения и симметризации.

Развитие проблемы.

В классической предельной проб­леме рассматриваются независимые слагаемые Х_п с конечными первыми, а в случае нормальной сходимости — и вторыми момен­тами. Эти моменты используются для изменения начала отсчета и  масштаба величин последовательных сумм _­


это делается для того, чтобы вероятность «не уходила в бесконеч­ность». Такой выбор «нормирующих» констант объясняется исклю­чительно историческими причинами; эти константы появились в результате прямого обобщения нормирующих констант в схеме Бернулли на более общий случай. Априори нет оснований наде­яться, что эти константы сохранят свое значение и в общем случае. Другой выбор констант (независимо от существования и конечно­сти первых двух моментов) может дать тот же самый результат. Таким образом,  возникает проблема  нахождения   условий,   при  которых для нормированных сумм                  имеют место закон больших чисел и нормальная сходимость. Методы решения остаются те же, что и в классическом случае, однако выкладки усложняются. В этой постановке проблемы все еще сохраняется влияние первых двух предельных теорем в схеме Бернулли. В самом деле, только этим влиянием можно объяснить то, что мы ожидаем получить, и разыскиваем лишь те предельные законы, которые совпадают либо с вырожденными,  либо с нормальными.

      Новый подход П. Леви, свободный от этого влияния, привел к созданию центральной предельной проблемы. Он поставил и решил следующую проблему: найти семейство всех возможных предельных законов нормированных сумм независимых и одина­ково распределенных случайных величин. Мы уже видели, что в тех слу­чаях, когда случайных величины имеют конечный второй момент, пре­дельный закон (с классическими нормирующими константами) нормален. Таким образом, П. Леви имел дело в первую очередь с новым случаем бесконечных вторых моментов и конечных или бесконечных первых моментов.

     Естественно сразу возник вопрос о всех возможных предельных законах нормированных сумм независимых, но не обязательно одинаково распределенных случайных величин. Однако предельная тео­рема Пуассона пока еще остается в стороне, так как она связана с последовательностями сумм, а не с последовательностями норми­рованных частных сумм. Более того, ни при каких «естественных» ограничениях закон Пуас­сона не может быть предельным законом последовательности нормированных  сумм.   Этим   и   объясняется   его   изолированное положение.   Но   последовательности                                         

                   являются частным  случаем последовательностей                  (если 

положить                                     ) ;  это  приводит  нас   к  окончательной формулировке проблемы.

     Теперь вырисовывается общее содержание центральной пре­дельной проблемы: найти предельные законы последовательно­стей сумм независимых слагаемых и найти условия сходимости к заданным законам. Однако в такой общей постановке проблема бессодержательна. В самом деле, пусть Y_n
— произвольные случайные величины; положим X_n
1
= Y_n
и Х_пк = 0п. н. при     k
> 1 и каждом n. В этом случае рассматриваемая последовательность законов пре­вратится в последовательность                   поэтому семейство предель­ных законов содержит любой закон         ;  для этого надо взять                             

       Таким образом, необходимо наложить некоторые ограничения.

Рассмотрим те задачи, которые приводят к этим «естественным» ограничениям. Общим свойством этих задач является то, что число слагаемых безгранично растет, причем предельный закон не изменяется, если опустить произвольное конечное число слагае­мых. Это свойство приводит к следующему «естественному» огра­ничению:   слагаемые   Х_пк должны быть   равномерно   бесконечно малыми, т. е.                     равномерно по k
, или, что равносильно, при каждом  ε > 0.






      Мы пришли, наконец, к следующей точной формулировке проблемы.     Центральная   предельная    проблема:

Пусть                          является суммой равномерно бесконечно малых незави-

самых  слагаемых Х_пк  и 
k_n
→∞.

1)  
 Найти семейство всевозможных предельных законов таких сумм.

2)  
Найти условия сходимости к любому заданному закону этого семейства.

      Для упрощения записи будем придерживаться следующих обозначений:

(I)                                                            суммирование           произведение     

и максимум                 берутся по всем этим значениям k
,  переход  к пределу обычно производится при n→∞, если не оговорено что-либо другое.

(II)   Функцию распределения и характеристическую функцию случайной величины X_nk
обозначим F_nk
и f_nk
; функцию распределения и характеристическую функцию                   обозначим F_n
и f
_n. Условие равномерной бесконечной малости запишется  так:                                                               при  любом  ε > 0, 
а условие независимости   приводит   к   равенству                            Сама проблема может  быть  сформулирована так:

Пусть   даны  последовательности                           произведений характеристических

функций равномерно бесконечно малых случайных величин.

1)     Найти все такие характеристических функции   f, для которых   f_n→
f
.

2)     Найти условия, при которы x
  
f_п   → к данной
f.

          Если рассматриваемые характеристические функции имеют логарифмы на                                    то мы всегда будем выбирать их главные ветви   (непрерывные    и    обращающиеся    в  нуль   при   u = 0);

тогда на                                                     

                              (равномерно)                                             (равномерно).

         Проблема была решена после того, как Финетти ввел семей­ство «безгранично делимых» законов, а Колмогоров и П. Леви нашли явное представление этих законов, первый — в случае конечных вторых моментов, а второй — в общем случае. Проблема была решена с использованием этого семейства законов усилиями Колмогорова, П. Леви, Феллера,  Бавли, Хинчина, Марцинкевича, Гнеденко и Деблина (1931—1938 гг.). Окончательные результаты получены в основном Гнеденко.

            Случай ограниченных дисперсий.  

   В качестве введения в ис­следование общей проблемы изучим независимо от нее частный «случай ограниченных дисперсий», который представляет собой «естественное» обобщение классической проблемы нормальной сходимости. При этом вычисления будут намного легче, чем в общем случае, хотя метод решения по существу одинаков.

Рассмотрим суммы                независимых случайных  величин, центрированных математическими ожиданиями, с функциями распределе­ния F_nk
и xap. функциями f_nk
и с такими конечными дисперсиями                           что                                                                              где постоянная с   не зависит от  п.

Эта модель является частным случаем центральной предельной проблемы,  поскольку при  каждом  ε > 0

                                                                                                                                    т. е. выполнены условия равномерной бесконечной малости.  Из ограниченности последовательности дисперсий сумм вытекает конечность дисперсии предельного закона.

а)  Лемма сравнения.

 При выполнении условия (С) log f_nk
(и) существует и конечен для п ≥ п_и , где п_и достаточно велико; для каждого фиксированного и
 

Доказательство. Так как                                                         то из условия (С) следует



Таким образом, для п > п_и ,  где п_и  достаточно велико,                            поэтому log  f_nk
(и) существует и конечен, а из разложения

                                                                                                               

вытекает 
Лемма  сравнения доказана.  Положим




Так как
то мы имеем






или
В последней формуле К_п есть неубывающая непрерывная слева на R
функция с                                                               определенная фор­мулой



а подынтегральная функция определяется в точке х = 0 по непре­рывности и равна там — и²/2. Лемму сравнения можно сформули­ровать в  следующем виде.

а'.  При условии (С)

Введенные выше функции всегда будут обозна­чаться ψ
и К с индексами или без индексов. Таким образом, если не оговорено противное, функция ψ определяется на R
равенством

где К с точностью до постоянного множителя является функцией распределения с                                                         ψ  и К могут иметь (один и тот же) индекс.

б)  Каждая функция е ^ψ
является хар. функцией с нулевым первым моментом и конечной дисперсией σ² = Var К и представляет собой предельный закон при условии (С).

Доказательство. Подынтегральная функция ограни­чена по х и непрерывна по и (или х) при каждом фиксированном х (или и). Отсюда следует, что ψ является непрерывной на R
 функцией   и    равна   пределу   сумм   Римана — Стильтьеса   вида                                                                      где






при этом мы будем выбирать точки деления х_пk

≠ 0. Каждое сла­гаемое является логарифмом некоторой характеристической функции (пуассоновского типа),поэтому ихсуммы и предел ψ (по теореме непрерыв­ности) также представляют собой логарифмы характеристических функций. Из элементарных вычислений




вытекает второе утверждение. Далее, пусть Х_пk
 
, 
k
=
1,…,n  —

независимые случайные  величины с одним и тем же логарифмом   характеристической функции, равным ψ
/
n. Так как ψ
/
n соответствует функция К/п, то ,                                       причем                       Так как           имеет при любом п характеристическую  функцию е ^ψ
и условия (С) выполнены, то тем самым доказано  и последнее  утверждение.

в)  Лемма единственности.

ψ
однозначно определяет (С), и наоборот.

Доказательство.  Поскольку






то применима формула обращения, и  К однозначно определяется по ψ через ψ

". Обратное утверждение очевидно.

г)  Лемма  сходимости.

 Пусть условие (С) выполнено.

Если К_п  →^сл К, то
ψ _n → ψ. Наоборот, если ψ _n → log  f
  , то К_п → К и log
f  = ψ
определяется с помощью К.

Доказательство.  Первое утверждение сразу следует из обобщенной леммы Хелли — Брея. Докажем обратное утверждение. Поскольку дисперсии равномерно ограничены, то применима теорема слабой компактности, согласно которой существует такая функция К (с Var K ≤ c), что К_п’  →^сл К, когда n’→ ∞ по некоторой подпоследовательности целых чисел. Следовательно, по прямому утверждению настоящей леммы              

                                       так как ψ _n → log  f
  . В силу леммы единственности

ψ _n = log  f
  однозначно определяет (С) , откуда следует К_п  →^сл К, что и требовалось доказать.

Предыдущие леммы дают следующее решение нашей проблемы.

А. Предельная теорема для ограниченных дисперсий.  

Если  независимые  слагаемые
X_nk
 
центрированы  математическими   ожиданиями   и                                                               

при всех п, то

1°   Семейство   предельных   законов   для   последовательностей

                         совпадает с семейством законов центрированных математическими ожиданиями случайных величин с конечными дисперсиями и характеристическими функциями вида   
f
=
e

^ψ

,  где






а К—непрерывная слева не убывающая на
R
функция с                                       ψ
 
и К определяют друг друга однозначно.

2°                                              характеристическая  функция которого обязательно имеет вид e

^ψ, тогда и только тогда, когда К_п  →^сл К, где К_п опреде­ляется формулой



Если условие                               заменить условием

то К_п  →^сл К заменяется К_п  →^вп К.

Доказательство.

1° вытекает из б), леммы сравнения и леммы  сходимости.

2° вытекает из 1° и леммы сходимости; указанный в конце частный случай вытекает из следующего соотношения:






Обобщение.  До сих пор мы рассматривали центрированные математическими ожиданиями случайные величины. Если мы откажемся от этого условия и положим






то предыдущие результаты сохраняются, если    F_nk
  
 и     f_nk
    заменить

везде на                         мы будем также писать    вместо ψ. Возвращаясь обратно к нецентрированным случайным  величинам, мы должны ввести предельные законы                  с конечными дисперсиями и необяза­тельно нулевыми математическими ожиданиями                       логариф­мы характеристических функций  которых имеют вид                                      откуда  

        Лемма   единственности   формулируется   следующим   образом:  ψ однозначно определяет а и К, и наоборот.

В лемме сходимости К_п  →^сл К заменяется на К_п  →^сл К и а_п  → а.

       Те же самые изменения должны быть произведены и в предель­ной теореме;  при этом надо положить                         и заменить F_nk

на   .

Таким образом,   критерий  сходимости  2°  превращается  в обобщенный    критерий    сходимости.:

 Если   неза­висимые слагаемые X_nk

  таковы, что                                             и                                    mo
                                        (характеристическая функция предельного закона обязательно  имеет вид e

^ψ)  тогда  и  только тогда,   когда  К_п  →^сл К и                          где








Если                                заменить на                                             то К_п  →^сл К заменяется К_п  →^вп К

Частные случаи:

1°  Нормальная сходимость.

Нормальному закону                     соответствует функция                                   и, следовательно, функция К, равная К(х) = 0 при    х  < 0 и К(х)  = 1 при        х > 0 (в силу леммы единственности достаточно проверить, что эта функция К дает заданную ψ).

       Критерий нормальной сходимости.

       Пусть независимые слагаемые Х_п
k
центрированы математическими ожи­даниями, и пусть                       при  всех  п.  При этих  условиях

                                         и                              тогда и только тогда, когда

при  каждом  ε > 0
     Доказательство.  

     Из  неравенства



и из того, что g_n(ε) → 0 при каждом ε > 0, следует                             (для этого надо в неравенстве положить сначала n → ∞, а затем  ε  → ∞). Простые вычисления показывают, что критерий сходимо­сти А 2° эквивалентен тому, что g_n(ε) → 0 при каждом ε > 0.

Полагая     

мы получаем критерий классической нормальной сходимости. Теорема Ляпунова вытекает из неравенства
2°.   Пуассоновская   сходимость.   Закону Пуас­сонна                  соответствует  функция   

а этой функции ψ соответствует функция К, равная К(х) = 0 при  х < 1 и        K(x) = 1 при х > 1. Из обобщенного критерия сходимости легко получить

критерий пуассоновской сходимости:

     Если независимые слагаемые X_nk
 
таковы,                             и                    только тогда, когда                           и  при  каждом ε > 0

РЕШЕНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПРОБЛЕМЫ

Рассмотрим теперь общую проблему. Как уже было указано выше, метод решения по существу остается тем же, что и в случае ограниченных дисперсий. Возникающие при этом вычислительные трудности обусловливаются двумя фактами.

(1) Поскольку не пред­полагается существование даже первых моментов, то центриро­вание приходится проводить не математическими ожиданиями, а усеченными математическими ожиданиями.

(2) Определенные выше функции К не обязаны теперь иметь ограниченную вариацию; если же их вариации ограничены, то они уже не предполагаются равномерно ограниченными. Поэтому мы вынуждены заменить их

функциями вида                                                        где             - функции
распределения, центрированные усеченными математическими ожи­даниями. Это приводит к предельным законам, логарифм характеристических функций которых имеет более сложный вид. Сначала мы исследуем эти законы.

         Семейство предельных законов;  безгранично делимые законы.

Закон         и его характеристическая функция   f
   называются безгранично делимыми, если при каждом п существуют (на некотором вероятном пространстве)  n  независимых   и  одинаково   распределенных  случайных

величин Х_пк, для которых                                      другими словами, при

каждом п существует такая характеристическая функция f_n, что  f
 = f_nⁿ.      Если    f
= 0, то log  f
   существует и конечен, и                                    если не оговаривается что-либо другое, мы всегда будем выбирать за log  характеристической функции главную ветвь, обращающуюся в нуль при n = 0, а корень n-й степени из   f
 будем определять написанным выше  равенством.

       Очевидно, что безгранично делимый закон определяет безгра­нично делимый тип. Вырожденный, нормальный и пуассоновский типы    безгранично    делимы,    так   как   для                                      или

                              , или                                             выражение                  при любом п имеет тот же самый вид. Вообще все предельные законы e

^ψ, полученные в случае ограниченных дисперсий, безгранично делимы, так как соответствующие  ψ  таковы, что ψ
/
n
является логарифмом характеристической функ­ции того же самого вида (с                  и с функцией K
/
n
,  являющейся с точностью до постоянного множителя функцией распределения). В действительности имеет место следующее.

а)  Безгранично делимое семейство входит в семейство предель­ных законов центральной предельной проблемы.

В самом деле, условия равномерной бесконечной малости неза­висимых и одинаково распределенных ел. величин X_nk
  , которые фигурируют в определении безгранично делимых законов, сводится к сходимости общего закона этих величин к вырожденному в 0 закону, т. е. сводится к f_n → 1.

В то же время мы имеем

б)  Если f
 = f_nⁿ
 
при каждом п, где  
f_n
 есть характеристическая функция, то
f_n
→1; кроме того,  f_n
 
≠ 0
.

    Доказательство.

Так как | f
|< 1, то  | f_n
|² = | f
|^2/n →g, причем g
(
u
) = 0 или 1 в зависимости от f
(
u
) = 0 или f
(
u
) ≠ 0 . Так как   f   непрерывна и   f (0) = 1, то существует такая окрестность нуля, где | f
(
u
) | > 0 и, следовательно, g
(и) = 1; поэтому g
непре­рывна в этой окрестности. Таким образом, последовательность | f _n|² характеристических функций сходится к непрерывной в нуле функции g
; применяя теорему непрерывности, мы получаем, что g
является характеристической функцией. Следовательно, g
непрерывна на R
и g(0) = l; так как эта функция может принимать не больше двух значений: 0 и 1, то она тождественно равна 1. Итак,  f
 
≠ 0, log f  сущест­вует и конечен,          

                                         Предложение доказано.

Позднее мы увидим, что семейство предельных законов в этой проблеме совпадает с безгранично делимым семейством. Этим обстоятельством  объясняется  нижеследующее  свойство.

А.  Теорема замкнутости.

Безгранично делимое семейство замкнуто относительно композиций и перехода к пределу.

Доказательство. Если   f   и   f '  —безгранично делимые характеристические функции, то при каждом п существуют такие характеристические функции   f_n   и   f _n'  что   f  =  f_n   и  f ' = f _n' . Отсюда получаем f f ' = (f _n
f _n' )ⁿ, где f _n
f _n' являются характеристическими функциями. Итак,  первое утверждение  доказано.

Пусть последовательность   f _n   безгранично делимых характеристических функ­ций сходится к характеристической  функции  f.  Тогда для  каждого  целого  m  | f _n|^2/m →  | f  |^2/m , следовательно, по теореме непрерывности   | f  |²     является характеристической  функцией. Таким образом,  |  f   |²  есть безгранично делимая характеристическая  функция, поэтому в силу б   f

≠ 0 . Так как log   f суще­ствует и  конечен  и 
то   f  ^1/m   есть характеристическая  функция, следовательно,   f   безгранично делима. Доказательство закончено.

Основным свойством безгранично делимых законов (а, следо­вательно, как мы увидим, всех предельных законов в центральной предельной теореме) является то, что они строятся с помощью законов пуассоновского типа. Точный смысл это свойство полу­чает в нижеследующей теореме; это же свойство приводит к явному выражению в теореме о представлении, доказанной немного дальше.

Б. Структурная теорема.

Характеристическая  функция безгранично делима тогда и только тогда, когда она является пределом после­довательности произведений характеристических  функций пуассоновского типа.

Другими словами, класс безгранично делимых законов совпа­дает с предельными законами последовательностей сумм незави­симых случайных  величин пуассоновского типа.

Доказательство.

Произведения   f _n  характеристических функций пуас­соновского типа определяются с помощью сумм вида






поэтому при любом фиксированном целом числе т функции —  log  f_n

являются логарифмами характеристических  функций (того же самого вида). Таким образом, если   f → f_n
, где f
 — характеристическая функция, то по теореме замкну­тости   f   безгранично делима. Достаточность доказана.

Наоборот, пусть  f
   безгранично делима;  тогда   log
  
f   существует и конечен и
где F_n
(х) являются функциями распределения. Беря суммы Рима-

на — Стильтьеса, которые приближают     f  ^1/n (и) — 1 с точностью порядка не меньше 1/n², мы получаем доказательство необходи­мости. Доказательство закончено.

Для того чтобы найти явное представление безгранично дели­мых законов, введем следующие обозначения. Если не оговари­вается что-либо другое, то мы всегда будем обозначать ψ с индек­сом или без индекса функцию, заданную на R
с помощью формулы