Реферат

Реферат Численное дифференцирование

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 8.11.2024





                             ЧИСЛЕННОЕ  ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .
Пусть имеется функция  которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в  некоторой точке.

         Если задан явный вид функции,  то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

          Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена         

         

          Рассмотрим  простейшие формулы численного дифференцирования,  которые получаются указанным способом.

          Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах

         
Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать


         

           Пусть функция задана в двух точках  и   ее значения   

           Посстроим  интерполяционный  многочлен первой степени

 

         

Производная    равна



          Производную функцию  в точке  приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена

                                                                        (1)    

Величина   называется  первой разностной производной.

   Пусть  задана в трех точках     

          Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид



Берем производную



В точке  она равна



Получаем приближенную формулу

                                                                            (2)

Величина    называется   центральной  разностной производной.

          Наконец, если взять вторую производную

     получаем приближенную формулу. 

                                                               (3)

Величина   называется  второй разностной производной.

          Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.

          Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул  (1)-(3).

          В дальнейшем нам понадобится следующая  лемма.

       Лемма 1. Пусть    произвольные точки,    Тогда существует такая точка   что



Доказательство.  Очевидно неравенство

       

          По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между  и  Значит существует такая точка   что выполняет указанное в лемме равенство.

          Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.

          Лемма 2.

1.Предположим, что   Тогда существует такая точка  ,  что

                             (4)

2.   Если    то существует  такая точка  ,  что

                                 (5)

3.   Когда     то существует   такая,  что

                (6)               Доказательство. По формуле Тейлора

         

откуда следует  (4).

Если    то по  формуле Тейлора

                              (7)

где   

     Подставим (7)  в     Получаем

       

Заменяя  в соответствии с леммою 1

       

получаем

     

Откуда и следует (6).

        Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).

       Формулы (4)-(6) называются формулами  численного дифференцирования с остаточными членами.

        Погрешности формул  (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):

       

         Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно   (или порядка   ), а погрешность формул (2) и (3) имеет  второй порядок относительно    (или порядка   ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок  точности.

      Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.

      Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции  в каждой точке удовлетворяет неравенству                                                                                                                                                                             

                                                                                            (8)

        Пусть в некоторой окрестности точки  производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны  и удовлетворяют неравенствам

                                                (9)

где      - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин             

Минимизация по  этих величин приводит к следующим значениям  :                                           

 

                                     (12)

при этом

                       (13)

Если при выбранном  для какой-либо из формул (2), (3) значении  отрезок    не выходит за пределы окрестности  точки   , в которой выполняется соответствующее неравенство (9),  то найденное   есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).


1. Курсовая на тему Информационно-аналитическая система магазина
2. Реферат Дудаш, Йожеф
3. Реферат Тироль
4. Реферат Договор аренды нежилого помещения
5. Реферат Особливості взаємозв язку стилю управлінської діяльності та типу поведінки при розв язанні конфл
6. Реферат Нина типография
7. Доклад на тему Государственный бюджет 8
8. Реферат ЛЕЧЕБНАЯ ФИЗИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА ПРИ ЗАБОЛЕВАНИЯХ СЕРДЕЧНО-СОСУДИСТОЙ СИСТЕМЫ
9. Реферат на тему Управление распределенными ресурсами
10. Реферат на тему Internet Pornography And You Essay Research Paper