Реферат Численное дифференцирование

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 26.2.2025

                             ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ .
Пусть имеется функция которую необходимо продифференцировать несколько раз и найти эту производную в некоторой точке.

         Если задан явный вид функции, то выражение для производной часто оказывается достаточно сложным и желательно его заменить более простым. Если же функция задана только в некоторых точках (таблично), то получить явный вид ее производных ввобще невозможно. В этих ситуациях возникает необходимость приближенного (численного) дифференцирования.

          Простейшая идея численного дифференцирования состоит в том, что функция заменяется интерполяционным многочленом (Лагранжа, Ньютона) и производная функции приближенного заменяется соответствующей производной интерполяционного многочлена



          Рассмотрим простейшие формулы численного дифференцирования, которые получаются указанным способом.

          Будем предполагать, что функция задана в равностоящих узлах


Ее значения и значения производных в узлах будем обозначать



          Пусть функция задана в двух точках и   ее значения

           Посстроим интерполяционный многочлен первой степени



Производная   равна

          Производную функцию в точке приближенно заменяем производной интерполяционного многочлена

                                                                        (1)

Величина   называется первой разностной производной.

   Пусть задана в трех точках

          Интерполяционный многочлен Ньютона второй степени имеет вид

Берем производную

В точке она равна

Получаем приближенную формулу

                                                                            (2)

Величина   называется   центральной разностной производной.

          Наконец, если взять вторую производную

     получаем приближенную формулу.

                                                               (3)

Величина называется второй разностной производной.

          Формулы (1)-(3) называются формулами численного дифференцирования.

          Предполагая функцию достаточное число раз непрерывно дифференцируемой, получим погрешности приближенных формул (1)-(3).

          В дальнейшем нам понадобится следующая лемма.

       Лемма 1. Пусть   произвольные точки,   Тогда существует такая точка   что

Доказательство. Очевидно неравенство



          По теореме Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной функции на замкнутом отрезке она принимает все значения между и Значит существует такая точка что выполняет указанное в лемме равенство.

          Погрешности формул численного дифференцирования дает следующая лемма.

          Лемма 2.

1.Предположим, что   Тогда существует такая точка , что

                             (4)

2. Если   то существует такая точка , что

                                 (5)

3. Когда    то существует такая, что

                (6)               Доказательство. По формуле Тейлора



откуда следует (4).

Если   то по формуле Тейлора

                              (7)

где

     Подставим (7) в     Получаем



Заменяя в соответствии с леммою 1



получаем



Откуда и следует (6).

        Равенство (5) доказывается аналогично ( доказательство провести самостоятельно).

       Формулы (4)-(6) называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами.

        Погрешности формул (1)-(3) оцениваются с помощью следующих неравенств, которые вытекают из соотношений (4)-(6):



         Говорят, что погрешность формулы (1) имеет первый порядок относительно   (или порядка   ), а погрешность формул (2) и (3) имеет второй порядок относительно   (или порядка ). Также говорят, что формула численного дифференцирования (1) первого порядка точности (относительно ), а формулы (2) и (3) имеют второй порядок точности.

      Указанным способом можно получать формулы численного дифференцирования для более старших производных и для большего количества узлов интерполирования.

      Выбор оптимального шага. Допустим, что граница абсолютной погрешности при вычислении функции в каждой точке удовлетворяет неравенству

                                                                                            (8)

        Пусть в некоторой окрестности точки производные, через которые выражаются остаточные члены в формулах (5), (6), непрерывны и удовлетворяют неравенствам

                                                (9)

где     - некоторые числа. Тогда полная погрешность формул (2), (3) (без учета погрешностей округления) в соответствии с (5), (6), (8), (9)не превосходит соответственно величин

Минимизация по этих величин приводит к следующим значениям :

                                     (12)

при этом

                       (13)

Если при выбранном для какой-либо из формул (2), (3) значении отрезок   не выходит за пределы окрестности точки   , в которой выполняется соответствующее неравенство (9), то найденное есть оптимальным и полная погрешность численного дифференцирования оценивается соответствующей величиной (13).

Bukvasha