Реферат Индуктивность
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-28Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
ИНДУКТИВНОСТЬ
(от лат. inductio — наведение, побуждение), величина, характеризующая магн. св-ва электрич. цепи. Ток, текущий в проводящем контуре, создаёт в окружающем пр-ве магн. поле, причём магнитный поток Ф, пронизывающий контур (сцепленный с ним), прямо пропорционален току I:Ф=LI. Коэфф. пропорциональности L наз. И. или коэфф. самоиндукции контура. И. зависит от размеров и формы контура, а также от магнитной проницаемости окружающей среды. В СИ И. измеряется в генри, в Гаусса системе единиц она имеет размерность длины (1 Гн=109 см).
Через И. выражается эдс самоиндукции ? в контуре, возникающая при изменении в нём тока:
(DI изменение тока за время Dt). И. определяет энергию W магн. поля тока I:
W =LI2/2.
Если провести аналогию между электрич. и механич. явлениями, то магн. энергию следует сопоставить с кинетич. энергией тела T=mv2/2 (m — масса тела, v — его скорость), при этом И. будет играть роль массы, а ток — скорости. Т. о., И. определяет инерц. св-ва тока.
Для увеличения И. применяют катушки индуктивности с железными сердечниками; в результате зависимости магн. проницаемости m ферромагнетиков от напряжённости магн. поля (а следовательно, и от тока) И. таких катушек зависит от I. И. длинного соленоида из N витков с площадью поперечного сечения S и длиной l в среде с магн. проницаемостью m равна (в ед. СИ):
L=mm0N2S/l,
где m0— магн. проницаемость вакуума.
Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия.
Главный редактор А. М. Прохоров.1983.
ИНДУКТИВНОСТЬ
в электродинамике (коэффициент самоиндукции) (от лат. inductio - наведение, побуждение) - параметр электрич. цепи, определяющий величину эдс самоиндукции, наводимой в цепи при изменении протекающего по ней тока и (или) при её деформации. Термин "И." употребляется также для обозначения элемента цени (двухполюсника), определяющего её индуктивные свойства (синоним - катушка самоиндукции).И. является количеств. характеристикой эффекта самоиндукции, открытого независимо Дж. Генри (J. Henry) в 1832 и М. Фарадеем (М. Faraday) в 1835. При изменении тока в цепи и (или) при её деформации происходит изменение магн. поля, к-рое, в соответствии с законом индукции, приводит к возникновениювихревого электрич. поля E(r, t )с отличной от нуля циркуляцией
по замкнутым контурам li;пронизываемым магн. потоком Ф i. Внутри проводника вихревое поле Е взаимодействует с порождающим его током и оказывает противодействие изменению магн. потока (Ленца правило). Циркуляция Ei и магн. поток Ф i существенно зависят от выбора контура li внутри проводника конечной толщины. Однако при медленных движениях и квазистацнонарных процессах, когда полный ток
(j - плотностьтока) одинаков для всех нормальных сечений провода S пр, допустим переход к усреднённым характеристикам: эдс самоиндукции E си=<Ei> )и сцепленному с проводящим контуром магн. потоку Ф=<Ф i>. В предположении о том, что линии тока замыкаются сами на себя при одном обходе по контуру,
где r^ , - радиус-векторы точек нормального сечения провода, Ф j(r^) - магн. поток через поверхность, ограниченную линией тока, проходящей через точку r^, Ej(r^)
- циркуляция вектора E вдоль этой линии тока, jn - нормальная к Snp составляющая j. В более сложных ситуациях, когда линии тока замыкаются после неск. обходов по контуру или вообще не являются замкнутыми кривыми, процедура усреднения требует уточнений, однако во всех случаях она должнаудовлетворять энергетич. соотношению: =E сиI (
Р- суммарная мощность взаимодействия поля с током).Усреднённый магн. поток в случае квазистацнонарных процессов пропорц. току:
Ф=L.I (в СИ), Ф=1/c(LI)(в системе СГС). (1)
Коэф. L и Lназ. И. Величина L измеряется в генри, L
- в см. <Для эдс самоиндукции справедливо соотношение
E си=-d/dt(LI) (в СИ), Ecи=-(1/с 2)(d/dt)(LI)(2) (в системе СГС).
Производная по времени от И. определяет ту часть E си, к-рая связана с деформацией проводящего контура; в случае недеформируемых цепей и квазистационарных процессов И. может быть вынесена из-под знака дифференцирования. <В известном смысле И. характеризует инерционность цепи по отношению к изменению в ней тока и является электродинамич. аналогом массы тела в механике (при этом I сопоставляется со скоростью тела). В частности, для цепей пост. тока энергия, запасённая в создаваемом им магн. поле, записывается в форме, аналогичной выражению для кинетич. энергии.
Wm=1/2LI2 (в СИ), Wm=1/2c2LI2 (в системе СГС). (3)
Соотношение (3) позволяет различать И. внутреннюю Li, определяющую энергию магн. поля, сосредоточенного в проводниках, и внешнюю Le, связанную с внеш. магн. полем (L=Li+Le, L=Li+Le). В важном частном случае токовой цепи, выполненной из проводов, толщина к-рых мала по сравнению с радиусамиих изгибов или расстояниями между соседними проводами, можно считать, что структура токов и ближнего магн. поля такая же, как и для прямого провода того же сечения (подобные проводники наз. квазилинейными). В приближении заданной структуры токов, не зависящей от способа их возбуждения, И. определяется только геометрией проводящей цепи (толщиной и длиной проводов и их формой). Для квазилинейного провода кругового сечения Li=(m0/8p)mil (l - длина провода, mi - магн. проницаемость проводника), а внешняя И. может быть представлена как индуктивность взаимная двух параллельных бесконечно тонких проводящих нитей, одна из к-рых (l1) совпадает с осевой линией проводника, а другая (l2) совмещена с его поверхностью:
где r1, r2 - радиус-векторы точек на контурах ll, l2,m е
- магн. проницаемость окружающей среды [для аналогия, соотношений в системе СГС L "(m0/4p)L]. Из (4) видно, что Leлогарифмически расходится при стремлении радиуса провода к нулю, поэтому идеализацией бесконечно тонкого провода нельзя пользоваться при описании явлений самоиндукции. Приближённые вычисления интеграла в (4) с учётом внутренней И. дают:
где l и а - длина и радиус провода. Это выражение обладает логарифмич. точностью - его относит. погрешность порядка величины l/ln(l/a). Примеры типичных электрич. цепей и выражения для их И. приведены на рис. 1 и 2.
Рис. 1. Круговой виток. Индуктивность витка (проводящего тора): L=m0R(ln(8R/r)-2+1/4mi), Гн, r<
Особое значение в электротехнике и радиотехнике имеют проволочные катушки с достаточно плотной намоткой - соленоиды (рис. 3), применяемые для увеличения И. Поскольку И. цепей, в к-рые включены соленоиды, ими в основном и определяются, принято говорить об И. соленоида. Под величиной И. идеальногосоленоида понимают И. эфф. проводящей поверхности (совпадающей с его каркасом), по к-рой протекают азимутальные поверхностные токи с плотностью j пов=Ik (I - ток в соленоиде, k - число витков на единице длины).
Понятие И. допускает обобщение на быстропеременные гармонич. ехр(iwt)-процессы, при описании к-рых нельзя пренебрегать запаздыванием эл.-магп. взаимодействий, скин-эффектом в проводниках, дисперсией среды. Комплексные амплитуды тока Iw и эдс самоиндукции Ewсвязаны соотношением:
И. L(w) зависит от частоты (как правило, уменьшается с её ростом). Эфф. сопротивление RL(w) определяет часть энергетич. потерь, в т. ч. потери на излучение, и связано с L(w) Крамерса - Кронига соотношением:
где интеграл берётся в смысле гл. значения. На низких частотах сопротивлением RL(w) можно пренебречь, тогда Ew и Iw сдвинуты по фазе на p/2. Соотношение (3) для высокочастотных процессов преобразуется к виду:
где Wmw - усреднённая по периоду колебаний энергия ближних (квазистационарных) магн. полей (полная магн. энергия поля не определена из-за линейно растущей во времени энергии поля излучения).Если в цепи действует гармонич. сторонняя эдс , то во втором законе Кирхгофа величина Ew может быть перенесена (со сменой знака) в правую часть равенства:
где С -ёмкость, включённая в цепь. Соотношение (9) позволяет трактовать величину ZL=iwLкак индуктивную часть импеданса цепи (при атом ZC=-i/w
С -ёмкостная, a ZR=R- активная части полного импеданса Z=ZL+ZC+ZR). Принято считать, что импеданс двухполюсника имеет индуктивный характер, если его мнимая часть больше нуля [если рассматриваются ехр (-iwt)-процессы, то меньше нуля]. В технике довольно часто И. наз. любой двухполюсник, импеданс к-рого имеет индуктивный характер п в опредсл. диапазоне частот линейно зависит от w. Если индуктивные элементы выполнены в виде катушек самоиндукции, то считать их двухполюсниками можно, вообще говоря, только в том случае, когда взаимодействие через магн. поля между ними и с др. элементами цепи пренебрежимо мало. Тогда их импедансы можно складывать в соответствии с правилами Кирхгофа: при последовательном соединении , а при параллельном При описании сильноточных цепей часто требуется обобщение понятия И. на случай нелинейных систем. Если неподвижный проводящий контур помещён всреду, в к-рой вектор магн. индукции В и напряжённость магн. поля Н связаны нелинейным локальным соотношением: B(r, t)=B[H(r, t)],то сцепленный с контуром магн. поток можно считать однозначной ф-цией тока Ф=Ф(I). В соответствии с законом индукции Фарадея, эдс самоиндукции в контуре равна:
Величина L Д(I)=d Ф /dIназ. дифференциальной (или иногда динамической) И. Выражение для запасённой энергии пост. тока приобретает вид:
B линейном приближении (при I "0) L Д "L и выражения (10), (11) переходят в (2) и (3) соответственно. Лит.: Тамм И. Е., Основы теории электричества9 изд., М., 1976; Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей, 3 изд., Л., 1986; Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд. М., 1982. М. А. Миллер, Г. В. Пермитин
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.
Главный редактор А. М. Прохоров.1988.
Взаимоиндукция (взаимная индукция) — возникновение электродвижущей силы (ЭДС) в одном проводнике вследствие изменения силы тока в другом проводнике или вследствие изменения взаимного расположения проводников. Взаимоиндукция — частный случай более общего явления — электромагнитной индукции.При изменении тока в одном из проводников или при изменении взаимного расположения проводников происходит изменение магнитного потока, созданного током первого проводника и проходящего через контур второго, что позакону электромагнитной индукции вызывает возникновение ЭДС во втором проводнике. Если второй проводник замкнут, то под действием ЭДС взаимоиндукции в нём образуется индуцированный ток. И наоборот, изменение тока во второй цепи вызовет появление ЭДС в первой. Направление тока, возникшего при взаимоиндукции, определяется по правилу Ленца. Правило указывает на то, что изменение тока в одной цепи (катушке) встречает противодействие со стороны другой цепи (катушки).
Чем большая часть магнитного поля первой цепи пронизывает вторую цепь, тем сильнее взаимоиндукция между цепями. С количественной стороны явление взаимоиндукции характеризуется взаимной индуктивностью. Для изменения величины индуктивной связи между цепями, катушки делают подвижными. Приборы, служащие для изменения взаимоиндукции между цепями, называются вариометрами связи.
Явление взаимоиндукции широко используется для передачи энергии из одной электрической цепи в другую, для преобразования напряжения с помощью трансформатора.
ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ
– явление индуктирования (наведения) эдс индукции в одной цепи (катушке) при изменении электрического тока в другой цепи. Ток I1, проходя по виткам W 1 первой катушки, вызывает магнитный поток, часть которого Ф (1-2) пронизывает витки второй катушки W2 (рис.), образуя потокосцепление взаимной индукции
Y = W2 Ф (1-2).
Магнитный поток Ф 1-2 и, следовательно, потокосцепление пропорциональны току
Y 1-2 = M 1 2 I 1.
Аналогично ток I2, проходя по виткам второй катушки, вызывает магнитный поток Ф 2-1, пронизывающий витки первой катушки W 1, образуя потокосцепление взаимной индукции
Y 2-1 = W 1 Ф 2-1.
Для этого случая потокосцепление пропорционально току
Y 2-1 = M 2-1 I 2.
ИНДУКТИВНО-СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ
При рассмотрении цепей гармонического тока до сих пор нами учитывалось явление самоиндукции, то есть явление наведения ЭДС в электрической цепи при изменении потокосцепления самоиндукции, обусловленного током в этой цепи. Для простейшейцепи, приведенной на рис. 7.1,а, при переменном напряжении на зажимах цепи справедливо уравнение Кирхгофа
,
где- напряжение, уравновешивающее ЭДС самоиндукции.
Физическая картина заключалась в следующем: переменный ток, протекая по виткам катушки создает переменный магнитный поток , который сцепляясь с витками катушки, обуславливает появление ЭДС самоиндукции eL, противодействующей по закону Ленца изменению потокосцепления , то есть
,
где- индуктивность, численно равная отношению потокосцепления самоиндукции к току, его обуславливающему.
Теперь рассмотрим явление взаимоиндукции, то есть явление наведения ЭДС в одной электрической цепи при изменении в ней потокосцепления, вызванного изменением тока в другой электрической цепи. Для этого проанализируем картину магнитного поля индуктивно-связанных катушек (рис. 7.1,б).
Протекание переменного токапо виткам первой катушки обуславливает появление магнитного потока Ф11. Часть этого потока сцеплена с витками только первой катушки и носит название потока рассеяния первой катушки Ф 1. Величина этого потока определяется формулой
,
где- магнитная проводимость пути, по которому замыкается поток рассеяния первой катушки.
Отношение
1/ 1=
называется индуктивностью рассеяния первой катушки.
Часть потокапронизывает как витки первой катушки , так и витки второй катушки и носит название потока взаимоиндукции первой катушки , пронизывающего витки второй катушки. Таким образом,
Произведениеявляется потокосцеплением второй цепи, обусловленное током в первой цепи.
Переменный ток, протекая по виткам второй катушки, создает переменный магнитный поток . Часть этого потока пронизывает только витки второй катушки и обуславливает потокосцепление рассеяния второй катушки
.
Отношение
носит название индуктивности рассеяния второй катушки.
Часть потока, пронизывающая витки как первой, так и второй катушки, называется потоком взаимной индукции второй катушки, пронизывающим витки первой катушки .
Произведение
есть потокосцепление первой цепи, обусловленное током во второй цепи.
Связь потокосцепления взаимной индукции одной электрической цепи с током в другой цепи характеризуется взаимной индуктивностью. Взаимная индуктивность равна отношению потокосцепления взаимной индукции в одной цепи к току в другой цепи, то есть
,
.
Для линейных цепей всегда выполняется равенство, что легко показать. На самом деле
,
.
где м1и м2 - магнитные проводимости путей, по которым замыкаются потоки взаимоиндукции ФМ1и ФМ2. А поскольку они замыкаются по одному и тому же пути, то м1= м2 = м, то
М12= М21= М=w1w2 м.
Таким образом взаимная индуктивность пропорциональна произведению чисел витков катушек w1 и w2 и магнитной проводимости м. пути потоков взаимной индукции, которая зависит от магнитной проницаемости среды, взаимного расположения катушек, их формы и размеров.
Степень индуктивной связи двух катушек характеризуется коэффициентом связи, определяемым как среднее геометрическое из отношений потока взаимной индукции к полному потоку катушки, то есть
.
Как видно, коэффициент связивсегда меньше , так как
и .
Коэффициент связиприближается к с уменьшением потоков рассеяния и . Повышение коэффициента связи достигается бифиляр-ной намоткой катушек и применением ферромагнитного сердечника, так как с увеличением магнитной проницаемости среды, по которой замыкаются потоки взаимной индукции, доля потоков рассеяния уменьшается.
Выразим потоки через токи катушек, числа витков, индуктивности и взаимную индуктивность следующим образом:
; ; ; .
Тогда
.
ЭДС взаимной индукции
Если в отдельных индуктивных элементах цепи наводятся ЭДС взаимной индукции, то при расчете таких цепей необходимо учитывать напряжения, компенсирующие эти ЭДС. Сами эти напряжения uм21 , uм12, называемые напряжениями взаимоиндукции, как и напряжения на индуктивностях, пропорциональны скоростям изменения токов, их обуславливающих, т.е.
uм12=Md 2/dt, uм21=Md 1/dt.
Если токи 1 и 2 синусоидальны, то напряжение взаимоиндукции можно определить на основании закона Ома в комплексной форме. Так комплекс напряжения взаимоидукции второй катущки, обусловленного током первой катушки можно записать в виде
,
где ZM=jXM -комплексное сопротивление взаимоиндукции или сопротивление связи, а XM = M -реактивное сопротивление взаимной индукции катушек. Таким образом, напряжение взаимоиндукции второй катушки опережает ток первой катушки на 90 градусов . Аналогично, напряжение взаимоиндукции первой катушки, обусловленное током второй катушки опережает ток второй катушки на 90 градусов , а комплекс этого напряжения определяется выражением
.
Согласное и встречное включение катушек
При расчете ЭЦ, где имеет место явление взаимоиндукции, учет этого явления производится путем включения в уравнения, составленные на основании второго закона Кирхгофа , дополнительных слагаемых в виде напряжений взаимоиндукции. Так для первой из катушек , представленных на рис. 7.1,б, уравнение Кирхгофа имеет вид
u1= uR1+ uL1 uм12.
Если напряжение на индуктивности первой катушки uL1 и напряжение взаимоиндукции uм12., обусловленные током второй катушки направлены одинаково , то перед последним слагаемым ставится знак (+), если противоположно - то (-). Указанные напряжения будут направлены одинаково, если поток самоиндукции первой катушки и поток взаимоиндукции, обусловленный током второй катушки , в первой катушке направлены одинаково. Аналогично
u2= uR2+ uL2 uм21.
В тех случаях, когда картина магнитных потоков катушек непосредственно не рассматривается, при расчетах условились ставить знак (+) перед последним слагаемым в случае , когда катушки включены согласно и знак (-) -когда они включены встречно.
Катушки считаются включенными согласно, если токи в них ориентированы одинаково относительно некоторых зажимов, помеченных на схеме цепи точками или звездочками и называемых одноименными и встречно, если они ориентированы противоположно.
Зажимы катушек считаются одноименными, если одинаково ориентированные относительно них токи, обуславливают одинаково направленные в катушках потоки самоиндукции и взаимоиндукции.
Физически направления магнитных потоков в катушках определяется правилом правоходового винта. Например, потоки Фм1и Фм2 на рис. 7.2,а направлены
противоположно при заданных направлениях токов 1 и 2 , т.е. катушки включены встречно. Однако, если бы эти токи были ориентированы одинаково относительно зажимов соответственно 1 и 4, то потоки были бы направлены одинаково. Следовательно, эти зажимы можно считать одно-именными.
На рис. 7.2,б изображена эл. схема, соответствующая рисунку 7.2,а, где
наличие индуктивной связи между катушками показано дугой с стрелками, над которой стоит символ "М", а одноименные зажимы помечены символами (*).
Расчет цепей синусоидального тока с последовательно-соединенными и индуктивно-связанными катушками
Схема цепи, подлежащей расчету приведена на рис. 7.3. Пусть известны параметры катушек, , , и взаимная индуктивность и требуется определить ток в цепи .
Положим вначале, что катушки включены согласно. Тогда на основании второго закона Кирхгофа для рассматриваемой цепи можно написать уравнение для мгновенных значений токов и напряжений в виде
.
Если напряжение на зажимах цепи синусоидально, то указанное уравнение можно записать в комплексной форме
.
Следовательно, комплекс тока в цепи определяется выражением
,
где Lэкв=L1+L2+2M - эквивалентная индуктивность цепи.
Таким образом, две индуктивно-связанные катушки, соединенные последовательно при согласном включении эквивалентны катушке, имеющей активное сопротивлениеи индуктивность . Как видно индуктивная связь между катушками в данном случае увеличивает эквивалентную индуктивность цепи.
Пусть теперь катушки включены встречно. Тогда
.
Следовательно
,
где- эквивалентная индуктивность цепи.
Таким образом, наличие индуктивной связи между катушками при их встречном включении уменьшает эквивалентную индуктивность цепи .
(от лат. inductio — наведение, побуждение), величина, характеризующая магн. св-ва электрич. цепи. Ток, текущий в проводящем контуре, создаёт в окружающем пр-ве магн. поле, причём магнитный поток Ф, пронизывающий контур (сцепленный с ним), прямо пропорционален току I:Ф=LI. Коэфф. пропорциональности L наз. И. или коэфф. самоиндукции контура. И. зависит от размеров и формы контура, а также от магнитной проницаемости окружающей среды. В СИ И. измеряется в генри, в Гаусса системе единиц она имеет размерность длины (1 Гн=109 см).
Через И. выражается эдс самоиндукции ? в контуре, возникающая при изменении в нём тока:
(DI изменение тока за время Dt). И. определяет энергию W магн. поля тока I:
W =LI2/2.
Если провести аналогию между электрич. и механич. явлениями, то магн. энергию следует сопоставить с кинетич. энергией тела T=mv2/2 (m — масса тела, v — его скорость), при этом И. будет играть роль массы, а ток — скорости. Т. о., И. определяет инерц. св-ва тока.
Для увеличения И. применяют катушки индуктивности с железными сердечниками; в результате зависимости магн. проницаемости m ферромагнетиков от напряжённости магн. поля (а следовательно, и от тока) И. таких катушек зависит от I. И. длинного соленоида из N витков с площадью поперечного сечения S и длиной l в среде с магн. проницаемостью m равна (в ед. СИ):
L=mm0N2S/l,
где m0— магн. проницаемость вакуума.
Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия.
Главный редактор А. М. Прохоров.1983.
ИНДУКТИВНОСТЬ
в электродинамике (коэффициент самоиндукции) (от лат. inductio - наведение, побуждение) - параметр электрич. цепи, определяющий величину эдс самоиндукции, наводимой в цепи при изменении протекающего по ней тока и (или) при её деформации. Термин "И." употребляется также для обозначения элемента цени (двухполюсника), определяющего её индуктивные свойства (синоним - катушка самоиндукции).И. является количеств. характеристикой эффекта самоиндукции, открытого независимо Дж. Генри (J. Henry) в 1832 и М. Фарадеем (М. Faraday) в 1835. При изменении тока в цепи и (или) при её деформации происходит изменение магн. поля, к-рое, в соответствии с законом индукции, приводит к возникновениювихревого электрич. поля E(r, t )с отличной от нуля циркуляцией
по замкнутым контурам li;пронизываемым магн. потоком Ф i. Внутри проводника вихревое поле Е взаимодействует с порождающим его током и оказывает противодействие изменению магн. потока (Ленца правило). Циркуляция Ei и магн. поток Ф i существенно зависят от выбора контура li внутри проводника конечной толщины. Однако при медленных движениях и квазистацнонарных процессах, когда полный ток
(j - плотностьтока) одинаков для всех нормальных сечений провода S пр, допустим переход к усреднённым характеристикам: эдс самоиндукции E си=<Ei> )и сцепленному с проводящим контуром магн. потоку Ф=<Ф i>. В предположении о том, что линии тока замыкаются сами на себя при одном обходе по контуру,
где r^ , - радиус-векторы точек нормального сечения провода, Ф j(r^) - магн. поток через поверхность, ограниченную линией тока, проходящей через точку r^, Ej(r^)
- циркуляция вектора E вдоль этой линии тока, jn - нормальная к Snp составляющая j. В более сложных ситуациях, когда линии тока замыкаются после неск. обходов по контуру или вообще не являются замкнутыми кривыми, процедура усреднения требует уточнений, однако во всех случаях она должнаудовлетворять энергетич. соотношению:
=E сиI ( Р- суммарная мощность взаимодействия поля с током).Усреднённый магн. поток в случае квазистацнонарных процессов пропорц. току:
Ф=L.I (в СИ), Ф=1/c(LI)(в системе СГС). (1)
Коэф. L и Lназ. И. Величина L измеряется в генри, L
- в см. <Для эдс самоиндукции справедливо соотношение
E си=-d/dt(LI) (в СИ), Ecи=-(1/с 2)(d/dt)(LI)(2) (в системе СГС).
Производная по времени от И. определяет ту часть E си, к-рая связана с деформацией проводящего контура; в случае недеформируемых цепей и квазистационарных процессов И. может быть вынесена из-под знака дифференцирования. <В известном смысле И. характеризует инерционность цепи по отношению к изменению в ней тока и является электродинамич. аналогом массы тела в механике (при этом I сопоставляется со скоростью тела). В частности, для цепей пост. тока энергия, запасённая в создаваемом им магн. поле, записывается в форме, аналогичной выражению для кинетич. энергии.
Wm=1/2LI2 (в СИ), Wm=1/2c2LI2 (в системе СГС). (3)
Соотношение (3) позволяет различать И. внутреннюю Li, определяющую энергию магн. поля, сосредоточенного в проводниках, и внешнюю Le, связанную с внеш. магн. полем (L=Li+Le, L=Li+Le). В важном частном случае токовой цепи, выполненной из проводов, толщина к-рых мала по сравнению с радиусамиих изгибов или расстояниями между соседними проводами, можно считать, что структура токов и ближнего магн. поля такая же, как и для прямого провода того же сечения (подобные проводники наз. квазилинейными). В приближении заданной структуры токов, не зависящей от способа их возбуждения, И. определяется только геометрией проводящей цепи (толщиной и длиной проводов и их формой). Для квазилинейного провода кругового сечения Li=(m0/8p)mil (l - длина провода, mi - магн. проницаемость проводника), а внешняя И. может быть представлена как индуктивность взаимная двух параллельных бесконечно тонких проводящих нитей, одна из к-рых (l1) совпадает с осевой линией проводника, а другая (l2) совмещена с его поверхностью:
где r1, r2 - радиус-векторы точек на контурах ll, l2,m е
- магн. проницаемость окружающей среды [для аналогия, соотношений в системе СГС L "(m0/4p)L]. Из (4) видно, что Leлогарифмически расходится при стремлении радиуса провода к нулю, поэтому идеализацией бесконечно тонкого провода нельзя пользоваться при описании явлений самоиндукции. Приближённые вычисления интеграла в (4) с учётом внутренней И. дают:
где l и а - длина и радиус провода. Это выражение обладает логарифмич. точностью - его относит. погрешность порядка величины l/ln(l/a). Примеры типичных электрич. цепей и выражения для их И. приведены на рис. 1 и 2.
Рис. 1. Круговой виток. Индуктивность витка (проводящего тора): L=m0R(ln(8R/r)-2+1/4mi), Гн, r<
Особое значение в электротехнике и радиотехнике имеют проволочные катушки с достаточно плотной намоткой - соленоиды (рис. 3), применяемые для увеличения И. Поскольку И. цепей, в к-рые включены соленоиды, ими в основном и определяются, принято говорить об И. соленоида. Под величиной И. идеальногосоленоида понимают И. эфф. проводящей поверхности (совпадающей с его каркасом), по к-рой протекают азимутальные поверхностные токи с плотностью j пов=Ik (I - ток в соленоиде, k - число витков на единице длины).
Понятие И. допускает обобщение на быстропеременные гармонич. ехр(iwt)-процессы, при описании к-рых нельзя пренебрегать запаздыванием эл.-магп. взаимодействий, скин-эффектом в проводниках, дисперсией среды. Комплексные амплитуды тока Iw и эдс самоиндукции Ewсвязаны соотношением:
И. L(w) зависит от частоты (как правило, уменьшается с её ростом). Эфф. сопротивление RL(w) определяет часть энергетич. потерь, в т. ч. потери на излучение, и связано с L(w) Крамерса - Кронига соотношением:
где интеграл берётся в смысле гл. значения. На низких частотах сопротивлением RL(w) можно пренебречь, тогда Ew и Iw сдвинуты по фазе на p/2. Соотношение (3) для высокочастотных процессов преобразуется к виду:
где Wmw - усреднённая по периоду колебаний энергия ближних (квазистационарных) магн. полей (полная магн. энергия поля не определена из-за линейно растущей во времени энергии поля излучения).Если в цепи действует гармонич. сторонняя эдс
, то во втором законе Кирхгофа величина Ew может быть перенесена (со сменой знака) в правую часть равенства:где С -ёмкость, включённая в цепь. Соотношение (9) позволяет трактовать величину ZL=iwLкак индуктивную часть импеданса цепи (при атом ZC=-i/w
С -ёмкостная, a ZR=R- активная части полного импеданса Z=ZL+ZC+ZR). Принято считать, что импеданс двухполюсника имеет индуктивный характер, если его мнимая часть больше нуля [если рассматриваются ехр (-iwt)-процессы, то меньше нуля]. В технике довольно часто И. наз. любой двухполюсник, импеданс к-рого имеет индуктивный характер п в опредсл. диапазоне частот линейно зависит от w. Если индуктивные элементы выполнены в виде катушек самоиндукции, то считать их двухполюсниками можно, вообще говоря, только в том случае, когда взаимодействие через магн. поля между ними и с др. элементами цепи пренебрежимо мало. Тогда их импедансы можно складывать в соответствии с правилами Кирхгофа: при последовательном соединении
, а при параллельном При описании сильноточных цепей часто требуется обобщение понятия И. на случай нелинейных систем. Если неподвижный проводящий контур помещён всреду, в к-рой вектор магн. индукции В и напряжённость магн. поля Н связаны нелинейным локальным соотношением: B(r, t)=B[H(r, t)],то сцепленный с контуром магн. поток можно считать однозначной ф-цией тока Ф=Ф(I). В соответствии с законом индукции Фарадея, эдс самоиндукции в контуре равна:Величина L Д(I)=d Ф /dIназ. дифференциальной (или иногда динамической) И. Выражение для запасённой энергии пост. тока приобретает вид:
B линейном приближении (при I "0) L Д "L и выражения (10), (11) переходят в (2) и (3) соответственно. Лит.: Тамм И. Е., Основы теории электричества9 изд., М., 1976; Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей, 3 изд., Л., 1986; Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд. М., 1982. М. А. Миллер, Г. В. Пермитин
Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия.
Главный редактор А. М. Прохоров.1988.
Взаимоиндукция (взаимная индукция) — возникновение электродвижущей силы (ЭДС) в одном проводнике вследствие изменения силы тока в другом проводнике или вследствие изменения взаимного расположения проводников. Взаимоиндукция — частный случай более общего явления — электромагнитной индукции.При изменении тока в одном из проводников или при изменении взаимного расположения проводников происходит изменение магнитного потока, созданного током первого проводника и проходящего через контур второго, что позакону электромагнитной индукции вызывает возникновение ЭДС во втором проводнике. Если второй проводник замкнут, то под действием ЭДС взаимоиндукции в нём образуется индуцированный ток. И наоборот, изменение тока во второй цепи вызовет появление ЭДС в первой. Направление тока, возникшего при взаимоиндукции, определяется по правилу Ленца. Правило указывает на то, что изменение тока в одной цепи (катушке) встречает противодействие со стороны другой цепи (катушки).
Чем большая часть магнитного поля первой цепи пронизывает вторую цепь, тем сильнее взаимоиндукция между цепями. С количественной стороны явление взаимоиндукции характеризуется взаимной индуктивностью. Для изменения величины индуктивной связи между цепями, катушки делают подвижными. Приборы, служащие для изменения взаимоиндукции между цепями, называются вариометрами связи.
Явление взаимоиндукции широко используется для передачи энергии из одной электрической цепи в другую, для преобразования напряжения с помощью трансформатора.
ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ
– явление индуктирования (наведения) эдс индукции в одной цепи (катушке) при изменении электрического тока в другой цепи. Ток I1, проходя по виткам W 1 первой катушки, вызывает магнитный поток, часть которого Ф (1-2) пронизывает витки второй катушки W2 (рис.), образуя потокосцепление взаимной индукции
Y = W2 Ф (1-2).
Магнитный поток Ф 1-2 и, следовательно, потокосцепление пропорциональны току
Y 1-2 = M 1 2 I 1.
Аналогично ток I2, проходя по виткам второй катушки, вызывает магнитный поток Ф 2-1, пронизывающий витки первой катушки W 1, образуя потокосцепление взаимной индукции
Y 2-1 = W 1 Ф 2-1.
Для этого случая потокосцепление пропорционально току
Y 2-1 = M 2-1 I 2.
ИНДУКТИВНО-СВЯЗАННЫЕ ЦЕПИ
При рассмотрении цепей гармонического тока до сих пор нами учитывалось явление самоиндукции, то есть явление наведения ЭДС в электрической цепи при изменении потокосцепления самоиндукции, обусловленного током в этой цепи. Для простейшей
цепи, приведенной на рис. 7.1,а, при переменном напряжении на зажимах цепи справедливо уравнение Кирхгофа,где
- напряжение, уравновешивающее ЭДС самоиндукции.Физическая картина заключалась в следующем: переменный ток
, протекая по виткам катушки создает переменный магнитный поток , который сцепляясь с витками катушки, обуславливает появление ЭДС самоиндукции eL, противодействующей по закону Ленца изменению потокосцепления , то есть,где
- индуктивность, численно равная отношению потокосцепления самоиндукции к току, его обуславливающему.Теперь рассмотрим явление взаимоиндукции, то есть явление наведения ЭДС в одной электрической цепи при изменении в ней потокосцепления, вызванного изменением тока в другой электрической цепи. Для этого проанализируем картину магнитного поля индуктивно-связанных катушек (рис. 7.1,б).
Протекание переменного тока
по виткам первой катушки обуславливает появление магнитного потока Ф11. Часть этого потока сцеплена с витками только первой катушки и носит название потока рассеяния первой катушки Ф 1. Величина этого потока определяется формулой,где
- магнитная проводимость пути, по которому замыкается поток рассеяния первой катушки.Отношение
1/ 1=
называется индуктивностью рассеяния первой катушки.
Часть потока
пронизывает как витки первой катушки , так и витки второй катушки и носит название потока взаимоиндукции первой катушки , пронизывающего витки второй катушки. Таким образом,Произведение
является потокосцеплением второй цепи, обусловленное током в первой цепи.Переменный ток
, протекая по виткам второй катушки, создает переменный магнитный поток . Часть этого потока пронизывает только витки второй катушки и обуславливает потокосцепление рассеяния второй катушки.Отношение
носит название индуктивности рассеяния второй катушки.
Часть потока
, пронизывающая витки как первой, так и второй катушки, называется потоком взаимной индукции второй катушки, пронизывающим витки первой катушки .Произведение
есть потокосцепление первой цепи, обусловленное током во второй цепи
.Связь потокосцепления взаимной индукции одной электрической цепи с током в другой цепи характеризуется взаимной индуктивностью
. Взаимная индуктивность равна отношению потокосцепления взаимной индукции в одной цепи к току в другой цепи, то есть,.Для линейных цепей всегда выполняется равенство
, что легко показать. На самом деле,.где м1и м2 - магнитные проводимости путей, по которым замыкаются потоки взаимоиндукции ФМ1и ФМ2. А поскольку они замыкаются по одному и тому же пути, то м1= м2 = м, то
М12= М21= М=w1w2 м.
Таким образом взаимная индуктивность пропорциональна произведению чисел витков катушек w1 и w2 и магнитной проводимости м. пути потоков взаимной индукции, которая зависит от магнитной проницаемости среды, взаимного расположения катушек, их формы и размеров.
Степень индуктивной связи двух катушек характеризуется коэффициентом связи
, определяемым как среднее геометрическое из отношений потока взаимной индукции к полному потоку катушки, то есть.Как видно, коэффициент связи
всегда меньше , так каки .Коэффициент связи
приближается к с уменьшением потоков рассеяния и . Повышение коэффициента связи достигается бифиляр-ной намоткой катушек и применением ферромагнитного сердечника, так как с увеличением магнитной проницаемости среды, по которой замыкаются потоки взаимной индукции, доля потоков рассеяния уменьшается.Выразим потоки через токи катушек, числа витков, индуктивности и взаимную индуктивность следующим образом:
; ; ; .Тогда
.ЭДС взаимной индукции
Если в отдельных индуктивных элементах цепи наводятся ЭДС взаимной индукции, то при расчете таких цепей необходимо учитывать напряжения, компенсирующие эти ЭДС. Сами эти напряжения uм21 , uм12, называемые напряжениями взаимоиндукции, как и напряжения на индуктивностях, пропорциональны скоростям изменения токов, их обуславливающих, т.е.
uм12=Md 2/dt, uм21=Md 1/dt.
Если токи 1 и 2 синусоидальны, то напряжение взаимоиндукции можно определить на основании закона Ома в комплексной форме. Так комплекс напряжения взаимоидукции второй катущки, обусловленного током первой катушки можно записать в виде
,где ZM=jXM -комплексное сопротивление взаимоиндукции или сопротивление связи, а XM = M -реактивное сопротивление взаимной индукции катушек. Таким образом, напряжение взаимоиндукции второй катушки опережает ток первой катушки на 90 градусов . Аналогично, напряжение взаимоиндукции первой катушки, обусловленное током второй катушки опережает ток второй катушки на 90 градусов , а комплекс этого напряжения определяется выражением
.Согласное и встречное включение катушек
При расчете ЭЦ, где имеет место явление взаимоиндукции, учет этого явления производится путем включения в уравнения, составленные на основании второго закона Кирхгофа , дополнительных слагаемых в виде напряжений взаимоиндукции. Так для первой из катушек , представленных на рис. 7.1,б, уравнение Кирхгофа имеет вид
u1= uR1+ uL1 uм12.
Если напряжение на индуктивности первой катушки uL1 и напряжение взаимоиндукции uм12., обусловленные током второй катушки направлены одинаково , то перед последним слагаемым ставится знак (+), если противоположно - то (-). Указанные напряжения будут направлены одинаково, если поток самоиндукции первой катушки и поток взаимоиндукции, обусловленный током второй катушки , в первой катушке направлены одинаково. Аналогично
u2= uR2+ uL2 uм21.
В тех случаях, когда картина магнитных потоков катушек непосредственно не рассматривается, при расчетах условились ставить знак (+) перед последним слагаемым в случае , когда катушки включены согласно и знак (-) -когда они включены встречно.
Катушки считаются включенными согласно, если токи в них ориентированы одинаково относительно некоторых зажимов, помеченных на схеме цепи точками или звездочками и называемых одноименными и встречно, если они ориентированы противоположно.
Зажимы катушек считаются одноименными, если одинаково ориентированные относительно них токи, обуславливают одинаково направленные в катушках потоки самоиндукции и взаимоиндукции.
Физически направления магнитных потоков в катушках определяется правилом правоходового винта. Например, потоки Фм1и Фм2 на рис. 7.2,а направлены
противоположно при заданных направлениях токов 1 и 2 , т.е. катушки включены встречно. Однако, если бы эти токи были ориентированы одинаково относительно зажимов соответственно 1 и 4, то потоки были бы направлены одинаково. Следовательно, эти зажимы можно считать одно-именными.
На рис. 7.2,б изображена эл. схема, соответствующая рисунку 7.2,а, где
наличие индуктивной связи между катушками показано дугой с стрелками, над которой стоит символ "М", а одноименные зажимы помечены символами (*).
Расчет цепей синусоидального тока с последовательно-соединенными и индуктивно-связанными катушками
Схема цепи, подлежащей расчету приведена на рис. 7.3. Пусть известны параметры катушек
, , , и взаимная индуктивность и требуется определить ток в цепи .Положим вначале, что катушки включены согласно. Тогда на основании второго закона Кирхгофа для рассматриваемой цепи можно написать уравнение для мгновенных значений токов и напряжений в виде
.Если напряжение на зажимах цепи синусоидально, то указанное уравнение можно записать в комплексной форме
.Следовательно, комплекс тока в цепи определяется выражением
,где Lэкв=L1+L2+2M - эквивалентная индуктивность цепи.
Таким образом, две индуктивно-связанные катушки, соединенные последовательно при согласном включении эквивалентны катушке, имеющей активное сопротивление
и индуктивность . Как видно индуктивная связь между катушками в данном случае увеличивает эквивалентную индуктивность цепи.Пусть теперь катушки включены встречно. Тогда
.Следовательно
,где
- эквивалентная индуктивность цепи.Таким образом, наличие индуктивной связи между катушками при их встречном включении уменьшает эквивалентную индуктивность цепи .
