Обзор некоторых элементарных функций
Для напоминания и повторения приведём обзор некоторых функций, изучаемых в школьной программе.
1. Линейная функция. Это функция вида

. Число

называется угловым коэффициентом, а число

-- свободным членом. Графиком

линейной функции служит прямая на координатной плоскости

, не параллельная оси

.
Угловой коэффициент

равен тангенсу угла

наклона графика

к горизонтальному направлению -- положительному направлению оси

.
Рис.1.8.График линейной функции -- прямая
2. Квадратичная функция. Это функция вида

(

).
Графиком

квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси

. При

вершина параболы оказывается в точке

.
Рис.1.9.Парабола

(

)
В общем случае вершина лежит в точке

. Если

, то "рога" параболы направлены вверх, если

, то вниз.
Рис.1.10.Парабола с вершиной в точке

(

)
3. Степенная функция. Это функция вида

,

. Рассматриваются такие случаи:
а). Если

, то

. Тогда

,

; если число

-- чётное, то и функция

-- чётная (то есть

при всех

); если число

-- нечётное, то и функция

-- нечётная (то есть

при всех

).
Рис.1.11.График степенной функции при

б). Если

,

, то

. Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для

: если

-- чётное число, то и

-- чётная функция; если

-- нечётное число, то и

-- нечётная функция.
Рис.1.12.График степенной функции при

Снова заметим, что

при всех

. Если

, то

при всех

, кроме

(выражение

не имеет смысла).
в). Если

-- не целое число, то, по определению, при

:

; тогда

,

.
Рис.1.13.График степенной функции при

При

, по определению,

; тогда

.
Рис.1.14.График степенной функции при
4. Многочлен. Это функция вида

, где

,

. Число

называется степенью многочлена. При

и

многочлены являются соответственно линейной функцией и квадратичной функцией (квадратным трёхчленом) и рассмотрены выше. При

и

(

) получается степенная функция, которую мы также рассмотрели выше. В общем случае

; при чётном значении степени

характерный вид графика таков:
Рис.1.15.График многочлена чётной степени при

или таков:
Рис.1.16.График многочлена чётной степени при

а при нечётном значении степени

-- таков:
Рис.1.17.График многочлена нечётной степени при

или таков:
Рис.1.18.График многочлена нечётной степени при
5. Показательная функция (экспонента). Это функция вида

(

,

). Для неё

,

,

, и при

график имеет такой вид:
Рис.1.19.График показательной функции при

При

вид графика такой:
Рис.1.20.График показательной функции при

Число

называется основанием показательной функции.
6. Логарифмическая функция. Это функция вида

(

,

). Для неё

,

,

, и при

график имеет такой вид:
Рис.1.21.График логарифмической функции при

При

график получается такой:
Рис.1.22.График логарифмической функции при

Число

называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия.
7. Функция синус: 
. Для неё

; функция периодична с периодом

и нечётна. Её график таков:
Рис.1.23.График функции
8. Функция косинус: 
. Эта функция связана с синусом формулой приведения:

;

; период функции

равен

; функция

чётна. Её график таков:
Рис.1.24.График функции
9. Функция тангенс: 
(в англоязычной литературе обозначается также

). По определению,

. Функция

нечётна и периодична с периодом

;
то есть

не может принимать значений

,

, при которых

(стоящий в знаменателе) обращается в ноль.
Рис.1.25.График функции
10. Функция котангенс: 
(в англоязычной литературе также

). По определению,

. Если

(

), то

. Функция

нечётна и периодична с периодом

;
то есть

не может принимать значения вида

,

, при которых

обращается в 0.
Рис.1.26.График функции
11. Абсолютная величина (модуль): 
,

. Эта функция определяет расстояние на вещественной оси от точки

до точки 0:
Функция

чётная, её график такой:
Рис.1.27.График функции
12. Обратные тригонометрические функции. Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к
главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно, о чём подробнее в конце главы, в разделе
Обратная функция.
13. Расстояние до начала координат на плоскости и в пространстве. На координатной плоскости

расстояние

от точки

до точки

определяется по формуле

(по теореме Пифагора) и, следовательно, задаёт функцию
Эта функция имеет область значений
График её ограничения на круг

построен в
примере 1.8.
Аналогично, расстояние

в пространстве

от точки

до точки

определяется по формуле

и задаёт функцию
Эта функция имеет ту же область значений
что и в двумерном случае.
14. Арифметическая прогрессия. Функция

, задаваемая формулой
где

,

-- фиксированные числа, а

, называется арифметической прогрессией. Число

называется при этом первым членом прогрессии, а число

-- разностью прогрессии. Функцию

можно представить как ограничение на множество натуральных чисел

линейной функции

с угловым коэффициентом

и свободным членом

. Арифметическую прогрессию можно задать и другим,
рекуррентным способом:

при
Уравнение, рекуррентно задающее арифметическую прогрессию, -- это линейное уравнение в конечных разностях первого порядка, с одним начальным условием

.
Рис.1.28.График арифметической прогрессии
15. Геометрическая прогрессия. Функция

, задаваемая формулой
где

,

-- фиксированные числа, а

, называется геометрической прогрессией. Число

называется при этом первым членом прогрессии, а число

-- знаменателем прогрессии. Функцию

(при

,

) можно представить как ограничение на множество натуральных чисел

показательной функции с основанием

, умноженной на постоянный коэффициент

, то есть функции
Рис.1.29.График геометрической прогрессии
Геометрическую прогрессию можно задать и иначе,
рекуррентным способом:

при