Министерство образования и науки
Научное Общество Учащихся
Секция «Алгебра»
Работа по теме:
«Диофантовы уравнения»
Выполнила:
ученица 10 «А» класса МОУ СОШ № 43
Булавина Татьяна
Научный руководитель: Пестова
Надежда Ивановна
Нижний новгород 2010

Содержание
Введение
О диофантовых уравнениях
Способы решения диофантовых уравнений
Список литературы

Введение
Я выбрала тему: «Диофантовы уравнения» потому, что меня заинтересовало, как зарождалась арифметика.
Диофант Александрийский (3 век)-греческий математик. Его книгу «Арифметика» изучали математики всех поколений.
Необычайный расцвет древнегреческой науки в IV—III вв. до н. э. сменился к началу новой эры постепенным спадом в связи с завоеванием Греции Римом, а потом и начавшимся разложением Римской империи. Но на фоне этого угасания еще вспыхивает яркий факел. В 3-ем веке новой эры появляется сочинение александрийского математика Диофанта «Арифметика». О жизни самого Диофанта нам известно только из стихотворения, содержащегося в «Палатинской антологии». В этой антологии содержалось 48 задач в стихах, собранных греческим поэтом и математиком VI в. Метродором. Среди них были задачи о бассейне, о короне Герона, о жизненном пути Диофанта. Последняя оформлена в виде эпитафии — надгробной надписи.
Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей — и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругою он обручился.
С нею пять, лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года.
Трактат «Арифметика» занимает особое место в античной матиматике не только по времени своего появления, но и по содержанию. Большую часть его составляют разнообразные задачи по теории чисел и их решения. Но, главное, автор использует не геометрический подход , как это было принято у древних греков,-решения Диофанта предвосхищают алгебраические и теоретико- числовые методы. К сожалению, из 13 книг, составлявших «Арифметику», до нас дошли лишь первые 6, а остальные погибли в перипетиях тогдашнего бурного времени. Достаточно сказать, что через 100 лет после смерти Диофанта была сожжена знаменитая александрийская библиотека, содержавшая бесценные сокровища древнегреческой науки.

О диофантовых уравнениях.
Задачи Диофантовой «Арифметики» решаются с помощью уравнений, проблемы решения уравнеий скорее относятся к алгебре, чем к арифметике. Почему же тогда мы говорим, что эти уравнения относятся к арифметическим? Дело в том, что эти задачи имеют специфические особенности.
 Во-первых, они сводятся к уравнениям или к системам уравнений с целыми коэффициентами. Как правило, эти системы неопределённые,т.е. число уравнений в них меньше числа неизвестных.
Во-вторых, решения требуется найти только целые, часто натуральные.
Для выделения таких решений из всего бесконечного их множества приходится пользоваться свойствами целых чисел ,а это уже относится к области арифметики.Дадим определение диофантовым уравнениям.
Диофантовы уравнения-алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвесных в уравнениях больше числа уравнений. Ни один крупный математик не прошёл мимо теории диофантовых уравнений.
Давайте рассмотрим современную простенькую задачу.
За покупку нужно уплатить 1700 р. У покупателя имеются купюры только по 200р. и по 500 р. Какими способами он может расплатиться? Для ответа на этот вопрос достаточно решить уравнение 2x + 5y=17 с двумя неизвестными x и y. Такие уравнения имеют бесконечное множество решений. В частности, полученному уравнению отвечает любая пара чисел вида (x, 17-2x/5). Но для этой практической задачи годятся только целые неотрицательные значения x и y. Поэтому приходим к такой постановке задачи: найти все целые неотрицательные решения уравнения 2x+5y=17. Ответ содержит уже не бесконечно много,авсего лишь две пары чисел (1, 3) и (6, 1).Диофант сам находил решения своих задач. Вот несколько задач из его «Арифметики».
1.                Найти два числа так, чтобы их произведение находилось в заданном отношении к их сумме.
2.                Найти три квадрата так, чтобы сумма их квадратов тоже была квадратом.
3.                Найти два числа так, чтобы их произведение делалось кубом как при прибавлении , так и при вычитании их суммы.
4.                Для числа 13=2І+3І найти два других,сумма квадратов которых равна 13.
Приведём диофантово решение последней задачи. Он полагает первое число (обозначим его через А) равным x+2, а второе число B равным 2x-3 , указывая , что коэффициент перед x можно взять и другой. Решая уравнения
(x+2)І+(kx-3)І=13,
Диофант находит x=8/5, откуда A=18/5,B=1/5. Воспользуемся указанием Диофанта и возьмём произвольный коэффициент перед x в выражении для B. Пусть снова А=x+2,а В=kx-3, тогда из уравнения
(x+2)І+(kx-3)І=13
x=2(3k-2)/kІ+1.
Отсюда
А=2(kІ+3k-1)/kІ+1,
В=3kІ-4k-3/kІ+1.
Теперь становятся понятными рассуждения Диофанта. Он вводит очень удобную подстановку А=x+2, В=2x-3, которая с учётом условия 2І+3І=13 позволяет понизить степень квадратного уравнения. Можно было бы с тем же успехом в качестве В взять 2x+3 , но тогда получаются отрицательные значения для В,чего Диофант не допускал. Очевидно , k=2- наименьшее натуральное число , при котором А и В положительны .
Исследование Диифантовых уравнений обычно связано с большими трудностями. Более того , можно указать многочлен F (x,y1,y2 ,…,yn) c целыми коэффициентами такой, что не существует алгоритма , позволяющего по любому целому числу x узнавать , разрешимо ли уравнение F (x,y1,y2 ,…,yn)=0 относительно y1,…,y. Примеры таких многочленов можно выписать явно. Для них невозможно дать исчерпывающего описания решений.
Современной постановкой диофантовых задач мы обязанны Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками вопрос о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Надо сказать , что это не было изобретением Ферма - он только возродил интерес к поиску целочисленных решений. А вообще задачи, допускающие только целые решения, были распространены во многих странах в очень далёкие от нас времена.В нынешней математике существует целое направление, занимающееся исследованиями диофантовых уравнений,поиском способов их решений.Называется оно диофантовым анализом и диофантовой геометрией , поскольку использует геометрические способы доказательств.
Простейшее Диофантово уравнение ax+by=1,где a и b – цельные взаимопростые числа, имеет бесконечно много решений (если x0 и y0-решение, то числа x=x0+bn, y=y0-an, где n- любое целое , тоже будут решениями).
Другим примером Диофантовых уравнений является
x² + у² = z². (5)

Это Диофантово уравнение 2-й степени. Сейчас мы займёмся поиском его решений. Удобно записывать их в виде троек чисел (x,y,z). Они называются пифагоровыми тройками. Вообще говоря , уравнению (5) удовлетворяет бесконечное множество решений. Но нас будут интересовать только натуральные. Целые, положительные решения этого уравнения представляют длины катетов х, у и гипотенузы z прямоугольных треугольников с целочисленными длинами сторон и называются пифагоровыми числами. Наша задача состоит в том, чтобы найти все тройки пифагоровых чисел. Заметим, что если два числа из такой тройки имеют общий делитель, то на него делится и третье число. Поделив их все на общий делитель, вновь получим пифагороау тройку. Значит от любой пифагоровой тройки можно перейти к другой пифагоровой тройке, числа которой попарно взаимо просты. Такую тройку называют примитивной. Очевидно, для поставленной нами задачи достаточно найти общий вид примитивних пифагоровых троек. Ясно, что в примитивной пифагоровой тройке два числа не могут быть чётными, но в то же время все три числа не могут быть нечётными одновременно. Остаётся один вариант: два числа нечётные, а одно чётное. Покажем, что z не может быть чётным числом. Предположим противное: z=2m, тогда x и y-нечётные числа. x=2k+1, y=2t+1. В этом случае сумма xІ+yІ=4(kІ+k+tІ+t)+2 не делится на 4, в то время как zІ=4mІ делится на 4. Итак, чётным числом является либо x, либо y. Пусть x=2u, y и z- нечётные числа. Обозначим z+y=2v, z-y=2w . Числа v и w взаимно простые. На самом деле, если бы они имели общий делитель d>1, то он был бы делителем и для z=w+v, и для y=v-w, что противоречит взаимной простоте y и z. Кроме того , v и w разной чётности: иначе бы y и z были бы чётными. Из равенства xІ=(z+y)(z-y) следует, что uІ=vw. Поскольку v и w взаимно просты, а их произведение является квадратом , то каждый из множителей является квадратом . Значит найдутся такие натуральные числа p и q, что v=pІ, w= qІ . Очевидно, числа p и q взаимно просты и имеют разную чётность . Теперь имеем

z=pІ+qІ , y=pІ-qІ,
откуда
xІ=( pІ+qІ)І-( pІ-qІ)І=4 pІ qІ.
В результате мы доказали, что для любой примитивной пифагоровой тройки (x,y,z) найдутся взаимо простые натуральные числа p и q разной чётности , p>q , такие, что
х =2pq, у =pІ-qІ, z = p²+q².(6)
Все тройки взаимно простых пифагоровых чисел можно получить по формулам
х =2pq, у = pІ-qІ, z = p²+q²,
где m и n — целые взаимо простые числа. Все остальные его натуральные решения имеют вид:
x=2kpq,y=k(pІ-qІ),z=k(p²+q² ),
где k-произвольное натуральное число. Теперь рассмотрим следующую задачу: дано произвольное натуральное число m>2; существует ли пифагоров треугольник, одна из сторон которого равна m? Если потребовать , чтобы заданную длину m имел катет, то для любого m ответ положительный. Докажем это. Пусть сначала m-нечётное число. Положим p=m+1/2, q=m-1/2. Получаем пифагорову тройку

х =2pq=mІ-1/2,
у =pІ-qІ=m,
z = p²+q² = mІ+1/2.
В случае чётного m обозначим m=2t. В свою очередь t может быть чётным или нечётным. Для чётного t положим p=t, q=1, откуда соответствующий треугольник имеет стороны
х =2pq=2t=m,
у =pІ-qІ= tІ-1= mІ/4-1,
z = p²+q² = tІ+1= mІ/4+1.
Если же t-нечётное число, то возьмём p=t+1/2, q=t-1/2. Выпишем пифагорову тройку, отвечающую этим значениям p и q: 2pq= tІ-1/2, pІ-qІ=t=m/2, p²+q² = tІ+1= mІ/4+1. Чтобы получить стороны искомого треугольника , надо ещё умножить эти числа на 2: x= tІ-1= mІ/4-1, y=2t=m, z =tІ+1= mІ/4+1. В виду равноправности катетов полученная тройка та же , что и в случае чётного t.
Приведём примеры. Для m=7 имеем треугольник с катетами x=24,y=7 и гипотенузой z=25. В случае m=3 тройка (4,3,5) задаёт наименьший пифагоров треугольник. Этот треугольник называется египетским. Сложнее выяснить , для каких натуральных m существует пифагоров треугольник с гипотенузой m. Так как m в этом случае должно быть кратно числу z= p²+q² , где p и q имеют разную чётность , то необходимо найти вид чисел z>2, представляемых в виде суммы квадратов разной чётности. Обозначим p=2r, q=2s+1, тогда p²+qІ=4(rІ+sІ+s)+1. Значит число z имеет вид 4t+1. Однако не всякое число вида 4t+1 раскладывается на сумму двух квадратов . Наример, число 9=4*2+1 так разложить невозможно. Но если число 4t+1 простое . то оно представимо в виде суммы двух квадратов, причём единственным способом. Число вида 4t+1 можно записать в виде суммы двух квадратов лишь в двух случаях: когда оно является произведением числа того же вида на квадрат натурального и когда оно равно произведению простых чисел типа 4t+1 .
Итак, пифагоров треугольник с заданой гипотинузой m существует только при условии , что в каноническом разложении числа m встречается простой множитель вида 4t+1.
Рассмотрим примеры .
1.                Пусть m =17 ( здесь 17=4Ч4+1). Из равенства 17=4І+1І находим p=4, q=1, x=2pq=8, y=pІ-qІ=15. Тройка (8,15,17) задаёт пифагоров треугольник.
2.                В случае m=65 имеем 65=5Ч13=5(4Ч3+1). Так как 13=3І+2І, то p=3, q=2, 2pq=12, pІ-qІ=5, p²+qІ=13. Для отыскания нужной нам тройки умножим эти числа на 5 и получим (60,25,65). Число 65можно придставить иначе: 65=13(4Ч1+1), 5=2І+1І, откуда p=2, q=1, 2pq=4, pІ-qІ=3, p²+qІ=5. Имеем ещё один треугольник с гипотенузой 65. Это (52,39,65).
3.                Числа 9 и 49 не могут выражать длину гипотенузы пифагорова треугольника. Хотя 9=4Ч2+1 и 49=4Ч12+1. Но их простые множители не представляются в вид 4t+1.
Диофант в сочинении «Арифметика» занимался разысканием рациональных (необязательно цельных) решений специальных видов уравнений . Общая теория решения Диофантовых уравнений 1-й степени была создана в 17 веке. К началу 19 века трудами П. Ферма , Дж. Виллса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гауса в основном было исследовано Диофантово уравнение вида
axІ+bxy+cyІ+dx+ey+f=0,
где а,b,c,d,e,f- целые числа, то есть общее неоднородное уравнение 2-й степени с двумя неизвестными.
Перейдем теперь к одной из самых знаменитых задач диофантова анализа, получившей название Великой теоремы Ферма. Начнем с истории возникновения этой теоремы. На полях «Арифметики» Диофанта против того места, где рассматривается уравнение х²+у²=zІ, П. Ферма (ок. 1630) написал: «Наоборот, невозможно разложить ни куб на два куба, ни биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я открыл" этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком малы». Так родилась эта замечательная теорема. В ней утверждается, что
При n>2 уравнение
x+y=z (10)
не имеет решений.
Предоставляем читателям возможность доказать, что из этого утверждения вытекает отсутствие и рациональных решений уравнения (10) при n>2.
Несмотря на внешнюю простоту формулировки теоремы, до сих нор неизвестно, справедлива она или нет, хотя над ее доказательством трудились многие поколения математиков Полое грех столетий. Весьма вероятно, что и сам Ферма не нашел строгого доказательства этой теоремы. Предлагал же он доказать лишь частный случай этой теоремы для п = 4. А он следует из утверждения, выведенного Ферма на полях «Арифметики»: площадь пифагорова треугольника не может быть квадратом. Мы не будем приводить доказательства этого утверждения, но покажем, что из него действительно вытекает отсутствие натуральных решений уравнения

x⁴ +y⁴=z⁴ (11)
Если х и y — длины катетов пифагорова треугольника, то найдутся взаимно простые числа р и q разной четности (p>q), такие, что x = 2kpq, y = k(pІ—qІ) и s= 1/2xy = k²pq (р²— q²). Заметим, что множитель pІ—qІ взаимно прост с числами р и q. Поэтому число s=k²pq(p²—q²) является квадратом тогда и только тогда, когда каждый из множителей р, q и p²—q²— является квадратом: р = а², q = b², p² — q² = c², откуда
a⁴-b⁴=c².(12)
Но поскольку нет такого пифагорова треугольника, площадь которого выражается квадратом, то уравнение (12) не имеет натуральных решений. Тогда таких решений не имеет и уравнение (11). На самом деле если бы тройка (b, с, а) была натуральным решением (11), т.е. b⁴+ с⁴=а⁴, то а⁴ — b⁴=(с²)² и тройка (а, b, с²) была бы решением уравнения (12).
Арифметика колец цельных алгебраических чисел используется также в ряде других задач Диофантовых уравнений. Так, например , её методами подробно исследованы уравнения вида N (a1x1+…+anxn)=m, где N(a)- норма алгебраического числа a , и отыскиваются цельные рациональные числа x1,x2,…,xn, удовлетворяющие вышенаписанному уравнению.
Способы решения диофантовых уравнений
Наиболее изучены диофантовы уравнения первой и второй степени. Рассмотрим сначала уравнения первой степени. Так как решение линейного уравнения с одним неизвестным не представляет интереса, то обратимся к уравнениям с двумя неизвестными.Мы рассмотрим два метода решения этих уравнений.
Первый способ решения таких уравнений- алгоритм Евклида. Можно найти наибольший делитель натуральных чисел a и b, не раскладывая эти числа на простые множители, применяя процесс деления с остатком . Для этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот прицесс до тех пор , пока не произойдёт деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД(a,b). Чтобы доказать это утверждение , представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств:если a>b ,то
а=bq0+r1,
b=r1q1+r2
r1=r2q2+r3 (1)
rn-1=rnqn.
Здесь r1,….,rn-положительные остатки, убывающие с возрастанием номера. Из первого равенства следует ,что общий делитель чисел a и b делит r1 и общий дилитель b и r1 делит а,поэтому НОД (a,b) = НОД (r1 ,r2)=….= НОД (rn-1, rn) = НОД (rn,0)= rn.Обратимся снова к системе(1).Из первого равенства, выразив остаток r1 чирез а и b ,получим r1=а- bq0. Подставляя его во второе равенство,найдём r2=b(1+q0q1)-aq1. Продолжая этот процесс дальше,мы сможем выразить все остатки через а и b, в том числе и последний rn=Аа+Вb. В результате нами доказано предложение:если d-наибольший общий делитель натуральных чисел а и b,то найдутся такие целые числа А и В,что d= Аа+Вb. Заметим,что коэффициенты А и В имеют разные знаки ; если НОД(a,b)=1,то Аа+Вb=1. Как найти числа А и В видно из алгоритма Евклида.
Перейдём теперь к решению линейного уравнения с двумя неизвестными. Оно имеет вид:

аx+by=c. (2)
Возможны два случая: либо c делится на d= НОД(a,b), либо нет. В первом случае можно разделить обе части на d и свести задачу к решению в целых числах уравнения a1x+b1y=c1, коэффициенты которого а1=а/d и b1=b/d взаимно просты. Во втором случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых целых x и y число аx+by делится на d и поэтому не может равнятся числу с,которое на d не делится. Итак, мы можем ограничиться случаем , когда в уравнении (2) коэффициенты взаимно просты. На основании предыдущего предложения найдутся такие целые числа x0 и y0,что ax0+by0=1, откуда пара (сx0,cy0) удовлетворяет уравнению (2) Вместе с ней уравнению (2) удовлетворяет бесконечное множество пар (x,y) целых чисел, которые можно найти по формулам
x=cx0+bt,y=cy0-at. (3)
Здесь t-любое целое число. Нетрудно показать,что других целочисленных решений нет уравнение ax+by=c не имеет. Решение, записанное в виде (3), называется общим решением уравнеия (2). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение. Найдём, например, целочисленные решения уже встречавшегося нам уравнения 2x+5y=17. Применив к числам 2 и 5 алгоритм Евклида, получим 2*3-5=1. Значит пара cx0=3*17,cy0=-1*17 удовлетворяет уравнению 2x+5y=17. Поэтому общее решение исходного уравнения таково x=51+5t, y=-17-2t,где t принимает любые целые значения. Очевидно, неотрицательные решения отвечают тем t , для которых выполняются неравенства

{51+5t≥0
{-17-2t≥0
Отсюда найдем -51 ≤t≤ -17. Этим неравенствам удовлетворяют числа -10, -9. 52
Соответствующие частные решения запишутся в виде пар (1,3), (6,1).
Применим этот же метод к решению одной из древних китайских задач о птицах.
Задача: Сколько можно купить на 100 монет петухов, кур и цыплят, если всего надо купить 100 птиц, причем петух стоит 5 монет, курица – 4, а 4 цыпленка – 1 монету?
Для решения этой задачи обозначим искомое число петухов через х, кур – через y, а цыплят через 4z (из условия видно, что число цыплят должно делится на 4). Составим систему уравнений:
{x+y+4z=100
{5x+4y+z=100,
которую надо решить в целых неотрицательных числах. Умножив первое уравнение системы на 4, а второе — на (— 1) и сложив результаты, придем к уравнению — х+15z=300 с целочисленными решениями х= — 300+ 15t, z = t. Подставляя эти значения в первое уравнение, получим y = 400 — 19t. Значит, целочисленные решения системы имеют вид х= —300+15t, y = 400—19t, z = t. Из условия задачи вытекает, что
{— 300+ 15t≥0,
{ 400—19t≥0,
{ t≥0

откуда 20≤t≤21 1/19, т.е. t = 20 или t = 21. Итак, на 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят, или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка
Второй метод решения диофантовых уравнений первой степени по своей сути не слишком отличается от рассмотренного в предыдущем пункте, но он связан с ещё одим интересным математическим понятием. Речь идёт о непрерывных или цепных дробях. Чтобы определить их вновь обратимся к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (1) вытекает, что дробь а/b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: a/b=q0+r1/b . Но r1/b=1/b, и на основании второго равенства той же системы имем b/r1=q1+r2/r1. Значит, a/b=q0+1/q1+r2/r1. Далее получим a/b=q0+1/q1+1/q2+r3/r2. Продолжим этот процесс до тех пор , пока не придём к знаменателю qn. В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем виде: a/b=q0+1/q1+1/q2+1/…1/qn. Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в то же время в Германии появился другой термин- цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. В качестве примера представим дробь 40/3t в виде цепной: 40/3t=1+9/3t=1/3t/9=1+1/3+4/9=1+1/3+1/9/4=1+1/3+1/2+1/4 .
Цепные дроби обладают следующим важным свойством: если действительное число а записать в виде непрерывной дроби , то подходящая дробь Pk/Qk даёт наилучщее приближение числа a среди всех дробей, знаменатели которых не превосходят Qk . Именно в процессе поиска наилучшего приблежения значений квадратных корней итальянский математик Пиетро Антонио Катальди (1552-1626) пришёл в 1623году к цепным дробям, с чего и началось их изучение. В заключение вернёмся к цепным дробям и отметим их преимущество и недостаток по сравнению, например, с десятичными. Удобство заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой исчисления. По этой причине цепные дроби эффективно используются в теоретических исследованиях. Но широкого практического применения они не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий, которые имеются для десятичных дробей.
Рассмотрим Диофантовы уравнения и решим их.
1 Решить в целых числах уравнение 3x+5y=7.
Решение.
Имеем
x=7-5y/3=6-3y-2y+1/3=2-y+1-2y/3,
1-2y=3k,
y=1-3k/2=1-2k-k/2=-k+1-k/2,
1-k=2t, k=1-2t,
y=1-3(1-2t)/2=-1+3t,
x=7-5(-1+3t)/3=4-5t
(t-любое число).
2 Решить в целых числах уравнение 6xІ+5yІ=74.
6xІ-24=50-5yІ, или 6(xІ-4)=5(10-yІ), откуда xІ-4=5u,т.е. 4+5u≥0, откуда u≥-4/5.
Аналогично:
10-yІ=6u, т.е. 10-6u≥0, u≤5/3.
Целое число u удовлетворяет неравенству
-4/5≤u≤5/3, значит. u=0 и u=1.
При u=0, получим 10=yІ, где y-не целое, что неверно. Пусть u=1, тогда xІ=9, yІ=4.
Ответ: {x1=3, {x2=3, {x3=-3, {x4=-3,
{y1=2, {y2=-2, {y3=2, {y4=-2 .
3 Решить в целых числах уравнение xі+yі-3xy=2.
Решение.
Если x и y оба нечётны или одно из них нечётно, то левая часть уравнения есть нечётное число, а правая-чётное. Если же x=2m и y=2n, то 8mі+8nі-12mn=2, т.е. 2(2mі+2nі-3mn)=1, что невозможно ни при каких целых m и n.
4 Доказать, что уравнение 2xІ+5yІ=7 не имеет решений в целых числах.
Доказательство.
Из уравнения видно, что y должен быть нечётным числом. Положив y=2z+1, получим 2xІ-20zІ-20z-5=7, или xІ-10zІ-10z=6, откуда следует что x есть чётное число. Положим x=2u. Тогда 2uІ-5z(z=1)=3, что невозможно, так как z(z+1) есть чётное число.
5 Доказать, что при любом целом положительном значении а уравнение xІ+yІ=аі разрешимо в целых числах.
Доказательство.
Положим x+y=аІ, x-y=а, откуда x=a(a+1)/2 и y=a(a-1)/2. Поскольку при любом целом значении а в числителе каждой из данных дробей стоит произведение чётного и нечётного чисел, определённые таким образом x и y представляют сорбой целые числа и удовлетворяют исходному уравнению.
6 Решите в целых числах уравнение (x+1)(xІ+10=yі.
Решение.
Непосредственно видим, что пары чисел (0;1) и (-1;0) являются решениями уравнения. Других решений нет, так как
xі<(x+1)(xІ+1)<(x+1)(x+1)І=(x+1) і, то (x+1)(xІ+1)≠yі
ни для какого целого y (распологающегося между кубами последовательных целых чисел).

Список литературы:
1.                И.М. Виноградов «Математическая энциклопедия»
2.                Н.Я. Виленкин,Л.П. Шибасов,З.Ф. Шибасова «За страницами учебника математики»
3.                А. П. Савин «Энциклопедический словарь юного математика»
4.                И. Кушнир «Математическая энциклопедия»