Контрольная работа по Финансовой математике

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 21.9.2024

Министерство образования и науки РФ

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО

Всероссийский заочный финансово-экономический институт

Филиал в г. Барнауле

Кафедра математики и информатики
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

Финансовая математика

Вариант 1
Выполнил: Ремигина Юлия Сергеевна

Факультет финансово-кредитный

Группа 4ФКп-5

№ зачетной книжки 07ффд10861

Проверила: Поддубная Марина Львовна
Барнаул, 2011

Содержание:

Задание 1. 3

Задание 2. 3

Задание 3. 3

Задание 1.

Приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Исходные данные
t	Y(t)
1	28
2	36
3	43
4	28
5	31
6	40
7	49
8	30
9	34
10	44
11	52
12	33
13	39
14	48
15	58
16	36

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания

2)     Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3)     Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

-       случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

-       независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения

) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении

;

-       нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4)     Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5)     Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

1)     Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания

Для проведения вычислений по формулам Хольта необходимо знать начальные оценки a
(0),
b
(0) коэффициентов модели для последнего квартала предыдущего года, а также коэффициенты сезонности F(

), F(

), F(0) за весь предыдущий год.

Зарезервируем для этих величин дополнительно 4 уровня (

) в расчетной таблице и выполним предварительный расчет.

По первым восьми наблюдениям построим вспомогательную линейную

модель

(РЕГРЕССИЯ)

	Коэффициенты
Y-пересечение	31,7
t	0,9

Примем a(0) = a = 31,7, b(0) = b = 0,9; занесем эти значения в нулевой уровень столбцов a(t) и b(t)основной расчетной таблицы.

Коэффициент сезонности – это отношение фактического значения показателя Y к значению, найденному по линейной модели («Предсказанное Y» итогов Регрессии).

Для первого квартала это

в первом году и

во втором году. Оценкой коэффициента F(

) первого квартала предыдущего года служит среднее арифметическое:

Аналогично найдем

Заполним соответствующие уровни столбца «F(t)» расчетной таблицы и перейдем к основному расчету.

Согласно условию задачи коэффициенты сглаживания

; период сезонности L = 4.

Примем t = 0, k = 1, по основной формуле модели Хольта, рассчитаем

Перейдем к t = 1, уточним коэффициенты

При t = 1, k = 1 по основной формуле модели Хольта получим

и т.д. для t = 2,3,…16. Максимальное значение t, для которого могут быть рассчитаны коэффициенты a(t), b(t), F(t), определяется количеством исходных данных n = 16.

Результаты вычислений приведем в таблице:

Исходные данные		Построение модели Хольта-Уинтерса
t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)
-3				0,860
-2				1,080
-1				1,275
0		31,7	0,9	0,786
1	28	32,58	0,87	0,859	28,01
2	36	33,42	0,86	1,078	36,11
3	43	34,11	0,81	1,266	43,69
4	28	35,14	0,87	0,792	27,44
5	31	36,03	0,88	0,860	30,95
6	40	36,97	0,90	1,081	39,80
7	49	38,11	0,97	1,278	47,94
8	30	38,72	0,86	0,782	30,97
9	34	39,57	0,86	0,860	34,04
10	44	40,51	0,88	1,084	43,68
11	52	41,19	0,82	1,269	52,90
12	33	42,07	0,84	0,783	32,84
13	39	43,64	1,06	0,880	36,88
14	48	44,58	1,02	1,080	48,45
15	58	45,64	1,03	1,270	57,85
16	36	46,45	0,97	0,778	36,56

Таким образом, модель Хольта-Уинтерса построена.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

Предварительно для каждого уровня исходных данных нужно вычислить остатки

и относительные погрешности

с помощью функции ABS. Дополним расчетную таблицу столбцами

Исходные данные		Построение модели Хольта-Уинтерса
t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	E(t)	Eотн(t)
1	28	32,58	0,87	0,859	28,01	-0,01	0,02
2	36	33,42	0,86	1,078	36,11	-0,11	0,32
3	43	34,11	0,81	1,266	43,69	-0,69	1,60
4	28	35,14	0,87	0,792	27,44	0,56	1,99
5	31	36,03	0,88	0,860	30,95	0,05	0,16
6	40	36,97	0,90	1,081	39,80	0,20	0,51
7	49	38,11	0,97	1,278	47,94	1,06	2,17
8	30	38,72	0,86	0,782	30,97	-0,97	3,24
9	34	39,57	0,86	0,860	34,04	-0,04	0,11
10	44	40,51	0,88	1,084	43,68	0,32	0,73
11	52	41,19	0,82	1,269	52,90	-0,90	1,73
12	33	42,07	0,84	0,783	32,84	0,16	0,47
13	39	43,64	1,06	0,880	36,88	2,12	5,43
14	48	44,58	1,02	1,080	48,45	-0,45	0,95
15	58	45,64	1,03	1,270	57,85	0,15	0,25
16	36	46,45	0,97	0,778	36,56	-0,56	1,56

По столбцу относительных погрешностей найдем среднее значение (функция СРЗНАЧ).

, значит, модель точная.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

Для использования критерия поворотных точек построим график остатков E(t).

Выделим на нем поворотные точки и подсчитаем их количество p=10.

Вычислим при n=16

Сравним , следовательно, свойство случайности для ряда остатков выполняется.

- Оценить адекватность построенной модели на основе исследования независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения

) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении

.

Для проверки независимости уровней ряда остатков используем критерий Дарбина-Уотсона:

Подготовим по столбцу остатков с помощью функции СУММКВРАЗН

; и с помощью функции СУММКВ сумму квадратов остаточной компоненты

.

Таким образом,

.

Полученное значение

перейдем к

и сравним ее с двумя критическими уровнями

, которые определяются по таблице d-статистик Дарбина-Уотсона.

следовательно, свойство независимости ряда остатков выполняется.

Для дополнительной проверки свойства независимости ряда остатков используют первый коэффициент автокорреляции.

С помощью функции СУММПРОИЗВ найдем для остатков

, следовательно,

.

Критическое значение для коэффициента автокорреляции .

Сравнение показывает, что , следовательно, свойство независимости ряда остатков выполняется.

- Оценить адекватность построенной модели на основе исследования нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

Для проверки свойства нормального распределения остатков используем R/S-критерий.

С помощью функций МАКС и МИН для ряда остатков определим

. Стандартную ошибку модели найдем с помощью функции СТАНДОТКЛОН

.

Тогда

.

Критический интервал определяется по таблице критических границ отношения R/S и при n=16 составляет (3; 4,21).

значит, для построенной модели свойство нормального распределения остаточной компоненты выполняется.

Данная модель является точной и адекватной – для нее выполняются все свойства. Использование этой модели для прогнозирования будет целесообразным.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

Этап прогнозирования осуществляется по основной формуле модели Хольта-Уинтерса при фиксированном t=n и нарастающем значении периода упреждения k=1,2,3…

Для первого квартала будущего пятого года при t=16, k=1 найдем

Результаты расчетов занесем в таблицу:

Исходные данные		Построение модели Хольта-Уинтерса
t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)
-3				0,860
-2				1,080
-1				1,275
0		31,7	0,9	0,786
1	28	32,58	0,87	0,859	28,01
2	36	33,42	0,86	1,078	36,11
3	43	34,11	0,81	1,266	43,69
4	28	35,14	0,87	0,792	27,44
5	31	36,03	0,88	0,860	30,95
6	40	36,97	0,90	1,081	39,80
7	49	38,11	0,97	1,278	47,94
8	30	38,72	0,86	0,782	30,97
9	34	39,57	0,86	0,860	34,04
10	44	40,51	0,88	1,084	43,68
11	52	41,19	0,82	1,269	52,90
12	33	42,07	0,84	0,783	32,84
13	39	43,64	1,06	0,880	36,88
14	48	44,58	1,02	1,080	48,45
15	58	45,64	1,03	1,270	57,85
16	36	46,45	0,97	0,778	36,56
17					41,73
18					52,24
19					62,69
20					39,17

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Задание 2.

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням.

	Цены
t	макс.	мин.	С(t)
1	998	970	982
2	970	922	922
3	950	884	902
4	880	823	846
5	920	842	856
6	889	840	881
7	930	865	870
8	890	847	852
9	866	800	802
10	815	680	699

Рассчитать:

-       экспоненциальную скользящую среднюю;

-       момент;

-       скорость изменения цен;

-       индекс относительной силы;

-       %R, %K и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

Рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю и результаты расчета занесем в таблицу:

Расчет возможен для t³5. Для определения начального значения

При t=n=5 найдем

(функция СРЗНАЧ).

При t³6 по формуле экспоненциальной скользящей средней

t	С(t)	EMA(t)
1	982
2	922
3	902
4	846
5	856	901,6
6	881	894,73
7	870	886,49
8	852	874,99
9	802	850,66
10	699	800,11

Построим график, на нем покажем исходные данные и экспоненциальную скользящую среднюю.

С 5-го по 10-ый день график ЕМА расположен выше ценового графика, следовательно, тренд нисходящий; рекомендуется продажа финансового инструмента.

Рассчитаем момент и скорость изменения цен:

Момент:

Скорость изменения цен:

Результаты вычислений занесем в соответствующие столбцы расчетной таблицы и покажем на графиках.

t	С(t)	EMA(t)	MOM(t)	ROC(t)
1	982
2	922
3	902
4	846
5	856	901,6
6	881	894,73	-101	89,7
7	870	886,49	-52	94,4
8	852	874,99	-50	94,5
9	802	850,66	-44	94,8
10	699	800,11	-157	81,7

Рассмотрим график момента:

С 6-ого по 10-ый день график момента расположен ниже линии нулевого уровня, тренд является нисходящим, рекомендуется продажа финансового инструмента.

Рассмотрим график изменения цен:

С 6-ого по 10-ый день график изменения цен расположен ниже линии уровня 100%, тренд является нисходящим, рекомендуется продажа финансового инструмента.

Рассчитаем индекс относительной силы.

Выполним расчет по следующему алгоритму:

Найдем изменения цен закрытия

для дней t³2.

Из

выберем положительные (приросты) и модули отрицательных (убыль) – функция ЕСЛИ.

Для t³6 рассчитаем суммы приростов и суммы убыли за 5 дней до дня t – функция СУММ.

Вычислим индекс относительной силы по формуле и результаты занесем в таблицу:

t	С(t)		повышен.	понижен.	AU(t,5)	AD(t,5)	RSI(t)
1	982
2	922	-60	0	60
3	902	-20	0	20
4	846	-56	0	56
5	856	10	10	0
6	881	25	25	0	35	136	20,47
7	870	-11	0	11	35	87	28,69
8	852	-18	0	18	35	85	29,17
9	802	-50	0	50	35	79	30,70
10	699	-103	0	103	25	182	12,08

Результаты расчета индекса относительной силы покажем на диаграмме:

В 6-ой день график RSI расположен в критической зоне «перепроданности», рекомендуется остановить все финансовые операции, т.к. в скором времени ожидается разворот тренда.

С 7-го по 9-ый день график относительной силы расположен в нейтральной зоне, финансовые операции можно проводить, ориентируясь на сигналы других индексов (продажа).

В 10-ый день график RSI расположен в критической зоне «перепроданности», рекомендуется остановить все финансовые операции, т.к. в скором времени ожидается разворот тренда.

Рассчитаем %R, %K и %D: Расчет возможен для t³5. Проведем его в таблице, занося в соответствующие столбцы результаты промежуточных вычислений.

t	H(t)	L(t)	С(t)	H(t,5)	L(t,5)	C(t)-L(t,5)	H(t,5)-C(t)	H (t,5)-L(t,5)	%K	%R	sum(C(t)-L(t,5))	sum(H (t,5)-L(t,5))	%D
1	998	970	982
2	970	922	922
3	950	884	902
4	880	823	846
5	920	842	856	998	823	33	142	175	18,86	81,14
6	889	840	881	970	823	58	89	147	39,46	60,54
7	930	865	870	950	823	47	80	127	37,01	62,99	138	449	30,73
8	890	847	852	930	823	29	78	107	27,10	72,90	134	381	35,17
9	866	800	802	930	800	2	128	130	1,54	98,46	78	364	21,43
10	815	680	699	930	680	19	231	250	7,60	92,40	50	487	10,27

Результаты расчета стохастических линий покажем на диаграмме и проведем анализ:

%K: в 5-ый график находится в критической зоне «перепроданности», рекомендуется остановить все финансовые операции; с 6-го по 8-ой день рекомендуется проводить финансовые операции, ориентируясь на сигналы других индексов (продажи), т.к. график находится в нейтральной зоне; с 9-го по 10-ый день график находится в критической зоне «перепроданности», рекомендуется остановить все финансовые операции.

%R: является зеркальным отражением %K, их сигналы совпадают.

%D: с 7-го по 8-ой день рекомендуется проводить финансовые операции, ориентируясь на сигналы других индексов (продажи), т.к. график находится в нейтральной зоне; с 9-го по 10-ый день рекомендуется остановить все финансовые операции, т.к. график находится в критической зоне «перепроданности».

Задание 3.

Выполнить различные коммерческие расчеты, используя данные, приведенные в таблице. В условии задачи значения параметров приведены в виде переменных. Например, S означает некую сумму средств в рублях,

- время в годах, i – ставку в процентах и т.д. По именам переменных из таблицы необходимо выбрать соответствующие численные значения параметров и выполнить расчеты.

Сумма	Дата начальная	Дата конечная	Время в днях	Время в годах	Ставка	Число начислений
S	Тн	Тк	Тдн	Тлет	i	m
500000	21.01.02	11.03.02	180	4	10%	2

3.1 Банк выдал ссуду, размером S рублей. Дата выдачи ссуды – Тн, возврата – Тк. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке i% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

3.2. Через

дней после подписания договора должник уплатит S руб. Кредит выдан под i% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

3.3. Через

дней предприятие должно получить по векселю S руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке i% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

3.4. В кредитном договоре на сумму S руб. и сроком на

лет, зафиксирована ставка сложных процентов, равная i% годовых. Определить наращенную сумму.

3.5. Ссуда, размером S руб. предоставлена на

. Проценты сложные, ставка – i%. Проценты начисляются m раз в году. вычислить наращенную сумму.

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты m раз в году, исходя из номинальной ставки i% годовых.

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов m раз в году, чтобы обеспечить эффективную ставку i% годовых.

3.8. Через

предприятию будет выплачена сумма S руб. определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка i% годовых.

3.9. Через

по векселю должна быть выплачена сумма S руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке i% годовых. Определить дисконт.

3.10. В течение

на расчетный счет в конце каждого года поступает по S руб., на которые m раз в году начисляются проценты по сложной годовой ставке i%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

3.1. Банк выдал ссуду, размером 500000 рублей. Дата выдачи ссуды – 21.01.02, возврата – 11.03.02. День выдачи и день возврата считать за 1 день. Проценты рассчитываются по простой процентной ставке 10% годовых.

Найти:

3.1.1) точные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.2) обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды;

3.1.3) обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.

Решение: Денежная сумма разовая: Р = 500 000, операция –сумма процентов I-?. Проценты простые i=10%; период начисления 21.01.02 – 11.03.02. Наращенную сумму можно представить в виде двух слагаемых: первоначальной суммы и суммы процентов – S=P+I, где

. По данной формуле найдем начисленные проценты. Используя функцию ДОЛЯГОДА, найдем срок ссуды.

P=	500000
i=	0,1
дата выдачи	21.01.02
дата возврата	11.03.02

	3.1.1.	3.1.2.	3.1.3.
базис	1	2	0
n=	0,134	0,136	0,139
I=	6 712,33р.	6 805,56р.	6 944,44р.

3.2. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 500000 руб. Кредит выдан под 10% годовых (проценты обыкновенные). Какова первоначальная сумма и дисконт?

Денежная сумма разовая S – 500 000. Операция математическое дисконтирование. Проценты простые, расчеты выполняются по формулам.

Найдем срок операции n=180/360=0,5. Используя формулу математического дисконтирования

, найдем первоначальную сумму, а по формуле

, найдем дисконт суммы.

n=	0,5
S=	500000
i=	10%

P=	476 190,48р.
D=	23 809,52р.

3.3. Через 180 дней предприятие должно получить по векселю 500000 руб. Банк приобрел этот вексель с дисконтом. Банк учел вексель по учетной ставке 10% годовых (год равен 360 дням). Определить полученную предприятием сумму и дисконт.

Денежная сумма разовая S – 500 000. Операция – банковский учет Р=?. Найдем срок операции n=180/360=0,5. Проценты простые, расчеты выполняются по формулам

.

Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, вычисляется по формуле

n=	0,5
S=	500000
d=	10%

D=	25 000,00р.
P=	475 000,00р.

3.4. В кредитном договоре на сумму 500000 руб. и сроком на 4 года, зафиксирована ставка сложных процентов, равная 10% годовых. Определить наращенную сумму. Денежная сумма разовая Р – 500 000. Операция – наращение, S=? Срок операции n=4 года. Проценты сложные j=10%, следовательно, используем функцию БС (10%;4; ;-500000).

P=	500000
n=	4
j=	10%

S=	732 050,00р.

3.5. Ссуда, размером 500000 руб. предоставлена на 4 года. Проценты сложные, ставка – 10%. Проценты начисляются 2 раза в году. Вычислить наращенную сумму.

Денежная сумма разовая Р – 500 000. Операция – наращение, S=? Срок операции n=4 года. Проценты сложные j=10%, по условию число начислений в году m=2, тогда ставка i=10%/2; N=4*2, следовательно, используем функцию БС (10%/2;4*2; ;-500000).

P=	500000
j=	10%
n=	4
m=	2

S=	738 727,72р.

3.6. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты 2 раза в году, исходя из номинальной ставки 10% годовых.

Эффективная ставка, соответствующая заданной номинальной ставке j=10%, конвертируемой 2 раза в год – это полная сумма процентов, начисленных за год на каждый рубль основной суммы, имевшейся в начале года. Это такая годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же финансовый результат, что и 2-х разовое наращение в год по ставке 10%/2.

Для вычисления эффективной ставки, используем функцию ЭФФЕКТ в среде Excel (10%;2):

m=	2
j=	10%

ЭФФЕКТ=	10,25%

3.7. Определить, какой должна быть номинальная ставка при начислении процентов 2 раза в году, чтобы обеспечить эффективную ставку 10% годовых.

Номинальная ставка – это годовая ставка сложных процентов в случае их неоднократного начисления (в данной задаче 2 раза в году).

Для определения номинальной ставки, используем функцию НОМИНАЛ в среде Excel (10%;2).

m=	2
i=	10%

НОМИНАЛ=	9,76%

3.8. Через 4 года предприятию будет выплачена сумма 500000 руб. Определить ее современную стоимость при условии, что применяется сложная процентная ставка 10% годовых.

Денежная сумма разовая S – 500 000. Операция – математическое дисконтирование, Р=? Срок операции n=4 года. Проценты сложные j=10%, следовательно, используем функцию ПС (10%;4;0;-500000) для нахождения современной стоимости Р:

n=	4
S=	500000
j=	10%

P=	341 506,73р.

3.9. Через 4 года по векселю должна быть выплачена сумма 500000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10% годовых. Определить дисконт.

Денежная сумма разовая S – 500 000. Операция –банковский учет, Р=? Срок операции n=4 года. Проценты сложные, учетная ставка d=10%, с помощью функции БС найдем Р=БС(-10%;4;;-500000). Дисконт равен

n=	4
S=	500000
d=	10%

P=	328 050,00р.
D=	171 950,00р.

3.10. В течение 4-х лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 500000 руб., на которые 2 раза в году начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Денежная сумма – периодические платежи – 500 000 (р=1, один раз в году). Операция – наращение, S=? Срок – 4 года. Проценты сложные, j=10%, m=2 раза в год. Используем функции Excel. Интервал платежа не совпадает с периодом конверсии (m

p), поэтому необходимо использовать эквивалентную процентную ставку. m=2, p=1, переходим к эффективной процентной ставке (функция ЭФФЕКТ (10;2)). Найдем наращенную сумму S с помощью функции БС (10,25%/2;4*2;-500000;0;0).

n=	4
R=	500000
m=	2
j=	10%
ЭФФЕКТ=	10,25%

S=	4 795 953,34р.

Bukvasha