Международный университет природы, общества и человека «Дубна»

Кафедра системного анализа и управления
Курсовая работа по  математическим методам принятия управленческих решений на тему: 

Распределение инвестиций методом динамического  программирования
Выполнила: студентка гр.8101 Сергеюк Е.Н.
Дубна, 2011

Оглавление

Введение. 3

1. Теоретическая часть. 3

1.1.Сетевая модель. 3

1.2. Метод прямой прогонки. 3

1.3. Решение ЗДП при помощи принципа оптимальности Беллмана. 3

2. Практическая часть. 3

2.1. Постановка задачи. 3

2.2. Оптимальный набор решений. 3

Заключение. 3

Литература. 3

Введение

Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, разработанный для эффективного решения некоторого класса задач математического программирования. Этот класс характеризуется возможностью естественного (а иногда и искусственного) разбиения всей операции на ряд взаимосвязанных этапов. Термин «динамическое» в названии метода возник, видимо, потому что этапы предполагаются разделенными во времени. Однако этапами могут быть элементы операции, никак не связанные друг с другом показателем времени. Тем не менее, метод решения подобных многоэтапных задач применяется один и тот же, и его название стало общепринятым, хотя в некоторых источниках его называют многоэтапным программированием.

Модели динамического программирования могут применяться при разработке правил управления запасами, устанавливающими момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа; при разработке принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; при распределении инвестиций между новыми направлениями их использования; при составлении календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования и его замены; при разработке долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов и т.д.

В своей работе я решила разобрать метод динамического программирования при распределение инвестиций. Т.к. проблема распределения инвестиций относится к разряду «вечных»: инвестиции, в отличие от потребностей, всегда ограничены. Их, так или иначе, приходится распределять на различные нужды постоянно и на всех уровнях. Динамическое программирование является одним из наиболее эффективных методов решения подобных задач, чем и объясняется актуальность данной работы.

1. Теоретическая часть

1.1.Сетевая модель

Общая постановка задачи:совет директоров фирмы изучает предложение по наращиванию мощностей 3-x принадлежащих ей предприятий. Для расширения всех трех предприятий фирма выделяет 5 млн. $. Каждое предприятие представляет на рассмотрение проекты, которые характеризуются величинами в млн. $ суммарных затрат (C) и доходов (R), связанных с реализацией каждого проекта

Цель фирмы является получение max дохода от инвестиций

1.2. Метод прямой прогонки

;

;

 ;
.

1.3. Решение ЗДП при помощи принципа оптимальности Беллмана

Принцип оптимальности Беллмана — важнейшее положение динамического программирования, которое гласит: оптимальное поведение в задачах динамического программирования обладает тем свойством, что каковы бы ни были первоначальное состояние и решение, последующие решения должны составлять оптимальное поведение относительно состояния, получающегося в результате первого решения. Этот принцип можно выразить и рассуждая от противного: если не использовать наилучшим образом то, чем мы располагаем сейчас, то и в дальнейшем не удастся наилучшим образом распорядиться тем, что мы могли бы иметь.

Следовательно, если имеется оптимальная траектория, то и любой ее участок представляет собой оптимальную траекторию. Этот принцип позволяет сформулировать эффективный метод решения широкого класса многошаговых задач.
Если выполняются оба принципа, то работает принцип оптимальности Беллмана:

n                      Принцип отсутствия последействия

.

 Каждый следующий шаг зависит только от

 предыдущего

n                      Принцип аддитивности целевой функции




.




Пусть                                 — вектор оптимальных управлений, который переводит систему из состояния        в состояние          за n
шагов:                       

            так, чтобы целевая функция (1) достигла своего максимального значения.

    Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, выбирать управление на этом шаге нужно так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был оптимальным.

2.2. Оптимальный набор решений

Исходя из решения,  можно сделать вывод о том, что государству одинаково выгодно два пути вложения инвестиций.  Какой из этих путей выбирать, зависит от личных предпочтений или от политических целей. Максимальный доход, который может получить государство от инвестирования 9 млрд. долл., составляет 27 млрд. долл.

Путь 1:

·   отрасль «оптово-розничной торговли» должна осуществить  1 проект, тогда на остальные отрасли останется 9 - 0 = 9 млрд. долл.

·  отрасль «обрабатывающего производства» должна осуществить  2 проект, тогда на остальные отрасли останется 9 - 2 = 7 млрд. долл.

·  отрасль «Транспорта и связи» должна осуществить  6 проект, тогда на остальные отрасли останется 7 - 7 = 0 млрд. долл.

·  Следовательно, отрасли «Операций с недвижимым имуществом»  и «Финансовой деятельности» ничего не получат.

Путь 2:

·  отрасль «оптово-розничной торговли» должна осуществить  1 проект, тогда на остальные отрасли останется 9 - 0 = 9 млрд. долл.

·  отрасль «обрабатывающего производства» должна осуществить  также 1 проект, тогда на остальные отрасли останется 9 - 0 = 9 млрд. долл.

·  отрасль «Транспорта и связи» должна осуществить  2 проект, тогда на остальные отрасли останется 9 - 1 = 8 млрд. долл.

·  отрасль «Операций с недвижимым имуществом»  должна осуществить  3 проект, тогда на остальные отрасли останется 8 - 5 = 3 млрд. долл.

·  отрасль «Финансовой деятельности» должна осуществить  также 3 проект, тогда на остальные отрасли останется 3 - 3 = 0 млрд. долл.

Заключение

Рассмотрев в курсовой работе метод динамического программирования, я сделала вывод о том, что решение задач об инвестировании денег в различные отрасли этим способом является весьма удобным и эффективным, он всегда будет актуальным, т.к. в процессе развития многие предприятия и отрасли могут столкнуться с проблемой вложения денег в другие направления. И тут встает выбор, в какие предприятия вкладывать деньги и в каких размерах, чтобы иметь наибольший доход и не потерять свои вложения. Решение задачи этим способом гарантирует, что решение, выбранное на любом шаге, является не локально лучшим, а лучшим с точки зрения задачи в целом. Но даже этот способ имеет свои недостатки, говоря словами Беллмана, «проклятие размерности» – его сложность катастрофически возрастает с увеличением размерности задачи.

В настоящее время вопросы, связанные с применением динамического программирования в различных областях экономики и менеджмента, разрабатывались и разрабатываются многими отечественными и зарубежными исследователями, математиками и экономистами. Разработан ряд методов и моделей, предназначенных для предприятий и различного характера. Это говорит о том, что этот метод является востребованным и необходимым для решения многих управленческих задач.

Литература

1.      М.Г.Зайцев «Методы оптимизации управления для менеджеров»

2.      О.И.Ларичев. «Теория и методы принятия решений».